В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 6
Текст из файла (страница 6)
w \TOM SLU^AE ZADA^A STATISTIKI SWODITSQ K "OCENIWANI@"PARAMETRA .pRIMERY.1) pRI STATISTI^ESKOM \KSPERIMENTE, SOSTOQ]EM W PROWEDENII n NEZAWISIMYH NABL@DENIJ NAD SLU^AJNOJ WELI^INOJ, PRINIMA@]EJ KONE^NOE^ISLO m ZNA^ENIJ, WEROQTNOSTI KOTORYH POLNOSTX@ NE IZWESTNY, NOOSTA@TSQ POSTOQNNYMI W TE^ENIE \KSPERIMENTA, PRIHODIM K STATIS-TI^ESKOJ STRUKTURE WIDAX = f1; 2; ; mgn ; F = (X ); = f : = (1 ; ; m ) 2 Rm ;mXi=1i = 1; i 0; 1 i mg; P = ( )n ;GDE { RASPREDELENIE WEROQTNOSTEJ NA MNOVESTWE f1; 2; ; mg, ZADAWAEMOE WEROQTNOSTQMI (1 ; ; m ).2) pUSTX NABL@DAETSQ ODIN RAZ BINOMIALXNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA (SM.PUNKT 6(b) lEKCII 1)X B(n; )S NEIZWESTNOJ WEROQTNOSTX@ USPEHA .
w \TOM SLU^AJ IMEEM STATISTI^ESKU@ STRUKTURU WIDAX = f0; 1; 2; ; ng; F = (X ); = (0; 1);!ZXp (k) = nk k (1 ; )n;k ; P (A) = p (k) = p (x)d (x); A 2 F ;k2AAGDE () { S^ITA@]AQ MERA, TO ESTX MERA PRIPISYWA@]AQ KAVDOMUMNOVESTWU IZ F ^ISLO \LEMENTOW W N<M.3) pUSTX NABL@DAETSQ NORMALXNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA (SM. PUNKT 6(d)lEKCII 1)X N (; 2 )6.1.sTATISTI^ESKIE STRUKTURY51S NEIZWESTNYMI PARAMETRAMI (; 2 ). w \TOM SLU^AJ STATISTI^ESKAQSTRUKTURA IMEET WID X = R1 , F = B1, = (; 2 ), = R1 [0; 1),P (A) =GDEZA'; (x)dx; A 2 B1;'; (x) = 1 ' x ; ; '(x) = p1 expf;x2 =2g:2oPREDELENIE 6.1.2. sTATISTI^ESKAQ STRUKTURA (X ; F ; P ) (ILI SEMEJSTWO P ) NAZYWAETSQ DOMINIRUEMOJ (DOMINIRUEMYM), ESLI SU]ESTWUET POLOVITELXNAQ { KONE^NAQ MERA NA (X ; F ) TAKAQ, ^TO WYPOLNENO ODNOIZ DWUH \KWIWALENTNYH USLOWIJ:1) KAVDOE RASPREDELENIE IZ P ABSOL@TNO NEPRERYWNO OTNOSITELXNO ME-RY !P ;DLQ L@BOGO P 2 P :2) KAVDOE RASPREDELENIE IZ P IMEET PLOTNOSTX OTNOSITELXNO MERY pp (x) p(x) = ddP (x):|KWIWALENTNOSTX \TIH DWUH USLOWIJ SLEDUET IZ tEOREMY rADONA { nIKODIMA.
w DALXNEJ[EM BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO DOMINIRUEMYE STRUKTURY.eSLI SEMEJSTWO PARAMETRIZOWANO I DOMINIRUEMO, TO PLOTNOSTX OTNOSITELXNO MERY BUDEM OBOZNA^ATX KAKPp (x) = dd(x);TO ESTXZP (A) = p (x)d (x); A 2 F :AtAKU@ STATISTI^ESKU@ STRUKTURU MOVNO ZAPISATX W WIDE(X ; F ; fp (x); 2 g):dOMINIRU@]AQ MERA NE EDINSTWENNA, POSKOLXKU ESLI MERA DOMINIRUETSTRUKTURU I QWLQETSQ ABSOL@TNO NEPRERYWNOJ OTNOSITELXNO MERY , TO TAKVE DOMINIRUET \TU STRUKTURU I NOWYE PLOTNOSTI IME@T WIDd (x):p(x) = ddP (x) = p(x) dlEKCIQ526oPREDELENIE 6.1.3.wE]ESTWENNAQFUNKCIQL(; x) = p (x);OPREDELNNAQ NA (; X ) I RASSMATRIWAEMAQ KAK FUNKCIQ PRI FIKSIROWANNOM NAZYWAETSQ FUNKCIEJ PRAWDOPODOBIQ.iNOGDA BUDEM RASSMATRIWATX LOGARIFM FUNKCII PRAWDOPODOBIQl(; x) = log L(; x):pOLEZNYJ KRITERIJ DOMINIRUEMOSTI STATISTI^ESKOJ STRUKTURY DA<TSQ SLEDU@]EJ tEOREMOJ.tEOREMA 6.1.1.sTATISTI^ESKAQ STRUKTURA (X ; F ; P ) QWLQETSQ DOMINIRUEMOJ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA SU]ESTWUET NE BOLEE ^EM S^ETNOEPODSEMEJSTWO P 0 P SEMEJSTWA P \KWIWALENTNOE P , TO ESTX TAKOE, ^TO8 A 2 F : P(A) = 0; 8 P 2 P 0 () P(A) = 0; 8 P 2 P :pRI \TOM W KA^ESTWE DOMINIRU@]EJ MERY MOVNO WZQTX WEROQTNOSTNU@MERUXP (A) =cp P(A); A 2 F ;p2P 0GDE ^ISLA cp TAKIE, ^TOcp > 0;Xp2P 0cp = 1:dOKAZATELXSTWO.
dOSTATO^NOSTX USLOWIQ O^EWIDNA, ESLI W KA^ESTWE DOMINIRU@]EJ MERY WYBRATX UKAZANNU@ WEROQTNOSTX P .dOKAVEM NEOBHODIMOSTX. pREDPOLOVIM, ^TOP ; 8 P 2 P :(6:1:1)mERU MOVNO S^ITATX WEROQTNOSTX@, TAK KAK ESLIX=1Xi=1Bi ; I (Bi ) < 1; i 2 N;TO \KWIWALENTNAQ MERA 0 (A) =1 (A \ B )iXi=12i (Bi ) ; A 2 F6.1.sTATISTI^ESKIE STRUKTURY53QWLQETSQ WEROQTNOSTNOJ. pUSTXp(x) = ddP (x); Ap = fx : p(x) > 0g; P 2 PI H { KLASS S^ETNYH OB_EDINENIJ MNOVESTW Ap .
dOKAVEM, ^TOsup (B ) = C 1B2HDOSTIVIM. pUSTX MNOVESTWA Ai = Api 2 H TAKIE, ^TO (Ai ) C ; 1=i:zAMETIM, ^TOA=1[i=1Ai 2 HI DLQ L@BOGO i SPRAWEDLIWY NERAWENSTWAC ; 1=i (Ai ) (A) C;PO\TOMU (A) = sup (B ):B2HdOKAVEM, ^TO W KA^ESTWE NE BOLEE ^EM S^<TNOGO PODSEMEJSTWA P 0 MOVNO WZQTXSEMEJSTWO WIDA P 0 = fPig. pRI KAVDOM P SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQAp [ A = (Ap ; A) + A 2 H;PO\TOMUI ZNA^IT (Ap ; A) + (A) = (Ap [ A) C = (A) (Ap ; A) = 0:tEPERX U^ITYWAQ SOOTNO[ENIE (6.1.1) OTS@DA SLEDUET, ^TO PRI WSEH P 2 PP(Ap ; A) = 0; P 2 P :nO TOGDA DLQ L@BOGO MNOVESTWA F 2 F SPRAWEDLIWY RAWENSTWAP(F ; A) = 0; P 2 P ;(6:1:2)lEKCIQ546POSKOLXKUP(F \ Ap ; A) P(Ap ; A) = 0; P(F \ Acp ; A) P(Acp ) = 0IP(F ; A) = P(F \ Ap ; A) + P(F \ Acp ; A) = 0:pUSTX MNOVESTWO D 2 F TAKOWO, ^TO DLQ WSEH iP i (D ) = 0:pOSKOLXKU pi(x) > 0 NA Ai, IZZpi (x)d (x) pi(x)d (x) = Pi(D) = 0;TO PRI WSEH iI ZNA^ITD\AiD (D \ Ai ) = 0 (D \ A) = D \1[i=1Ai 1Xi=1 (D \ Ai ) = 0;POZTOMU IZ USLOWIQ (6.1.1) SLEDUET, ^TO DLQ L@BOGO P 2 PP(D \ A) = 0; P 2 P :tEPERX SOOTNO[ENIE (6.1.2) POKAZYWAET, ^TO WEROQTNOSTX SOBYTIQ DP(D) = P(D ; A) + P(D \ A) = P(D ; A)RAWNA NUL@.iZ \TOJ tEOREMY NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET SLEDU@]EEsLEDSTWIE 6.1.1.eSLI SEMEJSTWO P ILI PROSTRANSTWO X NE BOLEE ^EMS^ETNY, TO STATISTI^ESKAQ STRUKTURA (X ; F ; P ) DOMINIRUEMA.w SLU^AE KOGDA X S^<TNO DOMINIRU@]U@ { KONE^NU@ MERU, PRIPISYWA@]U@ KAVDOMU MNOVESTWU IZ (X ) ^ISLO \LEMENTOW W N<M, ^ASTO NAZYWA@TS^ITA@]EJ MEROJ.
w REALXNYH ZADA^AH \TA S^ITA@]AQ MERA W DISKRETNOMSLU^AE I MERA lEBEGA W NEPRERYWNOM SLU^AE ISPOLXZU@TSQ NAIBOLEE ^ASTO.iZ tEOREMY 6.1.1 TAKVE WYTEKAET SLEDU@]IJ OSNOWNOJ REZULXTAT, POKAZYWA@]IJ, ^TO DLQ DOMINIRUEMOJ STRUKTURY WSEGDA WOZMOVNO W KA^ESTWEDOMINIRU@]EJ MERY WYBRATX WEROQTNOSTX.tEOREMA 6.1.2.sTATISTI^ESKAQ STRUKTURA (X ; F ; P ) DOMINIRUEMATOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA NAJDETSQ WEROQTNOSTNOE RASPREDELENIE PNA (X ; F ), NAZYWAEMOE PRIWILEGIROWANNYM, DOMINIRU@]EE (X ; F ; P ) I OBLADA@]EE SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI:6.1.sTATISTI^ESKIE STRUKTURY551) RASPREDELENIE P ABSOL@TNO NEPRERYWNO OTNOSITELXNO L@BOJ MERY,DOMINIRU@]EJ (X ; F ; P );2) RASPREDELENIE P QWLQETSQ STROGO WYPUKLOJ LINEJNOJ KOMBINACIEJWEROQTNOSTEJ IZ NEKOTOROGO NE BOLEE ^EM S^ETNOGO PODSEMEJSTWAP 0 P , TO ESTXXP (A) =cp P(A); A 2 F ;p2P 0GDE ^ISLA cp TAKIE, ^TOcp > 0;Xp2P 0cp = 1;3) RASPREDELENIE P \KWIWALENTNO P , TO ESTX8 A 2 F : P(A) = 0; 8 P 2 P ()P (A) = 0:oPREDELENIE 6.1.4.
mNOVESTWO A IZ F NAZYWAETSQ P { PRENEBREVIMYM (P { NULEWYM), ESLIP(A) = 0; 8 P 2 P :w SOOTWETSTWII S \TIM oPREDELENIEM ^ASTO GOWORQT O WYPOLNENII P {PO^TI WS@DU (P { P.W.) NEKOTOROGO SWOJSTWA.zAMETIM, ^TO ESLI STATISTI^ESKAQ STRUKTURA (X ; F ; P ) QWLQETSQ DOMINIRUEMOJ I ESLI P { DOMINIRU@]EE PRIWILEGIROWANNOE RASPREDELENIE, TOSOBYTIE QWLQETSQ P { PRENEBREVIMYM TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA ONO P {PRENEBREVIMO. w SAMOM DELE, ESLI SOBYTIE A QWLQETSQ P { PRENEBREVIMYMSOBYTIEM, TO ONO I P { PRENEBREVIMO DLQ WSEH P IZ P , POSKOLXKU P DOMINIRUET P . oBRATNO, ESLI SOBYTIE A QWLQETSQ P { PRENEBREVIMYM, TO W SILUTOGO OBSTOQTELXSTWA, ^TO P ESTX WYPUKLAQ LINEJNAQ KOMBINACIQ \LEMENTOWIZ P SOBYTIE A QWLQETSQ I P { PRENEBREVIMYM.oPREDELENIE 6.1.5.
sTATISTIKOJ NA STATISTI^ESKOJ STRUKTURE(X ; F ; P ) NAZYWAETSQ IZMERIMOE OTOBRAVENIE T IZMERIMOGO PROSTRANSTWA (X ; F ) W IZMERIMOE PROSTRANSTWO (Y ; H), NE ZAWISQ]EE OT P 2 P .pOD^ERKN<M E]< RAZ TO WAVNOE OBSTOQTELXSTWO, ^TO STATISTIKA NE ZAWISIT OT SEMEJSTWA P ILI OT PARAMETRA W SLU^AE EGO NALI^IQ. eSLI X = R1,TO STATISTIKA T NAZYWAETSQ WE]ESTWENNOJ, W SLU^AE X = Rk GOWORQT OWEKTORNOJ STATISTIKE. w MATEMATI^ESKOJ STATISTIKE PONQTIE STATISTIKIlEKCIQ566OTWE^AET PONQTI@ SLU^AJNOJ WELI^INY IZ TEORII WEROQTNOSTEJ. nA PRAKTIKE ISPOLXZOWANIE STATISTIK SWQZANO S IZWLE^ENIEM NUVNOJ INFORMACIIIZ ISHODNYH ILI NEOBRABOTANNYH DANNYH, PODLEVA]IH ANALIZU.l@BAQ STATISTIKA T POROVDAET STATISTI^ESKU@ STRUKTURU WIDA (Y ; H; PT ), GDEPT = fPT ; P 2 Pg; PT (B ) = P(T ;1(B )); B 2 H:(6:1:3)|TA STATISTI^ESKAQ STRUKTURA NAZYWAETSQ STATISTI^ESKOJ STRUKTUROJ, INDUCIRUEMOJ STATISTIKOJ T .oPREDELENIE 6.1.6.1) pUSTX T1 I T2 { DWE STATISTIKI NA (X ; F ; P ) SO ZNA^ENIQMI SOOTWETSTWENNO W (Y1 ; H1 ) I (Y2 ; H2 ).
gOWORQT, ^TO T1 I T2 \KWIWALENTNY (T1 T2), ESLIT1;1 (H1 ) = T2;1 (H2):(oTMETIM, ^TO \TO PONQTIE NIKAK NE SWQZANO S SEMEJSTWOM P , W^ASTNOSTI, ESLI T1 I T2 SWQZANY WZAIMNO ODNOZNA^NYM I DWUSTORONNE IZMERIMYM PREOBRAZOWANIEM, TO ONI \KWIWALENTNY.)2) pUSTX T1 I T2 { DWE STATISTIKI, ZADANNAYE NA (X ; F ; P ) SO ZNA^ENIQMI W (Y ; H). gOWORQT, ^TO STATISTIKA T1 P { \KWIWALENTNA STATISTIKE T2 (T1 P T2), ESLI SOBYTIE fT1 6= T2 g QWLQETSQ P{ PRENEBREVIMYM. (zAMETIM, ^TO P { \KWIWALENTNYE STATISTIKIIME@T ODINAKOWYE RASPREDELENIQ DLQ WSEH P 2 P ).3) gOWORQT, ^TO STATISTIKI T1 I T2 , ZADANNYE NA (X ; F ; P ) NEZAWISIMY, ESLI NEZAWISIMY SLU^AJNYE WELI^INY T1 I T2 DLQ WSEH P 2 P .4) wE]ESTWENNAQ STATISTIKA T , ZADANNAQ NA (X ; F ; P ), NAZYWAETSQINTEGRIRUEMOJ, ESLI DLQ KAVDOGO RASPREDELENIQ P IZ P SLU^AJNAQWELI^INA T INTEGRIRUEMA, TO ESTX SU]ESTWUET MATEMATI^ESKOEOVIDANIE EP T .5) wE]ESTWENNAQ INTEGRIRUEMAQ STATISTIKA T , ZADANNAQ NA (X ; F ; P ),NAZYWAETSQ PODOBNOJ W SREDNEM (CENTRIROWANNOJ), ESLI EP T NE ZAWISIT OT P IZ P ( EP T = 0 DLQ WSEH P IZ P ).6) oBRAZOM INTEGRIRUEMOJ STATISTIKI T , OPREDELENNOJ NA STATISTI^ESKOJ STRUKTURE (X ; F ; fP ; 2 g), NAZYWAETSQ FUNKCIQ () 6.1.sTATISTI^ESKIE STRUKTURY57T (), OPREDELENNAQ NA PO FORMULEZ () = E T = TdP ; 2 :oPREDELENIE 6.1.7.1) pUSTX (X1 ; F1 ; P1 ) I (X2 ; F2 ; P2 ) { DWE STATISTI^ESKIE STRUKTURY.iH PRQMYM PROIZWEDENIEM(X1 ; F1 ; P1 ) (X2 ; F2 ; P2 )NAZYWAETSQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA WIDA(X1 X2 ; F1 F2 ; P1 P2 );GDEP1 P2 = fP1 P2 ; P1 2 P1 ; P2 2 P2 g:2) pUSTX (X1 ; F1 ; fP1 ; 2 g) I (X2 ; F2 ; fP2 ; 2 g) { DWE STATISTI^ESKIE STRUKTURY S ODINAKOWYM PARAMETRI^ESKIM PROSTRANSTWOM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
