В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 3
Текст из файла (страница 3)
oPREDELQ@TSQ TAKIE HARAKTERISTIKI SLU^AJNYH WELI^INKAK MATEMATI^ESKOE OVIDANIE, DISPERSIQ, MODA, MEDIANA, ASIMMETRIQ I\KSCESS.2.1integral lebega osnownye harakteristiki slu~ajnyh weli~in.-1) pUSTX X (!) SLU^AJNAQ WELI^INA, ZADANNAQ NA WEROQTNOSTNOM PROSTRANSTWE (; A; P). pOSKOLXKU WEROQTNOSTNOE PROSTRANSTWO ESTX IZMERIMOEPROSTRANSTWO S MEROJ, TO MOVNO WWESTI PONQTIE INTEGRALA. oPI[EMKRATKO SHEMU POSTROENIQ INTEGRALA lEBEGA.dEJSTWITELXNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA X (X = R1) NAZYWAETSQ STUPEN^ATOJ, ESLI SU]ESTWUET RAZBIENIE MNOVESTWA 1 ; ; N ;TAKOE, ^TON[i=1i = ; i \ j = ;; i 6= jX (!) = xi ; ! 2 i; i = 1; ; N;PRI^<M WSE xi RAZLI^NY.oBOZNA^IM ^EREZ S { KLASS WSEH STUPEN^ATYH SLU^AJNYH WELI^IN.2) iNDTIKATOROM (INDIKATORNOJ FUNKCIEJ) NAZYWETSQ FUNKCIQ WIDA(1A (!) = 10;; !! 22= AA ; A 2 A:19lEKCIQ202iSPOLXZUQ INDIKATORY, STUPEN^ATU@ SLU^AJNU@ WELI^INU MOVNO ZAPISATX W WIDENXX 2 S =) X = xi 1i (!):i=13) eSLI X NEOTRICATELXNAQ SLU^AJNAQ WELI^INAX : 7;! R+ = [0; +1);TO SU]ESTWUET NEOTRICATELXNAQ NEUBYWA@]AQ POSLEDOWATELXNOSTX STUPEN^ATYH SLU^AJNYH WELI^INXn 2 S; Xn 0; Xn Xn+1;MONOTONNO SHODQ]AQSQ K XXn " X; n ! +1:4) dLQ STUPEN^ATOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X OPREDELIM MATEMATI^ESKOEOVIDANIE PO FORMULEX 2 S ) EX def=NXi=1xiP(i ):5) mATEMATI^ESKOE OVIDANIE DLQ NEOTRICATELXNYH SLU^AJNYH WELI^INTEPERX OPREDELIM KAKX 0; EX def= nLim!1 EXn ; GDE Xn 2 S; Xn " X:6) sLU^AJNU@ WELI^INU X , PRINIMA@]U@ PROIZWOLXNYE ZNAKI, MOVNOWSEGDA PREDSTAWITX W WIDE RAZNOSTI NEOTRICATELXNYH SLU^AJNYH WE-LI^INX = X + ; X ; ; GDE X + = max(X; 0); X ; = max(;X; 0):tEPERX OPREDELIM MATEMATI^ESKOE OVIDANIE PROIZWOLXNOJ SLU^AJNOJWELI^INY PO FORMULEZZdef+;EX = EX ; EX X (!)dP(!) X (!)dP(!);ZAX (!)dP(!) def= EX 1A :2.1.iNTEGRAL lEBEGA217) sLU^AJNAQ WELI^INA X NAZYWAETSQ INTEGRIRUEMOJ, ESLIEX + < +1; EX ; < +1:8) nA MNOVESTWE INTEGRIRUEMYH SLU^AJNYH WELI^IN MATEMATI^ESKOE OVI-DANIE OBLADAET SLEDU@]IMI SWOJSTWAMI(a) lINEJNOSTXEX = EX; E(X + Y ) = EX + EY; ; 2 R1 :(b) sOHRANENIE PORQDKAX Y =) EX EY:(c) nEPRERYWNOSTX OTNOSITELXNO MONOTONNOJ SHODIMOSTIXn "# X =) EXn "# EX:(d) lEMMA fATU.Xn Z; Z ; INTEGRIRIRUEMA =) E liminf X liminf EX ;n!+1 nn!+1 nXn Y; Y ; INTEGRIRIRUEMA =) E lim sup Xn lim sup EXn :n!+1n!+1oTS@DA SLEDUET tEOREMA lEBEGA O MAVORIRUEMOJ SHODIMOSTI: ESLI POSLEDOWATELXNOSTX SLU^AJNYH WELI^IN Xn SHODITSQ I SU]ESTWUET INTEGRIRUEMAQ SLU^AJNAQ WELI^INA U 0 TAKAQ, ^TOjXn j U; EjU j < +1;TOE nLim!1 Xn = nLim!1 EXn :(e) { ADDITIWNOSTX NEOPREDEL<NNOGO INTEGRALAZX 0 =)1Si=1X (!)dP(!) =Ai1XZi=1AiX (!)dP(!);GDE fAi 2 A; i = 1; 2; g { SEMEJSTWO POPARNO NEPERESEKA@]IHSQIZMERIMYH MNOVESTW.ZZAn "# A =) X (!)dP(!) "# X (!)dP(!); n ! +1:AnAlEKCIQ222(f) fORMULA ZAMENY PEREMENNOGO: ESLI(!) = T (X (!)); F = R1TOE =ZT (X (!))dP(!) =ZR1ZtdP (t) = T (x)dPX (x):X(g) tEOREMA rADONA { nIKODIMA.
pUSTX NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; B) IMEETSQ { KONE^NAQ MERA I { ADDITIWNAQFUNKCIQ MNOVESTW G, ABSOL@TNO NEPRERYWNAQ OTNOSITELXNO (G ). tOGDA SU]ESTWUET PLOTNOSTX G OTNOSITELXNO ,TO ESTX SU]ESTWUET B { IZMERIMAQ FUNKCIQ g(x) TAKAQ, ^TOZG(B ) = g(x)d (x); DLQ WSEH B 2 B:BfUNKCIQ g(x) NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ rADONA { nIKODIMA I OBOZNA^AETSQ KAKg(x) = dGd(x) ddG (x):s TO^NOSTX@ DO { MNOVESTW MERY NULX FUNKCIQ g(x) EDINSTWENNA. tEOREMA rADONA { nIKODIMA DA<T OB]IE USLOWIQ SU]ESTWOWANIQ PLOTNOSTI.pRIMER.
pUSTX NA IZMERIMOM PROSTRANSTWE (X ; B) ZADANY DWEWEROQTNOSTNYE MERY P1 ; P2, IME@]IE SOOTWETSTWENNO PLOTNOSTIp1 (x); p2(x) OTNOSITELXNO MERY . pREDPOLOVIM, ^TO WYPOLNENOUSLOWIEp2(x) = 0 =) p1 (x) = 0:tOGDAZZp1 (x) p (x) d (x) = Z p1 (x) dP (x); B 2 B:P1 (B ) = p1 (x)d (x) =22pp2 (x)2 (x)BBBtO ESTX PROIZWODNA rADONA { nIKODIMA MERY P1 OTNOSITELXNOMERY P2 IMET WIDdP1 (x) = p1(x) :d P2p2(x)2.1.iNTEGRAL lEBEGA23(h) eSLI ^EREZ F (x) OBOZNA^ITX FUNKCI@ RASPREDELENIQ SLU^AJNOJWELI^INY X , TO SPRAWEDLIWO RAWENSTWOEX =+Z1;1xdF (x);ZDESX W PRAWOJ ^ASTI STOIT INTEGRAL lEBEGA { sTILTXESA. eSLI USLU^AJNOJ WELI^INY X SU]ESTWUET PLOTNOSTX pX (x), TOEX =+Z1;1xpX (x)dx:eSLI h(x) BORELEWSKAQ FUNKCIQ, TO ESTX DEJSTWITELXNAQ FUNKCIQ,OBLASTX OPREDELENIQ KOTOROJ QWLQETSQ DEJSTWITELXNAQ PRQMAQ IPRI L@BOM c 2 R1 MNOVESTWO fx : h(x) < cg QWLQETSQ BORELEWSKIM,TO+Z1Eh(X ) = h(x)dF (x);;1PRI USLOWIII, ^TO SU]ESTWUET HOTQ BY ODIN IZ \TIH INTEGRALOW.9) mOMENTAMI s I ABSOL@TNYMI MOMENTAMI s PORQDKA s > 0 SLU^AJNOJ WELI^INY X NAZYWA@TSQ MATEMATI^ESKIE OVIDANIQ SLU^AJNYHWELI^IN X s I jX jss = EX s =s = EjX js =+Z1xsdF (x);(2:1:1)jxjs dF (x):(2:1:2);1+Z1;1cENTRALXNYJ MOMENT s I ABSOL@TNYJ CENTRALXNYJ MOMENTAMI sPORQDKA s > 0 SLU^AJNOJ WELI^INY X OPREDELQ@TSQ SOOTWETSTWENNORAWENSTWAMIs= E(X ; EX )s=+Z1;1(x ; 1 )s dF (x);(2:1:3)lEKCIQ24s= EjX ; EX js =2+Z1;1jx ; 1 jsdF (x):(2:1:4)oSOBU@ ROLX IGRAET WTOROJ CENTRALXNYJ MOMENT 2, KOTORYJ NAZYWAETSQ DISPERSIEJ SLU^AJNOJ WELI^INY X I OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM DX ,TO ESTXDX = E(X ; EX )2 = EX 2 ; (EX )2 :zAMETIM, ^TO DX WSEGDA OPREDELENA, ESLI OPREDELENO EX , NO MOVETPRINIMATX ZNA^ENIQ +1.pwELI^INA = DX NAZYWAETSQ SREDNEKWADRATI^NYM OTKLONENIEMSLU^AJNOJ WELI^INY X .oTMETIM WAVNOE SWOJSTWO WELI^INY DX : ESLI DX = 0, TOP(X = EX ) = 1;TO ESTX W \TOM SLU^AE SLU^AJNAQ WELI^INA X S WEROQTNOSTX@ EDINICAPOSTOQNNA.
dALEE, ESLI DISPERSIQ KONE^NA, TOD(aX + b) = a2 DX; a; b 2 R1 :w ^ASTNOSTI, NORMIROWANNAQ SLU^AJNAQ WELI^INAX = Xp; EX(2:1:5)DXWSEGDA IMEET SREDNEE 0 I DISPERSI@ 1.eSLI U SLU^AJNOJ WELI^INY X SU]ESTWUET MOMENT k PORQDKA k, TOm1=m k1=k I m1=m k1=k DLQ L@BOGO POLOVITELXNOGO m k.oTS@DA SLEDUET, ^TO m l m+l I ml m+l DLQ L@BYH l I m.rASSMOTRIM TEPERX NEKOTORYE HARAKTERISTIKI FORMY I RASPOLOVENIQRASPREDELENIQ SLU^AJNOJ WELI^INY.eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA X ABSOL@TNO NEPRERYWNA, TO ZNA^ENIQ x,W KOTORYH PLOTNOSTX pX (x) DOSTIGAET SWOEGO MAKSIMALXNOGO ZNA^ENIQ, NAZYWA@TSQ MODAMI.
eSLI MODA EDINSTWENNA, TO RASPREDELENIESLU^AJNOJ WELI^INY NAZYWA@T UNIMODALXNYM, W PROTIWNOM SLU^AE {MULXTIMODALXNYM.eSLI X { DISKRETNAQ SLU^AJNAQ WELI^INA Ipk = P(X = xk );2.1.iNTEGRAL lEBEGA25TO E< MODAMI NAZYWA@T TE ZNA^ENIQ xi, DLQ KOTORYHP(X = xi ) = max pk :kmEDIANOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X NAZYWAETSQ L@BOE ^ISLO m X , DLQKOTOROGO SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQP(X m X ) 21 IP(X m X ) 12 :dLQ SLU^AJNOJ WELI^INY X S ABSOL@TNO NEPRERYWNYM RASPREDELENIEM MEDIANA OPREDELQETSQ KAK ZNA^ENIE m X , DLQ KOTOROGOmZX;1pX (x)dx =1ZmXpX (x)dx = 12 :kWANTILX PORQDKA ; 2 (0; 1), ESTX ZNA^ENIE x , DLQ KOTOROGOP(X x) IP(X x) :eSLI X { SLU^AJNAQ WELI^INA S ABSOL@TNO NEPRERYWNYM RASPREDELENIEM, TO KWANTILX x PORQDKA OPREDELQETSQ RAWENSTWOMFX (x ) = :mEDIANA QWLQETSQ KWANTILX@ PORQDKA 1=2.eSLI SLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET KONE^NYE MOMENTY DO ^ETW<RTOGOPORQDKA WKL@^ITELXNO, TO WELI^INA31 = 33 = E(XD3;=2EXX )NAZYWAETSQ KO\FFICIENTOM ASIMMETRII, A42 = 44 ; 3 = E(XD;2 XEX ) ; 3KO\FFICIENTOM \KSCESSA E< RASPREDELENIQ.
|TI WELI^INY HARAKTERIZU@T STEPENX OTLI^IQ FUNKCII RASPREDELENI FX (x) OT FUNKCII RASPREDELENIQ (x) STANDARTNOGO NORMALXNOGO RASPREDELENIQ, DLQ KOTOROGO KO\FFICIENTY ASIMMETRII I \KSCESSA RAWNY NUL@.lEKCIQ262.22spisok literatury1) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989, gLAWA 2.2) p. hALMO[, tEORIQ mERY,mOSKWA, iNOSTRANNAQ lITERATURA, 1953, gLAWY 4 { 5.3) m.dV. kENDALL, a. sTX@ART, tEORIQ rASPREDELENIJ,mOSKWA, nAUKA, 1966, gLAWY 1 { 2.lEKCIQ 3w lEKCII OPREDELQ@TSQ HARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII SLU^AJNYH WELI^IN,SEMIINWARIANTY, PRIWODQTSQ OSNOWNYE SWOJSTWA HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ.3.1harakteristi~eskie funkcii slu~ajnyh weli~in-1) pUSTX SLU^AJNAQ WELI^INA X IMEET FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (x),TOGDA HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCIEJ NAZYWAETSQ KOMPLEKSNOZNA^NAQFUNKCIQ WIDAfX=(t) f (t) = EeitX+Z1;1=cos(tx)dF (x) + i+Z1;1+Z1;1eitx dF (x) =(3:1:1)sin(tx)dF (x):w ^ASTNOSTI, ESLI U SLU^AJNOJ WELI^INY X SU]ESTWUET PLOTNOSTXp(x) = F 0 (x), TO HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ QWLQETSQ PREOBRAZOWANIEM fURXE PLOTNOSTI p(x)f (t) =+Z1;1eitx p(x)dx:(3:1:2)dLQ DISKRETNOJ SLU^AJNOJ WELI^INY X , PRINIMA@]EJ ZNA^ENIQ xkS WEROQTNOSTQMI pk , HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ f (t) PREDSTAWIMA27lEKCIQ28RQDOMf (t) =XnESLOVNO WIDETX, ^TO ESLIk3eitxk pk :(3:1:3)X N (; 2 );TOf (t) = expfit ; t22 =2g:hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII OPREDELENY PRI WSEH DEJSTWITELXNYH tDLQ L@BYH SLU^AJNYH WELI^IN.
pRIWED<M OSNOWNYE SWOJSTWA HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ:(a) SPRAWEDLIWY SOOTNO[ENIQf (0) = 1; jf (t)j 1; t 2 R1 ;(b) HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA WSEJ DEJSTWITELXNOJ OSI;(c) (POLOVITELXNAQ OPREDEL<NNOSTX HARAKTERISTI^ESKIH FUNKCIJ) PRIKAVDOM n 2 N DLQ L@BYH KOMPLEKSNYH ^ISEL z1 ; : : : ; zn I L@BYHWE]ESTWENNYH ^ISEL t1 ; : : : ; tnnXl;mf (tl ; tm )zl zm 0;(d) \RMITOWOSTX:f(;t) = f (t);(e) PRI Y = aX + b, GDE a I b { DEJSTWITELXNYE ^ISLAfY (t) = eibt fX (at):dLQ RE[<T^ATOGO RASPREDELENIQpn = P(X = b + nh); n = 0; 1; 2; : : :HARAKTERISTI^ESKAQ FUNKCIQ f (t) PREDSTAWIMA W WIDE RQDA fURXEf (t) = eitb+1Xn=;1eitnhpn(3:1:4)3.1.hARAKTERISTI^ESKIE FUNKCII29TAK ^TOjf (2=h)j = 1:oBRATNO, ESLI PRI NEKOTOROM t0 =6 0 SPRAWEDLIWO RAWENSTWOjf (t0)j = 1;TO SOOTWETSTWU@]EE RASPREDELENIE RE[<T^ATOE.mAKSIMALXNYJ [AG RASPREDELENIQ RAWEN h TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MODULX HARAKTERISTI^ESKOJ FUNKCII MENX[E EDINICY PRI 0 < jtj <2=h I RAWEN EDINICE PRI t = 2=h.2) sOGLASNO uTWERVDENI@ 1.1.1, MY MOVEM KAVDU@ FUNKCI@ RASPREDELENIQ F (x) PREDSTAWITX W WIDE SUMMY SUMMY TR<H KOMPONENT.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
