В.Е. Бенинг - Дополнительные главы математической статистики (1129320), страница 9
Текст из файла (страница 9)
oBY^NO RASSMATRIWA@T STRATEGI@ SLEDU@]EGOTIPA: NAZNA^AETSQ POROGOWOE ZNA^ENIE m I S^ITAETSQ, ^TO ESLI X > m,TO PARTIQ OTWERGAETSQ, W PROTIWNOM SLU^AE ONA PRINIMAETSQ. tAKIMOBRAZOM STRATEGI@ S (x; ) MOVNO ZADATX TOLXKO NA DWUH TO^KAHS (x; 0 ) = 1(m; n](x); S (x; 1 ) = 1[0; m] (x):8.2.8.2wYBOR STRATEGIIwybor strategiioSNOWNOJ ZADA^EJ MATEMATI^ESKOJ STATISTIKI QWLQETSQ WYBOR STRATEGII WZADA^E STATISTI^ESKOGO RE[ENIQ, KOTORAQ BYLA BY OPTIMALXNA OTNOSITELXNO NEKOTOROJ KONKRETNOJ MERY KA^ESTWA. tAKOJ WYBOR S MATEMATI^ESKOJTO^KI ZRENIQ ESTESTWENNO PROWODITX, WWODQ OTNO[ENIE ^ASTI^NOGO PORQDKAW KLASSE WSEH STRATEGIJ.
dAWAEMYE NIVE OPREDELENIQ PEREFRAZIRU@T PONQTIQ MAKSIMALXNOGO \LEMENTA, MAKSIMUMA I KOFINALXNOGO MNOVESTWA.oPREDELENIE 8.2.1.1) eSLI PROSTRANSTWO STRATEGIJ S = S (x; ) ^ASTI^NO UPORQDO^ENO SPOMO]X@ DANNOGO UPORQDO^ENIQ , TO STRATEGIQ S NAZYWAETSQ OPTIMALXNOJ, ESLI S S DLQ L@BOJ DRUGOJ STRATEGII S . sTRATEGIQ NAZYWAETSQ DOPUSTIMOJ, ESLI NE SU]ESTWUET DRUGOJ STRATEGII,STROGO PREWOSHODQ]EJ EE W SMYSLE ^ASTI^NOGO UPORQDO^ENIQ .2) sEMEJSTWO STRATEGIJ S NAZYWAETSQ POLNYM OTNOSITELXNO ZADANNOGO UPORQDO^ENIQ , ESLI DLQ L@BOJ STRATEGII S SU]ESTWUET STRATEGI S 0 2 S TAKAQ, ^TO S S 0.3) fUNKCIEJ POTERX NAZYWAETSQ IZMERIMAQ FUNKCIQ WIDAL(; ) : ;! [0; +1):pRI \TOM OBY^NO L(; ) IMEET SMYSL U]ERBA OT PRINQTIQ RE[ENIQ 2 PRI ISTINNOM ZNA^ENII PARAMETRA 2 .4) eSLI S (x; ) { STRATEGIQ, A L(; ) { FUNKCIQ POTERX, TO WELI^INAWIDAZWS (; x) = L(; )dS (x; )NAZYWAETSQ SREDNIM U]ERBOM.5) fUNKCIQ WIDAZRS () = E WS (; X ) = WS (; x)dP (x); 2 ;XNAZYWAETSQ FUNKCIEJ RISKA ILI RISKOM.73lEKCIQ7486) eSLI W PARAMETRI^ESKOM MNOVESTWE WYDELENA { ALGEBRA V , TOAPRIORNYM RASPREDELENIEM NA STATISTI^ESKOJ STRUKTURE (X ; F ; fP ; 2(; V )) NAZYWAETSQ L@BAQ WEROQTNOSTNAQ MERA Q() NA IZMERIMOMPROSTRANSTWE (; V ).7) eSLI Q() { APRIORNOE RASPREDELENIE NA (; V ), TO ^ISLORSQ =ZRS ()dQ()NAZYWAETSQ BAJESOWSKIM RISKOM.8) fUNKCIQ RISKA RS () ZADAET ^ASTI^NOE UPORQDO^ENIE W PROSTRANSTWE STRATEGIJ WIDAS 0 S () RS () RS0 () DLQ WSEH 2 IS 0 S () RS () RS 0 () DLQ WSEH 2 ;SU]ESTWUET 0 2 TAKOE, ^TO RS (0 ) < RS0 (0):9) fUNKCIQ POTERX L(; ) I APRIORNOE RASPREDELENIE Q() ZADA@T LINEJNOE UPORQDO^ENIE NA MNOVESTWE WSEH STRATEGIJ S POMO]X@ BAJ-ESOWSKOGO RISKAS 0 S () RSQ RSQ0 :wWEDENIE APRIORNOGO RASPREDELENIQ Q() W STATISTI^ESKOJ ZADA^E QWLQETSQ OSNOWNYM PRI TAK NAZYWAEMOM BAJESOWSKOM PODHODE W STATISTIKE, W KOTOROM PREDPOLAGAETSQ, ^TO PARAMETR QWLQETSQ SLU^AJNOJ WELI^INOJ (HOTQI NENABL@DAEMOJ) S IZWESTNYM RASPREDELENIEM Q().
|TO APRIORNOE RASPREDELENIE (APRIORNOE OTNOSITELXNO NALI^IQ DANNYH), CELX KOTOROGO { ZADANIEINFORMACII PERED NA^ALOM \KSPERIMENTA ILI PREDWARITELXNYH DANNYH ONEIZWESTNOM PARAMETRE , W NEKOTORYH ZADA^AH MOVNO OBOSNOWATX. pREDPOLOVIM, NAPRIMER, ^TO MY HOTIM OCENITX WEROQTNOSTX WYPADENIQ "ORLA" PRIBROSANII MONETY. dO SIH POR MY RASMATRIWALI n BROSANIJ MONETY KAK MNOVESTWO n BINOMIALXNYH ISPYTANI S NEIZWESTNOJ WEROQTNOSTX@ WYPADENIQ"ORLA" .
pREDPOLOVIM, ODNAKO, ^TO MY IMEEM ZNA^ITELXNYJ OPYT BROSANIQ MONET, OPYT, KOTORYJ, WOZMOVNO, DAL NAM PRIBLIV<NNOE ZNA^ENIE DLQBOLX[OGO ^ISLA PODOBNYH MONET. eSLI MY S^ITAEM, ^TO \TOT OPYT IMEET OTNO[ENIE I K DANOJ MONETE, TO BYLO BY, BYTX MOVET, RAZUMNO PREDSTAWITX8.2.wYBOR STRATEGII75\TO PRO[LOE ZNANIE W WIDE WEROQTNOSTNOGO RASPREDELENIE DLQ , PRIBLIV<NNAQ FORMA KOTOROGO PODSKAZANA BOLEE RANNIMI DANNYMI. wYBOR APRIORNOGORASPREDELENIQ Q() PROWODITSQ OBY^NO, KAK I WYBOR RASPREDELENIJ P (),PUT<M KOMBINIROWANIQ OPYTA I UDOBSTWA.
kOGDA MY DELAEM DOPU]ENIE OTOM, ^TO KOLI^ESTWO ATMOSFERNYH OSADKOW IMEET GAMMA { RASPREDELENIE,MY DELAEM \TO NE POTOMU, ^TO DEJSTWITELXNO WERIM, ^TO \TO IMENNO TAK,A POTOMU, ^TO SEMEJSTWO GAMMA { RASPREDELENIJ ESTX DWUHPARAMETRI^ESKOESEMEJSTWO, KOTOROE, PO-WIDIMOMU, DOWOLXNO HORO[O SOOTWETSTWUET DANNYMI KOTOROE S MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ WESXMA UDOBNO. aNALOGI^NO, MYMOVEM POLU^ITX APRIORNOE RASPREDELENIE, OTPRAWLQQSX OT DOSTATO^NO BOGATOGO SEMEJSTWA, S KOTORYM W MATEMATI^ESKOM OTNO[ENII LEGKO OBRA]ATXSQ,I WYBIRAQ IZ \TOGO SEMEJSTWA RASPREDELENIE, KOTOROE APPROKSIMIRUET NA[PRO[LYJ OPYT. tAKOJ PODHOD, PRI KOTOROM MODELX WKL@^AET W SEBQ APRIORNOE RASPREDELENIE DLQ S TEM, ^TOBY OTRAZITX PRO[LYJ OPYT, QWLQETSQPOLEZNYM W TEH OBLASTQH, GDE IMETSQ BOLX[OJ TAKOJ PRED[ESTWU@]IJ OPYT.pRIMERY.1) pUSTX = R1 . rASSMOTRIM NERANDOMIZIROWANNYE STRATEGIIS (x; ), WYROVDENNYE W TO^KAH (x) 2 .
pUSTX FUNKCIQ POTERX IMEETWID (KWADRATI^NAQ O[IBKA)L1 (; ) = c ( ; )2 ; c > 0;TOGDAZWS (; x) = L1 (; )dS (x; ) = L1 (; (x)):fUNKCIQ RISKA IMEET WIDRS () = E WS (; X ) = E L1 (; (X )) == c E ((X ) ; )2 :tEPERX RASSMOTRIM DRUGU@ FUNKCI@ POTERX(j < "L2 (; ) = 0c;; jj ;; j " c > 0; " > 0:tOGDAZWS (; x) = L2 (; )dS (x; ) = L2 (; (x))I(8:2:1)RS () = E L2(; (X )) = c P (j(X ) ; j "):(8:2:2)lEKCIQ7682) rASSMOTRIM TEPERX ZADA^U PROWERKI DWUH GIPOTEZ = f0 ; 1 g; = f0 ; 1 g;GDE i { RE[ENIE, SOSTOQ]EE W TOM, ^TO = i; i = 0; 1. w \TOM SLU^AEL@BAQ STRATEGIQ S (x; ) ZADA<TSQ IZMERIMOJ FUNKCIEJ (x) 2 [0; 1]S (x; 0 ) = (x); S (x; 1 ) = 1 ; (x):pUSTX, NAPRIMER, FUNKCIQ POTERX IMEET WID8>0; = 0 ; = 0>><0 ; = 1L(; ) = > c01; > 0; ==1 ; = 0>>:c2 > 0; = 1 ; = 0w \TOM SLU^AEZWS (; x) = L(; )dS (x; ) = L(; 0)(x) + L(; 1 )(1 ; (x)) =(c1 (1 ; (x)); = 0c2 (x); = 1 :dLQ FUNKCII RISKA IMEEM WYRAVENIE(; (X )); = 0RS () = E WS (; X ) = cc1 EE0 (1(X); = 1 :2 1=(8:2:3)tEOREMA 8.2.1.
pUSTX FUNKCIQ POTERX L(; ) PRI WSEH 2 NEPRERYWNA I WYPUKLA WNIZ PO 2 , I R1 { WYPUKLOE OGRANI^ENNOE MNOVESTWO, TOGDA SEMEJSTWO NERANDOMIZIROWANNYH STRATEGIJ POLNO OTNOSITELXNO ^ASTI^NOGO UPORQDO^ENIQ, POROVDAEMOGO FUNKCIEJ POTERX L(; ).dOKAZATELXSTWO. zAMETIM, ^TO ESLI g(x) { WYPUKLAQ WNIZ IZMERIMAQFUNKCIQ, TO DLQ L@BOJ INTEGRIRUEMOJ SLU^AJNOJ WELI^INY SPRAWEDLIWONERAWENSTWO iENSENAEg( ) g(E ):(8:2:4)(dOKAZATELXSTWO MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W [4], STR. 207.) pOSKOLXKU PO USLOWI@ MNOVESTWO OGRANI^ENO, TO SU]ESTWUET INTEGRALZ(x) = dS (x; );8.2.wYBOR STRATEGIIIZ NERAWENSTWA iENSENA SLEDUET OCENKAZL(; ) dS (x; ) L(; (x)):iNTEGRIRUQ TEPERX PO P , POLU^IMRS () RS (); DLQ WSEH 2 ;GDE S (x; ) { WYROVDENNAQ STRATEGIQ W TO^KE (x), TO ESTX DLQ L@BOJ STRATEGII S SU]ESTWUET NERANDOMIZIROWANNAQ STRATEGIQ S , KOTORAQ NE HUVE,^EM S . pO\TOMU KLASS WSEH NERANDOMIZIROWANNYH STRATEGIJ POLON.zADA^I.1) kAKIE USLOWIQ NAKLADYWA@TSQ NA MNOVESTWO ?2) gDE W DOKAZATELXSTWE tEOREMY 8.2.1 ISPOLXZOWALASX WYPUKLOSTX MNOVESTWA ?3) oBOB]ITX tEOREMU 8.2.1 NA SLU^AJ Rk ; k > 1.77lEKCIQ788.38spisok literatury1) v.
{ r. bARRA, oSNOWNYE pONQTIQ mATEMATI^ESKOJ sTATISTIKI,mOSKWA, mIR, 1974, gLAWA 4, < 1 { < 5.2) n.n. ~ENCOW, sTATISTI^ESKIE rE[A@]IE pRAWILA I oPTIMALXNYEwYWODY,mOSKWA, nAUKA, 1972, wWEDENIE, < 1, < 2, gLAWA 1, < 5.3) g. ~ERNOW, l. mOZES, |LEMENTARNAQ tEORIQ sTATISTI^ESKIH rE[ENIJ,mOSKWA, sOWETSKOE rADIO, 1962, gLAWY 1 { 6.4) a.n. {IRQEW, wEROQTNOSTX,mOSKWA, nAUKA, 1989.lEKCIQ 9w lEKCII PRIWODQTSQ OSNOWNYE PONQTIQ I FAKTY TEORII OCENIWANIQ, KOTORAQ RASSMATRIWAETSQ KAK ^ASTNYJ SLU^AJ OB]EJ PROBLEMY STATISTI^ESKIH RE[ENIJ.9.1teoriq oceniwaniqpUSTX (X ; F ; fP ; 2 g) { DOMINIRUEMAQ STATISTI^ESKAQ STRUKTURA I(; U ) { PROSTRANSTWO RE[ENIJ. pUSTX g() NEKOTORAQ IZMERIMAQ FUNKCIQ,ZADANNAQ NA I DEJSTWU@]AQ W NEKOTOROE IZMERIMOE PROSTRANSTWO (;; W ).pREDPOLOVIM, ^TO PO REZULXTATAM NABL@DENIJ X = x MY HOTIM "OCENITX"ZNA^ENIE g().
w \TOM SLU^AE ESTESTWENNO POLOVITX ; = . pREDPOLOVIMDLQ PROSTOTY, ^TO ; R1. fUNKCIQ POTERXL(; ) : ;! [0; 1)HARAKTERIZUET "BLIZOSTX" g() I . oBY^NO RASSMATRIWA@T FUNKCII POTERXWIDAL(; ) = (g() ; )2 ;L(; ) = c()(g() ; )2 ; c() 0;L(; ) = jg() ; j;2kL(; ) = (2gk(jg)(;) ;) ;j ; k2 ; jjgg(()) ;; jj k:wSE \TI FUNKCII PRI FIKSIROWANNOM WYPUKLY WNIZ PO , PO\TOMU ESTESTWENNO W \TOM RAZDELE RASSMATRIWATX TOLXKO WYPUKLYE WNIZ FUNKCII POTERX.tEPERX, PREDPOLAGAQ, ^TO USLOWIQ REGULQRNOSTI tEOREMY 8.2.1 WYPOLNENY,(79lEKCIQ809POLU^AEM, ^TO DLQ L@BOJ STRATEGII S (x; ) SU]ESTWUET NERANDOMIZIROWANNAQ STRATEGIQ S (x; ) WIDAS (x; D) = 1D ((x)); D 2 U ;KOTORAQ NE HUVE ^EM S (x; ), TO ESTXRS () RS (); DLQ WSEH 2 :tAKIM OBRAZOM BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO NERANDOMIZIROWANNYE STRATEGII S (x; ) I OTOVDESTWLQTX IH S IZMERIMOJ FUNKCIEJ (x) 2 .oPREDELENIE 9.1.1.1) oCENKOJ PARAMETRI^ESKOJ FUNKCII g() NAZYWAETSQ IZMERIMAQ FUNK-CIQ = (x) : X ;! ;;KOTORAQ NE ZAWISIT OT .2) rISKOM OCENKI (X ) NAZYWAETSQ FUNKCIQ (SM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
