В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Считать уширение малым (хьа «Ь). 692*. Часпща с зарядом е и массой пт движется с произвольной скоростью в однородном постоянном электрическом поле Е. В начальный момент времени 1 = О часпща находилась в начале координат и имела импульс ро. Определить трехмерные координаты и время 1 частицы в лабораторной системе, в функции ее собственного времени т. Исключив т, представить трехмерные координаты частицы в зависимости от т.' Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы.
693. Найти траекторию заряженной часпщы с зарядом е и массой пт в однородном постоянном электрическом поле Е, используя результаты задачи 692е. Рассмотрепь в частности, нерелятивисгский случай. 694. Найти пробег 1 релятивистской заряженной частицы с зарядом е, массой т и начальной энергией Ю в тормозящем однородном электрическом поле Е, параллельном начальной скорости часпщы. ' Задача может быль решена ежове непоередетвенно путем интегрирования уравнений движении чветинм в трехмерной форме. 194 Глава Л7 695 . Релятивистская часпща с зарядом е и массой пз движется в однородном постоянном магнитном поле Н.
В начальный момент времени 1 = = О частица находилась в точке с радиусом-вектором го, обладая импульсом ро. Определить закон движения часпщы. 696*. Нерелятивистская частица с зарядом е и массой ти движется в скрещенных постоянных однородных электричесюм Е = (О, Е„, Е,) и магнитном Н = (О, О, 1з ) полях.
В начальный момент Ф = О часпща находилась в начале юординат и имела скорость ч = (по*, О, пол). Определить зависимости х(Ф), у(г), я(Ф), начертить возможные траектории частицы. УкА3Ание. Дяя упрощения интегрировании ввести и = х+ 1Л. 697. Релятивистская часпща движется в параллельных однородных постоанных электрическом Е и магнитном Н полях (Е 8 Н 8 я). При 1 = = О часпща находилась в начале координат, обладая импульсом ро = = (ро„О, Ро,). Определить зависимость х, у, я, 1 от собственного времени часпппя т. 698. Определить закон движения часпщы во взаимно перпендикулярных однородных постоянных электричесюм Е н магнипюм Н полях. Сделазь это двумя способами: а) используя преобразование Лоренца и считая известным движение частицы в чисто электричесюм или чисто магнитном поле (см. задачи 692» и 695*) и б) интегрируя уравнения (Х1.19).
699. Найти кинетическую энергию Т частицы в функции собственного времени т для случаев движения, рассмотренных в задачах 692'ь, 697, 698. 700. Частица, начальная сюрость ео юторой мала (ео « с), движегся вскрешенных постоянных однородных электрическом и магнитном полях Е = (О, Е„, Е,), Н = (О, О, Н), Е « Н. Определить закон движения часпшы, используя преобразования Лоренца и считая известным движение частицы в параллельных злектричесюм и магнитном полях (см. задачу 697). При решении использовать результаты задачи 603. Ответ сравнить с задачей 696». 701. Определить закон движения частицы с зарядом е и массой т в поле плосюй электромагнитной волны Е(1'), Н(1'), где г' = 1 — и ' г, и — орт распространения волны.
В начальный момент с часпща покоилась в начале координат. Указания. Обратить внимание на то, что собственное время т частицы совладает с аргументом Р пяосюй волны. б 2. Двизсанив зарлаквнныл частиц в злакмромагнимнам иоле 195 702. Нерелятивистская заряженная частица с зарядом е и массой т проходит через двумерное элекгростатичесюе поле с потенциалом ~р = = к(х — у'), где к = сопвг > О (ливэа с сильной фокусировюй).
В момент времени 1 = О часпща находится в точке с координатами хо. уо ло' начальная сюрость по параллельна оси л. Определить движение частицы. 703. Найти дифференциальные уравнения движения релятивистской частицы в электромагнитном поле исходя из функции Лагранжа в цилиндрических юординатах. Укхзхнив. Прп вычислении производной по времени в уравнениях Лагранжа нужно учитывать, что зта производная берется вдоль траектории частиц, так что г, а, л должны рассматриваться как функции времени. 704*. Между обкладками цилиндричесюго юнденсатора с радиусами а и Ь (а ( Ь) поддерживаетсл разность потенциалов У.
В пространстве между обкладками имеется аксиально симметричное магнитное поле, напряженность которого параллельна оси юнденсатора. Из внутренней обкладки, играющей роль катода, вылетакгг электроны с нулевой начальной сюростью. Найти критическое значение тока магнитного поля Ф„р между обкладками, прн котором электроны перестануг попадать на анод вследствие искривления их траекторий в магнитном поле. 705.
Длинный прямой цилиндрический катод радиуса а, по юторому течет равномерно распределенный ток .р, испускает электроны с нулевой начальной скоростью. Эти электроны движутся под действием ускоряющего потенциала У к длинному юаюиальному аноду радиуса Ь. Каюво должно быть минимальное значение разности потенциалов У между катодом и анодом, чтобы электроны достигали анода, несмотря на заворачивающее действие магнитного поля тока .р 7 706. По бесконечно длинному прямому цилиндричесюму проводу радиуса и течет ток .р.
С поверхности провода срывается электрон начальная скорость по которого направлена вдоль провода. Найти наибольшее расстояние Ь, на которое электрон может удалиться от оси проводника. 707. Решить задачу 705, используя преобразование Лоренца к системе отсчета, в которой имеется толью одно поле (Е или Н). Указание. Восполиоватьсл результатами задач 606 ц 706. 708*.
Релятивистская часпща с зарядом — е и массой гп движется в поле неподвижного точечного заряда Яе. Найти уравнение траектории частицы. Исследовать возможные траектории в случае, югда момент имЯе пульса К > —. 196 Глава Л7 УКАЗАНИЕ. Воспользоввтьсл задовом сохранения энергии и уравнениями, лолучеввммв в задаче?03. 709. Исследовать возможные траектории частицы, рассмотренной в прелылушей задаче, в том случае, когда К < е . 710*. Релятивистская частица с зарядом е н массой т движется в поле тяжелого одноименного точечного заряда Яе.
Найти траекторию часпщы и исследовать решение. 711. Показать, по при движении частицы в кулоновом поле притяжения (см. задачу 708») скорость частицы стремится к с при г — ~ 0 (Яе > Кс). 712. Найти траекторию относительного движения нерелятивистских часпщ с зарядами е, е', массами тп тз и энергией е. Исследовать решение.
713+. Найти дифференциальное сечение рассеяния т(д) нерелятивистских часпщ с зарядом е в поле неподвижного точечного заряда е'. Скоросп частиц вдали от рассеивающего центра равна ео. 714. Определить угол д отклонения релятивистской заряженной ча(ее'( спщы с зарядом е, энергией 4' > тсз и моментом импульса К > пролетающей в кулоновом поле тяжелого неподвижного заряда е' (см.
Задачи 708« и 710*). 715. Релятивистская частица с зарядом е, массой т н скоростью на бесконечности оо рассеивается на малый угол кулоновым полем неподвижного заряда е'. Определить дифференциальное сечение рассеяния п(д). 716. Электрон с зарядом е и массой т пролетает в вакууме над плоской незаряженной поверхностью диэлектрика с проницаемостью е. Вначале электрон двигался параллельно поверхности диэлектрика со скоростью о н находился от нее на расстоянии а.
На каком расстоянии х от проекции начального положения электрона на поверхность диэлектрика электрон врежется в диэлектрик? 717+. В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно нарастает, порождая разгоняющую электрон э.д.с. индукции, а орбита его остается неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите постоянного радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток Ф, пронизывающий орбиту, был вдвое больше потока Фе, который получился бы„если бы поле внутри орбиты было однородно и равно полю на орбите (бетатронное правило «2: 1»).
б 2. Деизсекие заряясенных частиц е злекпромалккглном воле 197 „г 718е. Показать, что с точностью до членов —" энерпш запаздываюс щего взаимодействия дпух заряженных часпщ имеет вид: У(1) — (1 — — (тгг уз+ (уг ° п)(уг п)1), где В, — радиус-вектор относительного положения частиц, п = —, ям К В' тгг — скорости частиц. Все величины в правой части равенства берутся в момент 1. УклзАние. Воспользоватьсв разложениями потенциалов Лиенара — Вихертв, найденными нике в задаче 757ь, оставив в иих только те члены, которые не зависят от ускорений и их производных. Произвести градиентное преобразование потенциалов таким образом, чтобы скалярный потенциал принял форму кулонова потенциала 719. Найти приближенное выражение функции Лагранжа двух взаимодействующих частиц с зарядами ем ег и массами гцм гцж учитывая „г эффект запаздывания с точностью до поправочных членов порядка —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
