В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Релятивистская мектродииамика (О -Е. -ń— Е,'~ (е. о -и, н„~1 Р)ь = ~Е„Н, О -Н.) Е, — Н„Н О (Х.24) При переходе от системы Я' к системе Я компоиеиты поля преобразуются по формулам (оси х и х' параллельны относительной скорости): Е = Е', Еа = 7(Е'„+)3Н,'), Е, = У(Е', — )3Н„') Н = Н', Нк — — 7(Н„'— ДЕЛ), Н, = 'У(Н,'+ (3Е„').
(Х.25) Нз — Ез=шт, Е ° Н=1пт (Х.26) являются инвариаитами преобразования Лоренца. Векторный А и скаляриый ~р потенциалы образуют 4-вектор потеициала А; = (у,А). (Х.27) Приведем основные формулы релятивистской злектродииамики в вакууме. Плотность трехмерного тока з = рч и плотность заряда р образуют 4-вектор плотности тока: .у. = (ср,5). (Х.23) Электрическое и магнитное поля являются компонентами аитисимметричиого 4-теизора злектромагпитиого поля гуь.' З 3.
Раттиеистскак электродикаиика Компоненты тензора энергии-импульса в вакууме определяются фор- мулой 4я( 4~г гт)' (Х.28) Девять пространственных компонент тензора Тга образуют трехмерный тензор натяжений Максвелла Тцу = — ( — ЕаЕд — НаНд) + — (Е + Н )б и.
(Х.29) Пространственно-временные компоненты Тгь пропорциональны составля- ющим плотности потока энергии Я и плотности импульса поля я: 1 Зоа = с7а~ Я= сКХН, юг (Х.ЗО) Я = — Е х Н = — Я. 1 1 4яс сз Тоа — соим Временная компонента Тгь связана с плотностью энергии поля ю соот- ношением Тоо = ы = 1 (Ез + Нз). 87Г (Х.31) Дивергенция тевзора Тк определяет обьемную плотность сил Д = —, т), приложенных к зарядам: г и ° 1." — = Л = — -Егь.Ь. В2'ге 1 Вкь с г (Х.32) Перейдем теперь к формулам электродинамики при наличии сред. В этом случае векторы поля Е, 13, В, Н образуют два антисимметричных четырехмерных тензора Б ранга: тевзор пола (Х.ЗЗ) и тензор индукции (Х.34) О Е„ Е, — Е, О В, — В и — Р О Нк — Н и 172 Глава Х Векторы поляризации и намагничения Р и М также образуют 4-тензор е В з -м„м.
о о — Рв М;а = (Х.35) Формулы О = Е + 4хР и В = Н + 4яМ обьединяются в одно соотношение Нь = Рза — 4згмцо 1Х.З61 Четырехмерная Д, приложенная к единице объема среды со стороны поля, определяется как Л = (1 [9 + р У1,?), <Х.З?1 где г — пондеромоторная сила, приложенная к единице объема, Я вЂ” джоу- лево тепло, выделяемое в единицу времени в единице объема. УКАЗАНИЕ. Воспользоваться выражением юзффициентов преобразования, приведенным в задаче 602, и антисимметрией тензоров Рн„Н,ь, Моь 604. В системе отсчета Я имеется однородное электромагнитное поле Е, Н.
С каюй скоростью относительно Я должна двигатьса система Я', в которой Е' ~~ Н'? Всегда ли задача имеет решение и единственно ли оно? Чему равны абсолютные значения Е' и Н'? 605. В системе отсчета Я электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны: Е 1 Н. С какой скоростью относительно Я должна двигаться система Я', в которой имеется только электрическое или только мапппное поле? Всегда ли существует решение и единственно ли оно? 606.
Бесконечно длинный круговой цилиндр равномерно заряжен с линейной плотностью зг. Вдоль оси цилиндра течет равномерно распределенный ток .У. Во всем пространстве проницаемости е = 1з = 1. Найти такую систему отсчета, в которой существует только электрическое или только мапппное поле.
Найти величину этих полей. 603. Записать формулы преобразования для векторов поля Е, В; Р, Н н поляризаций Р, М при переходе к системе У, движущейся относительно системы Я с произвольно направленной скоростью У. Представить формулы преобразования в векторном виде. 173 1 3. Реяятиеистская электродикаиика 607. Система дифференциальных уравнений для магнитных силовых линий вида Иг х Н = О не является релятивистски инвариантной и при переходе в другую инерциальную систему не сохраняет своего вида.
а) Показать, что для полей некоторого специального вида система уравнений (2) й х Н+ сЕос = О, Е ° Нг = О может рассматриваться как релятивистски инвариантное обобщение системы (1). б) Выяснить структуру полей, для которых такое обобщение возможно, путем рассмотрения условий совместности уравнений (2). Сколько независимых уравнений содержится в системе (2)? в) Какой вид имеет условие интегрируемости системы (2)? г) Убедиться в том, что силовые линии, определяемые системой (2), перемещаются в поперечном направлении со скоростью и = сЕ х —, т.е. Н Нз являются движущимися даже в случае статических полей. 608.
Показать, что релятивистски ннвариантная система уравнений для электрических силовых линий, аналогичная системе (2) предыдущей задачи, имеет внд е,ы Х) Ыхь = О (1). Какие требования налагаются на Е и Н, а также на распределение зарядов и токов условиями совмеспюсти и интегрируемости системы (1)? Как перемещаются силовые линии, определяемые системой (1)? 609. Найти величину э.д. с. злектромапппной индукции, возникающей при движении проводника в магнитном поле В.
Воспользоваться либо формулами преобразования напряженностей поля, либо формулами преобразования потенциалов. 610. Найти поля ис, А, Е, Н точечного заряда е, движущегося равномерно со скоростью '(Г, произведя преобразование Лоренца от системы отсчета, в юторой заряд покоится. 611. Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного заряда «сплющнваегся» в направлении движения. При этом происходит ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с кулоновым полем.
Как согласуется это ослабление с формулой преобразования Е1 = Е~~? 612. Электрический диполь с моментом ро в системе покоя равномерно двюкется со скоростью 'й. Найти создаваемое им электромагнитное поле ~р, А, Е, Н. 175 $3. Релятмиоиская эяеки1иодмиьиика 620*. Система состоит из часпщ и электромаппггного поля в вакууме и занимает конечный обьем. Из рассмотрения баланса полного момента импульса К д этой системы найти выражение для плотности потока Я момента нмпУльса полЯ.
Воспользоватьса выРажением длл Кэо пРиведенным в условии предыдущей задачи. ЛИТЕРАТУРА Фок В. А. [107), Ландау Л.Д., Лифшиц Е. М. [65, 66], Бергман П. Г. [13), Френкель Я. И. (111, 112], Эйнппейн А. (117), Мандельштам Л. И. [76], Джексон Дж. (52] Беккер Р. (12), Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. (106], Гуревич Л.
Э. [49], Паули В. [87], Гайтлер В. (29], Компанеец А. С. [60], Минковский Г.[79], Борн М. (17], Лефферт К., Донайе Т. (72), Пановский В., Филипс М. (86], Вайскопф В. [24], Соколовский Ю. И. [97]. ~ ЛАВА ~~ РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА $1. Энергия и имнулье Импульс р решпивистской частицы связан с ее скоростью ч соотношением (Х1.1) тч „l:„'' тйс' (х1.г) г -.,ртыэ. (х).з) Кинетическая энергия Т частицы отличаегсв от полной энергии на величину энергии покоя 8о = тсз: Т = о — тсз. (Х1.4) Энергия, импульс и скорость частицы связаны формулой: еч = сзр.
(Х1.5) Энергия и импульс частицы валяются временной и пространственной со- ставляющими 4-вектора энергии импульса (4-импульса): р; = (8/с,р). (Х1.6) При переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой энергия и импульс преобразуются по формулам (Х.4). Квадрат 4-импульса являетса релятивистским инвариантом: рз = йз(с' р' = т'с'.
где т — масса частицы. Полная энергия 8 свободно движущейся часпщы может быль выражена через скорость: 177 11. Энергия и иияуяьс Частица называется нерелктивистской, если ее кинетическая энергия мала, и ультрарелатиаистской, если ее кинетическая энергия велика по сравнению с энергией покоя. Скорость ультрарелятнвистской частицы близка к скорости света, импульс связан с энергией соотношением (Х1.8) Частицы с нулевой массой и энергией покоя (фотоны, нейтрино) всегда являются ультрарелативистскими, их скорость точно равна с. Энергия и импульс фотона в вакууме связаны с его частотой формула- (Х1,9) с где Ь = 1,06 ° 10 зт зрг.
сек — постоянная Планка. Полные энергия и импульс замкнутой системы часпщ сохраняются. Отсюда следует, что если до начала и после окончания некоторой реакции (распада или столкновения) частицы не взаимодействуют между собой, то полный 4-импульс в начальном и конечном состояниях одинаков: (Х1.10) где суммирование производится по всем частицам, имеющимся до и после реакции. При рассмотрении столкновений удобно пользоваться одной из двух систем отсчета: лабораторной системой Я или системой центра инерции Я' (система ц.
и.), в которой полный импульс р равен нулю. Следует обратить внимание на полезный прием, состоящий в использовании ннвариантности квадратов 4-импульсов (см. решения задач 651, 657ь, 675). Различаютсл два типа столкновений: упругие, при которых не меюпотся внутренние состояния и, следовательно, массы частиц, и неупругие, при которых меняются внутренние энергии (массы) сталкивающихся частиц, исчезают старые или рождаются новые частицы.
При неупругом столкновении двух частиц сумма масс т~+ пьз сталкивающихся частиц отличается от суммы масс Мь образующихся частиц на величину (Х1.11) ььМ = гп1+ газ Мь' котораа называется дефектом массы. Величина Я = сзЬМ называется энергетическим выходом реакции. Реакции, идущие по схеме а+6- с+И, (Х1.12) 178 Гдпеа Л7 т.е.
такие, при которых две частицы превращаются в две другие частицы, называются двухчастичными (частным случаем двухчастнчной реакции является упругое рассеяние двух частиц). Кинематику двухчастичных реакций удобно описывать с помощью ннвариантных переменных з, 1, ы: д = (Рез + Ры) я 1 = (Рез Рсз) я тз = (Раз Рсн) я (Х1.13) 2 2 2 где Рая — и т.д. — 4-импульсы частиц, участвующих В реакции.
Любую из величин д, Ф, и можно выразить через две другие с помощью соотношения д + с + зз = (пза +»зь + пзс + пз,з)с (Х1.14) Наглядное представление о кинематике двухчастичной реакции дает кинематическая плоскость, на которой откладываются значения переменных а и $ (илн в, $ и и — см. задачу 673). Зазюны сохранения энергии и импульса ограничивают на кинематической плоскости область значений д, 1„и, физическую для данной реакции. Многие формулы релятивистской кинематики приобретают более простой вид, если пользоваться системой единиц, в юторой скорость света с = = 1.
При этом масса, знерпш и импульс измерякпся в одинаковых единицах, например в Мэв (1Мэв = 10 эв = 10 зГэв = 1,602 10 бэрг). В некоторых задачах этого параграфа используется такая система единиц (чзо всегда оговаривается). В ряде случаев массы элементарных частиц измеряют в единицах массы электрона пз, (т.е. используют систему единиц, в которой зпе = 1). В таблице Х1.1 приведены для справок массы ряда элементарных часпщ. В таблице Х1.2 приведены значения энергий связи В некоторых ядер. Под энергией связи понимается величина (Х1.15) В = ЬМс = ~~' вон оая~ где вон — энергия покоя нуклона, йюя — энергия подов ядра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
