В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 27
Текст из файла (страница 27)
35, предполагая, что соответствующая ей длина волны Ло велика Энеюпромаенинииые нанебанин в аграниненнын венин (53 по сравнению с размерами системы. Потерями энергии и краевыми эффектами пренебречь. 534. Для уменьшения потерь энергии на юлучение вместо открытого колебательного контура (см. рис. 34) используют закрьпый резонатор, состоящий из соединенных вместе тороидааьной камеры и плоского конденсатора с круглыми пластинами (его разрез и размеры показаны на рис. Зб). Найти собственную частоту мо основного типа колебаний такого резонатора в квазистационарном приближении. При каких условиях применимо такое приближение? Стенки резонатора считать идеально проводящими.
535. Репппь предыдущую задачу для тороидального резонатора с камерой прямоугольного сечения (рис. 37). 536. Резонатор представляет собой цилиндр кругового сечения (внутренний радиус 6, высота 6), вдоль оси которого вставлен идеально проводящий стержень радиуса а (рис. 38). Стенки цилиндра также обладают идеальной проводимостью. Между стержнем и одним из торцов цилиндра оставлен зазор в(. Найти собственные частоты поперечных относительно оси системы электромапппных колебаний, считая, что длина волны этих колебаний много больше зазора Н (но не высоты Ь цилиндра).
Как изменится спектр колебаний при а' -+ О? Рис. 38 Рнс. 37 537. Известны собственные частоты колебаний ш и собственные функции Е, Н„резонатора с идеально проводящими стенками. Вычислить изменение собственных частот, вызванное конечной проводимостью стенок резонатора. Поверхностный нмпеданс ( стенок мал. 154 Глава ХХ Укязяннв. Искать решение уравнений Максвелла в виде Е(г, С) = ~ 9,(С)Еа(г), Н(з, С) = 2 Ра,(Г)На,(г)ф л й где а„и р„— неизвестные функции времени. Вывести уравнения дяя д„и р„ с точностью до членов, линейных по Ь и исследовать их решении.
538. Полый резонатор имеет форму куба со стороной а. Проводимость стенок гг, магнитная проницаемость 1л = 1. Вычислить добротность резонатора для произвольного типа колебаний. Как она зависит от частоты? При каких частотах резонансные свойства системы исчезнут? 539. Полый резонатор, стенки которого имеют поверхностный импе- данс г,, возбуждается сторонним током 3(г)е ьл', текущим внутри резонатора. Частота тока от близка к одной из собственных частот резонатора.
Найти электромагнитное поле, возбуждаемое в резонаторе, и его зависимость от частоты ог вблизи резонанса. Укязяннв. Использовать метод решения, развитый в задаче 537. 540. Открытый резонатор инфракрасного диапазона состоит из двух параллельных круглых зеркал диаметром Р, находящихся на расстоянии Х друг против друга (рис. 39). Пусть собственное колебание такой системы реализуется в виде двух волн с Л « Х, Р, распро- стршшюшихся перпендикулярно плоскостям зеркал навстречу друг другу и образующих стоячую элек- Оценить по порядку величины добротность та$ кого резонатора в приближении геометрической оптики.
Учесть потери энергии при отражениях от зеркал (коэффициент отражения В) и излучение через боковую поверхность резонатора за счет дифракцин. Параметры резонатора: Р = Х = 1сы; В = 0,95; Л = 3 . 10-4 Рис. 39 541. Зеркала открытого резонатора, рассмот- ренного в предыдущей задаче, слепа непараллельны. Угол между их плоскостями )3 « 1. Оценить дополнительные потери на излучение и соответствующий вклад в добротность резонатора, обусловленный непараллельностью зеркал. Какие значения угла )3 допустимы без существенного уменьшения полной добротности резонатора? 542.
В резонаторе, образованном двумя параллельными зеркалами (см. рис. 39), собственные колебания с Л « Х, Р осуществлшотсл в вцле Эиектромагнитные канебанин в ограниченнык танах 155 стоячих воли в пространстве между зеркалами. Рассмотреть тот тип юлебаний, в ютором волновой вектор стоячей волны составляет малый угол д с нормалью к плоскостям зеркал. а) Найти условие, определяющее возможные значения д при заданной Л.
6) Оценить по порядку величины добротность резонатора юк функцию угла д. Рассмотрен различные соотношения между потерями в зеркалах н потерямн на излучение. ЛИТЕРАТУРА Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [66], Вайнштейн Л. А. [23], Гуревич А. Г [47, 48], де-Бройль Л. [5 Ц, Джексон Дж. [52], Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В.
[42], Пановский В., Филипс М. [86], Ахнезер А. И., Файнберг Я. Б. [7], Пегруаькнн В. Ю. [88], Басов Н. Г., Крохнн О. Н., Попов Ю. М. [9]. ГЛАВА Х СПЕЦИАЛЬНАЯТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 9 1. Преобразовании Лоренца Координаты и время в двух инерциальных системах отсчета Я и У свазаны между собой формулами преобразования Лоренца'. х= у(х'+Ух'), у=у', з=з', г= у(сг+ ) (Х.1) (соответствующие оси координат систем о' и о'г параллельны между собой, относительная скорость направлена вдоль оси Ох и при х = хг = 0 начала координат Я и ог совпадают). Обратные преобразования Лоренца получаются как здесь, так и во всех других случаях (например, в формулах (Х.4), (ХА1)) шменением знака скорости У, х' = у(х — Ус), у' = у, з' = з, г' = у(С вЂ” — *1.
(Х2) Величины хо = сь, хг = х, хз = у, хз = з являются координатами мировой точки хс = (сх,г). (Х.З) Всякие четыре величины Ао, Аы Аз, Аз, преобразующиеся при переходе от одной ннерциальной системы отсчета к другой как координаты и время, т.е. по формулам Ао = у(Ае+)уАг), Аг ='у(Аг+11Ао) Аз = Агз, Аз = Аз (Х.4) 'В зтоа н следующих гневах орнменюатсн обознвчених: д= — = Ф вЂ” дт гле и — екорость системы ог относительно системы о. 157 4 1. Преооразоеанил Лоренца образуют чеплрехмерный вектор (4-вектор) А„1 = О, 1, 2, 3. Трехмерный вектор А = (Ам Аз, Аз) называют пространственной, а величину Ао— временной составляющими 4-вектора А;.
Скалярное произведение двух четырехмерных векторов определается следующим образом: А В = АоВс — АгВ~ — АзВз — АзВз (Х.5) ащ = '1(с (Фг — $з) — (гз — гз) ) (Х.б) называется интервалом между двумя событиями с координатами (гз,$д) и (гз~йз). Время, отсчитываемое по часам, движущимся вместе с данным обьектом, называется собственным временем этого обьекта.
Если объект движется относительно системы Я со скоростью Ъ', то интервал собственного времени Ыт выражается через промежуток времени й в системе Я по фор- муле ~ =он'~:е17Р. (Х.7) Величина г(1~/1 — )3з является инвариантом преобразования Лоренца. Если некоторый стержень в покое имеет длину 1с, то при движении со скоростью с Лдоль своей оси он имеет с точки зрения неподвижного наблюдателя длину ~ - нД: е7Р (Х.8) Четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы называется 4-вектор, компоненты которого определяются формулой ~Ь~ с т - - ~,л — вуе,л — о7е) (Х.р) Как и раньше (см.
гл. 1), будем подразумевать суммирование по дважды поаторяющемуса индексу, который теперь принимает значения О, 1, 2, 3. При этом слагаемое с индексом О берется со знаком плюс, а слагаемые с индексами 1, 2, 3 — со знаком минус. Этим правилом знаков при суммировании будем пользоваться и в дальнейшем.
Квадраты 4-векторов Аз, определенные в соответствии с (Х.5), и вх скалярные произведения А;В~ имеют одинаковые значения во всех инерциальных системах отсчета (инварианты относительно преобразований Лоренца). 4-вектор А; называется пространственноподобиым, если Аз < О, и времениподобным, если Аз ) О. Инвариантная величина 158 Глава Х где т = г(г/ог — обычная скорость часпщы. Из (Х.9) очевидно, что цз =сз Ф (Х.10) 4-скорость, как и всякий 4-вектор, преобразуется по формулам (Х.4). Компоненты обычной скорости не являются пространственными составляющими какого-либо 4-вектора и преобразуются по формулам ( зг ~~ х): ',л:7*7Р и 7г-'~ 7Р 1+ е'17/сз ~ 1+ о,'17/сз 1+ о' 17/сз Если скорость частицы составляет с осью х углы д н д' в системах Я и Я' соответственно, то Четырехмерным ускорением часпщы называется 4-вектор с компонентами йц йзхг (Х.13) г)т г)тз ' Волновой вектор 1с и частота ы плоской электромагнитной волны являются компонентами волнового 4-вектора Ц: (Х.14) Поэтому фаза плоской волны с7 = — )г;хг является инвариантом.
Из формул (Х.4) следуют формулы преобразования угла д, составляемого световым лучом с осью х: яш д' сов ~'+,9 Фй д =, или сов д =, . (Х.15) Задачи на преобразование Лоренца для энергии, импульса и силы собраны в з 1 гл. Х1. 543. Пусть система У движется относительно системы Я со скоросп ю У вдоль оси х. Часы, покоящиеся в У в точке (хс, рщ з~), в момент асср проколят мимо точки (хо, ро, хо) в системе Я, где находятся часы, показывающие в этот момент время Ф~. Написать формулы преобразования Лоренца для этого случая. 9 1.
преобразования лоренца 544. Система Я' движется относительно системы Я со скоростью Ъ'. Доказать, что при сравнении хода часов в системах Я и Я' всегда будут отставать те часы в одной из этих систем отсчета, показания которых последовательно сравниваются с показаниями двух часов в другой системе отсчета. Выразить один промежуток времени через другой. (Показания движущихся часов сравниваются в момент, когда онн проходят друг мимо друга.) 545. Длину стержня, движущегося вдоль своей оси в некоторой системе отсчета, можно находить таким образом: измерять промежуток времени, в течение которого стержень проходит мимо фиксированной точки этой системы, и умножать его на скорость стержня.
Показать, что при таком методе измерения получается обычное лоренцово сокращение. 544. Система Я' движется относительно системы Я со скоростью Ъ'. В момент, когда начала координат совпадали, находившиеся там часы обеих систем показывали одно и то же время 1 = г' = О. Какие координаты в каждой из этих систем в дальнейшем будет иметь мировая точка, обладающая тем свойством, что находящиеся в ней часы систем Я и Я' показывают одно и то же время Ф = Ф'? Определить закон движения этой точки. 547. Пусть для измерения времени используется периодический процесс отражения светового «зайчика» попеременно от двух зеркал, укрепленных на концах стержня длиной 1. Один период — это время движения «зайчика» от одного зеркала до другого и обратно. Световые часы неподвижны в системе Я' и ориентированы параллельно направлению движения.
Пользуясь постулатом о постоянстве скорости света, показать, что интервал собственного времени Йт выражается через промежуток времени гй в системе Я формулой (Х.7). 548. Решить предыдущую задачу для случая, когда световые часы ориентированы перпендикулярно направлению относительной скорости. 549. «Поезд» А'В', длина которого 1о = 8,64 10ахм в системе, где он покоится, идет со скоростью $' = 240000кмlсек мимо «платформы», имеющей такую же длину в своей системе покоя. В голове В' и хвосте А' «поезда» имеются одинаковые часы, синхронизованные между собой. Такие же часы установлены в начале (А) и в конце (В) «платформы». В тот момент, когда голова «поезда» поравнялась с началом «платформы», совпадающие часы показывали 12 час 00мил.
Отвеппь на следующие вопросы: а) можно ли утверждать, что в этот момент в какой-либо системе отсчета все часы также показываот 12 час 00мин; б) сколько показывают каждые из часов в момент, когда хвост «поезда» поравнялся с началом «платформы»; в) околыш показывают часы в момент, когда голова «поезда» поравнялась с концом «платформы»? 160 1даса Х 550. Какой промежуток времени Ь1 занял бы по земным часам полет ракеты до звездной системы Проксима — Центавра и обратно (расстояние до нее 4 световых года'), если бы он осуществлялся с постоянной скоростью о = т/0,К00с? Из расчета какой длительности путешествия следовало бы запасаться продовольствием н другим снаряжением? Каков запас кинетической энергии в такой ракете, если ее масса 10 ля? 551.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
