В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Два масппаба, каждый из которых имеет длину покоя 1о, равномерно движутся навстречу друг другу параллельно общей оси х. Наблюдатель, связанный с одним из них, заметил, что между совпадением левых и правых концов масппабов прошло время сьг. Какова относительная скорость о масштабов? В каком порядке совпшгают их концы для наблюдателей, связанных с каждым из масппабов, а также для наблюдателя, относительно которого оба масштаба движутся с одинаковой скоростью в противоположные стороны? 552. Вывести формулы лоренцова преобразования от системы У к системе я для радиуса-вектора г и времени $, не предполагая, что скорость тГ системы У относительно Я параллельна оси к. Результат представить в векторной форме.
УКАЗАНИЕ. Разложить г на продольную н поперечную относительно У аомпоненты н воспользоваться преобразованиями Лоренца (Х.1). 553. Записать формулы преобразования Лоренца для произвольного 4-вектора А, = (А, А4), не предполагая, что скорость |г системы У относительно Я параллельна оси х. 554. Вывести формулы сложения скоростей для случая, когда сюзрость У системы У относительно Я имеет произвольное направление.
Формулы представить в векторном виде. 555. Даны три системы отсчета: Я, У, Я". Я" движется относительно У со скоростью У', параллельной оси я', У вЂ” относительно Я со скоростью К, параллельной оси я. Соответствующие оси всех трех систем параллельны. Записать преобразования Лоренца от У' к Я н получить из них формулу сложения параллельных скоростей. 556.
Доказать формулу гГг — Ргс гlг: г'7Р и сз 1 + ч' ° ~//сл 'Световым годом назыажтся расстояние, проходимое светом а пустоте за год (см. ааеденне х 14 гд. ЧШ). 161 1 1. Лряабразоваиия Лоренца где у и у' — скорости частицы в системах Я и У, У вЂ” скорость У относительно Я. 557. Доказать соотношение 1+ у' у/сэ где у и зг' — скорости частицы в системах Я и У, к — скорость У относительно Я. 558. Происходит три последовательных преобразования системы отсчета: 1) переход от системы Я к системе У, двигающейся относительно Я со сюростью зГ, параллельной оси х; 2) переход от системы У к системе У', двигающейся относительно У со скоростью зг, параллельной оси р'1 3) переход от системы У' к системе У", двигающейся относительно У' со сюростью, равной релятивистсюй сумме сюростей — зг и — зГ.' Доказать, что система я"', как и следует <вникать, неподвижна относительно я и 8'а = = 1, однаю У' повернута относительно Я на некоторый угол в плосюсти хр (томасовская прецессия).
Вычислить угол 1а томасовской прецессии. Укдзлнив. Воспсльюввтьсв формулами общего впдв для преобрвзоввппя Лоренца (см. задачу 552) и сложения сюростей (см. задачу 554), записав этп формулы в проекциях пв декартовы осп. 559. Два масштаба, каждый из юторых имеет в своей системе покоя длину 1о, движутся навстречу друг другу с равными скоростями ц относительно неюторой системы отсчета.
Каюва длина 1 каждого из масштабов, измеренная в системе отсчета, связанной с другим масштабом? 560. Два пучка электронов легат навстречу друг другу со сюростями о = 0,9 с относительно лабораторной системы юординат. Каюва относительная сюрость Ъ' электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов? 561. Эффекты, возникающие при столкновении двух элементарных часпщ, не зависят от равномерного движения этих частищ как целого; эти эффекты определяются лишь их относительной скоростью. Одну и ту же относительную сюрость можно сообщить сталкивающимся частицам двумя способами (предполагается для простоты, что частицы обладают одинаковой массой пз): а) один ускоритель разгоняет частицы до энергии 6', затем ' Обратим вкк мание вя зо, что рязультпруюпмя скорость зависит от того порядка, в котором производится сложение скоростей 162 Глава Х быстрые частицы ударяются о неподвижную мишень из тех же часпщ б) два одинаковых усюрителя расположены так, чтобы создаваемые ими пучки часпш были направлены навстречу друг другу; каждый из усюрителей при этом должен разгонять частицы до энергии 8о ( 8.
Сравнить между собой значения 8 и 8о. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский случай. 562. Найти формулы преобразования усюрения 6 для случая, козла система о" движется относительно системы Я с произвольно направленной сюростью У, Представить эти формулы преобразования в векторном ваше. 563.
Выразить компоненты четырехмерного усюрения ьа, через обычное ускорение Ф и скорость и часпнгы. Найти щьз. Пространственноподобно или времениподобно четырехмерное усюрение? 564. Выразить усюрение у' частицы в мгновенно сопутствующей ей инерциальной системе через ее ускорение 6 в лабораторной системе. Рассмотреть случаи, когда сюрость у частицы меняется только по величине или только по направлению.
565. Релятивистская частица совершает «равноусюренное» одномерное движение (ускорение о ы ьа постоянно в собственной системе отсчета). Найти зависимость сюрости о[к) и юординаты х(к) частицы от времени к в лабораторной системе отсчета, если начальная сюрость но, а начальная координата хо. Рассмотреть, в частности, нерелятивистский и ультрарелятивистский пределы. Указания. Использовать результат предыдущей задачи.
566. Ракета, рассматривавшаяся в задаче 550, разгоняется от состояния покоя до скорости н = т(0,9999 с. Ускорение ракеты составляет ~ч~ = = 20мlсепз в системе, мгновенно сопутствующей ракете. Сколько времени продлится разгон ракеты по часам в неподвижной системе отсчета и по часам в ракете? Указания. Влилние снл инерции на ход часов в ракете не учитывать'.
567. Частица движется со сюростью ч и усюрением 6, так что за малый промежуток времени бт ее скорость в лабораторной системе Я меняется на величину бч = Фбк. Пусть Я' — инерциальная система, мгновенно сопутствуьошая частице в момент к, а ял — такая же система для момента 1' „в 'Зто означает, что прсдлагаеюа вычнслнть сумму собственных времен от = ЛС~ 1 —— з с в последовательности мгновенно сопутствующих ракете ннсрцнальных снстем отсчета, выражаемую интегралом ] ат. Подробнее по атому поводу см.
[! 07], 4о2, а также [17]. [72]. 163 $ 1. Преобразования Лоренца времени т+ б$. Пользуясь преобразованиями Лоренца, показать с точностью до членов, линейных по бч, что координаты и время в этих системах связаны формулами: га = г + ЬЗа х г' — ззЬч, а з гз Ь» сз Ьч = 7~6ч+ (7 — 1) ч~, (2) Фчз = (7 — 1) Какой геометрический смысл имеют преобразования (1)? Какой вид приобретают формулы (2) при о ~ с в первом неисчезающем приближении? Указания.
Удобно рассмотреп цепочку преобразований Я" — Я вЂ” ~ Я' с цомощью формул, приведенных в ответе к задаче 552. 568. Относительно системы Я движутся система У со скоростью Ч и два тела со скоростями чз и чз. Каков угол а между скоростями этих тел при наблюдении в системе Я и в системе У? Указания. Воспользоваться результатами задач 554 н 556.
569. Что происходит с упюм между скоростями двух тел предыдущей задачи, когда скорость системы Я' относительно Я стремитса к с? 570. В некоторый момент времени направление луча света от звезды составляет угол з? с орбитальной скоростью ч Земли (в системе, связанной с Солнцем). Найти изменение направления от Земли на звезду за полгода (аберрация света), не делая приближений, связанных с малостью 2. 571. Найти форму видимой кривой, описываемой звездой на небосводе вследствие годичной аберрации.
Полярные нзординаты звезды в системе, связанной с Солнцем, д, о (полярнав ось проведена перпендикулярно плоскости земной орбиты). Орбитальная скорость Земли о ~ с. 572. Пучок света в некоторой системе отсчета образует телесный угол ИП. Как изменится этот угол при переходе к другой инерциальной системе отсчета? 573. Если считать, что звезды в ближайшей к нам части Галактики распределены равномерно, то каково будет их распределение ИМ/сй' для наблюдателя в ракете, летящей со скоростью, близкой к скорости света? Глава Х 574. Найти формулы преобразования частоты ы (эффект Допплера) и волнового вектора к плоской монохроматичесюй световой волны при переходе от одной инерциальной системы к другой. Направление относительной сюрости У произвольно. 575.
Найти частоту м световой волны, наблюдаемую при поперечном эффекте Допплера (направление распространения света перпендикулярно к направлению движения источника в системе, связанной с приемником света). Каково направление распространения рассматриваемой волны в системе, связанной с источником? 576. Длина волны света, юлучаемого неюторым источниюм, в той системе, в юторой источник покоится, равна Ло.
Какую длину волны Л зарегистрируют: а) наблюдатель, приближающийся со скоростью У к источнику и б) наблюдатель, удаляющийся с такой же скоростью от источника? Е,' Е У С' 578. Найти угловое распределение силы света 1 (световая энергия, излучаемая в единицу времени в единицу телесного угла), а также полный световой поток от источника света, рассмотренного в предыдущей задаче.
Указания. каждый фотон обладает энергией Ва, где Ь вЂ” постоаннаа Планка. 577. Источник, испускающий свет частоты що изотропно во все стороны в своей системе отсчета, движется равномерно и прямолинейно относительно наблкщатеня со сюростью У, проходя от него в момент наибольшего сближения на прицельном расстоянии т(.
Число фотонов, излучаемых в единицу времени в единицу телесного угла (интенсивность потока фотонов), равно 1о в системе покоя источника. Найти зависимость частоты ы и интенсивности 1 потока фотонов, регистрируемого наблюдателем, от угла меящу направлением луча и сюрости У. При каких углах д = = до регистрируемые частота и интенсивность потока фотонов совпадут с що и,1о? Какая доля фотонов регистрируется наблюдателем в интервалах О < д < до и до < д < я? Начертить графики зависимостей щ(д) и,1(д) для У/с = 1/3 и У/с = 4/б. Какой характер имеют эти зависимости при У/с- 1? 165 1 1.
Преобразования Лоренца 579. Зеркало движется нормально к собственной плоскости со сюростью Ч. Найти закон отражения плоской монохроматической волны от такого зеркала (заменяющий закон равенства углов падения и отражения при У = О), а также закон преобразования частоты при отражении. Рассмотреть, в часпюсти, случай У вЂ” с. 580. Решить предыдущую задачу для случая, когда зеркало перемещается поступательно вдоль собственной плосюсти. Ч Рнс. 41 581. Непрозрачный куб с ребром 1о в своей системе покоя движется относительно наблюдателя со сюростью Ъ' (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
