В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 25
Текст из файла (страница 25)
В конденсированных средах тот же порядок величины имеют межатомные расстояния, в газах эти расстояния много больше а. Вследствие этого становится невозможным усреднение по физически малым элементам обьема, содержащим много атомов. Однако в том случае, когда частота рензгеновых лучей велика по сравнению с характерными атомными частотами ы о /с, электроны среды можно рассматривать как свободные.
Так как для свободных (к тому же нерелятивистских) электронов уравнения движения во внешнем электромагнитном поле легко интегрируются, то может быть вычислен наведенный полем ток и определена диэлектрическая проницаемость, зависящая от координат г: 4яегп(г) е(г) = 1— г (УП1.42) Здесь и(г) — концентрация электронов в теле, определяемая законами квантовой механики, усредненная по равновесному статистическому распределению состояний теплового движения атомов. Уравнения Максвелла имеют свой обычный вид (УТ11.1КУ1П.4) с диэлектрической проницаемостью (У111.42) и магнитной проницаемостью д = = 1, если 4иегп/пил~ << 1. Пусть на некоторое тело конечной протяженности падает плоская волна Ео ехр(1(3сог — м$)) реизтеновой частоты ю » м~.
Для того пабы падающее излучение можно было рассматривать как плоскую поляризованную волну, необходимо, чтобы размеры тела были малы по сравнению с длиной 498. На установке, рассмотренной в задачах 496, 497, получается голограмма двух отверстий, находящихся на расстоянии 2Ю друг от друга в плоскости призмы. По этой голограмме восстанавливается изображение двух отверстий.
Найти это изображение и выяснить, в каком случае оно будет увеличенным. 142 Глава 'г'Ш когереитности'. При этом дифференциальное сечение рассеяния линейно поляризованной волны (определение пошпия сечения дано в 4 3 этой гла- вы) имеет вид о-ев'г7' ()жвв 1вг го, олвАз) где го = ез/тсз — классический радиус электрона, 1с — волновой вектор рассеянной волны, й = йо = га/с, И вЂ” угол между Ео и 14, гИ вЂ” элемент телесного угла направлений 14, 41 = 1со — 14 — переданный волновый вектор.
Величина д связана с углом д рассеяния волны (угол между 1со и 14) формулой г7 = 2 — зш — = — з1л —. ю ° 47 4к ° д 2 Л 2' ('ЛП.44) Сечение рассеяния неполаризованной рентгеновой волны г -т,'С-.- 'г)~ Е~ в[ге ~гг ег Олпм> 2 0 Условием применимости формул (ЛП.43), (ЛП.45) является требование, чтобы полное сечение а = 3' г(а было мало по сравнению с плошадью (4и) поперечного сечения образца в целом.
В случае дифракции рентгеновых лучей на идеальном монокристалле сечения (У1П.43) или (УП1.45) обнаруживают ряд резких максимумов, положение которых определяется уравнением Лауэ 1со — 1с = 2яи, (УП!.46) где пы пз, пз — произвольные целые числа. Если интеграл того вцаа, который входит в (УШ.43) или ('ЛП.45), берется по объему У одного атома, то он называется атомным формфактором: ге(41) = пн(г) ехР1Щ г~ИК (ЛП.47) 'Определение длины югерентноеги см. в 14 зтоа главы где и — векторы обратной решетки. Если элементарны кристаллическая ячейка имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами аы аз, аз, $5.
Дифракп пл ренвмеловых лучей 143 Атомный формфактор представляет собой просто компоненту Фурье от распределения и (г) электронов в атоме и через него можно с помощью обратного преобразования Фурье выразить и (г). Подробнее вопрос о дифракции рентгеновых лучей рассмотрен, например, в [63), (66). 500. Выяснить, прн каких условиях сечение рассеяния рентгеновых лучей на телах конечной протяженности принимает вид сечения рассеяния на свободных зарядах (формула Томсона). Написать соответствующие выражения для сечений. Число атомов в теле И, число электронов в каждом атоме Я.
501. Распределение электронной концентрации в Я-электронном атоме аппроксимируется выражением пв(г) = по, ехр ~ — о~, где пов = я/паз, а = ао/Я~У~, ао = 0,529 10 а см — боровский радиус. Найти дифференциалъное сечение рассеяния волны репттенового диапазона на одноатомном газе, содержащем 1У атомов, считая распределение атомов совершенно хаотическим. 502. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на объеме газа, содержащем Аг двухатомных молекул.
Атомы в молекуле одинаковы и находятся на фиксированном расстоянии гх друг от друга. Принять, что форм- фактор Р (д) атома, входящего в состав молекулы, тот же, что и у изолированного атома. 503. Как изменится сечение рассеяния рептгеновых лучей на объеме газа из двухатомных молекул, рассмотренном в предыдущей задаче, если учесть тепловые колебания атомов в молекуле. Укдздннп. Считать, что расставляя Н между атомами распределены оюло 1 г взз среднего зпвчеппк Во » Ь по закону НИ~в = — ехр~ — — ~ 4л, где х = й — йо, Ьз/л 1 Ьз з Ь =, Т вЂ” температура, д — прпведеппал масса, ы — частота собственных (2ЬТ колебаний атомов в молекуле. 504. Вывести уравнение Лауэ ('Л11.46) и условие Брэгга-Вульфа )св)п(д/2) = п)й), где )й) — длина вектора обратной решетки, рассматривая интерференцию волн, рассеянных на отдельных центрах идеальной кристаллической решетки.
505. Найти сечение рассеяния рентгеновых лучей на идеальном монокристалле, состоящем из М одинаковых атомов с формфакгорами с' (д) (считать, что эти формфакторы те же, что и в случае изолированных атомов). Глава 17Л Элементарная ячейка имеет форму куба с ребром а, кристалл имеет форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Т м 1 г, Т з, параллельными ребрам элементарной ячейки. Определить положение главных максимумов, убедиться в выполнении уравнения Лауэ (т П1.46).
Найти величину сечения в этих максимумах. 506. Кристалл состоит из кубических элементарных ячеек с ребром а и имеет форму прямой призмы с прямоугольным равнобедренным треугольником в основании (катеты основания ьг = ьз, боковое ребро л.з). Определить положения главных максимумов, найти величину сечения в этих максимумах. 507. Найти распределение интенсивности в дифракционном пятне вблизи одного из главных максимумов при рассеянии рентгеновых лучей на монокристалле, рассмотренном в задаче 505. Волновой вектор падающих ренттеновых лучей параллелен ребру Ьз, а й ~ 1/а.
Определить ширину дифракционного максимума и полное сечение, отвечающее рассеянию в пределах одного дифракционного пятна. 508. Вычислить распределение интенсивности в дифракционном пятне вокруг главного максимума при произвольном направлении падении и произвольном соотношении между )в и 1/а. Рентгеновы лучи рассеиваются на монокристалле, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда с ребрами Ьм Ьз, 1з (см. задачу 505). 509. Решить предыдущую задачу для случая рассеяния на монокристаллическом образце шарообразной формы (радиус Л).
ЛИТЕРАТУРА Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [65, 66), Борн М. [16], Бейтмен Г. [10], Тамм И. Е. [10Ц, Зоммерфельд А. [55), Френкель Я. И. [11Ц, Стрэттон Дж. А. [100]„Смайт В. [93], Джексон Дж. [52], Альперт Я. Л., Гинзбург В. Л., Фейнберг Е. Л. [3], Ахиезер А. И., Барьяхтар В. Г., Каганов М.
И. [5], Власов А. А. [25), Пановский В., Филипс М. [86], Вайнппейн Л. А. [23], Гуревич А. Г. [48], Шифрин К. С. [116), Силин В. П., Рухадзе А. А. [9Ц, Борн М., Вольф Э. [18], Микаэлян А. Л. [78], Горелик Г.С. [43], Эйхенвальд А. А. [118], Альвен Х., Фельтхаммар К.Г. [2], Компанеец А. С.
[60], Гинзбург В. Л., Мотулевич Г. П. [34], Гольдштейн Л. Д., Зернов Н. В. [42], Строук Дж. [99], О'Нейл Э. [84], Вольф Э., Мандель Л. [27), Кривоглаз М. А. [63], Франсон М., Сланский С. [120]. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛАХ Часть пространства, ограниченная со всех сторон металлическими стенками, называется полым резонатором. В резонаторе может существовать система стоячих волн с определенными часппвми ш (собственными частотами резонатора). Эта система волн определяется (в случае не заполненного диэлектриввм резонатора с идеально проводящими стенками) путем решения уравнений ЛЕ+ и' Е = О, сйпЕ = О сз (1Х.!) с граничным условием Е =О.
(1Х.2) Собственные функции резонатора Е„,' отвечающие различным собственным частотам ш„, взаимно ортогональны. Собственные функции, соответствующие одной и той же частоте (их может быль несколько — см. задачи 529, 531), также можно выбрать взаимно ортогональными. Условимся нормировать их на 4п: Е„Е„с(У = 4п б„„, (1Х.З) 'Значком и обозначена совокупность четырех величин, однозначно опрелеляюпвих собственный тип колебаний (емодуа) резонатора. где интеграл берется по объему резонатора. Этому же условию удовлетворяют собственные функции Н„, которые выражаются через Е„с помощью уравнений Максвелла. Вследствие потерь энергии в стенках или в веществе, заполняющем резонатор, а также излучения энергии во внешнее пространспю, свободные колебания реальных резонаторов являются затухающими.
Потери энергии 146 Глава И' Я„= или (1Х.4) Ра 2~ъ ' Здесь И'„— энергия, запасенная в резонаторе, Є— средняя (по времени) мощность потерь; м„— резонансная частота, которая может отличаться от резонансной частоты идеального резонатора; т„— декремент затухания. В отличие от резонатора, волновод представляет собою полость (трубу) неограниченной длины. Вдоль оси волновода (ось 2) возможно распространение бегущих волн, в поперечном направлении волна является стоячей. В общем случае волны в волноводе не являются поперечными. Волны, у которых Е, ~ О, Н, = 0 называются волнами электрического типа, волны с Н, ф О, Е, = 0 — волнами магнитного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
