В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Только в волноводах с неодносвязной формой поперечного сечения возможны чисто поперечные электромагнитные волны. Типы волн, которые могут распространяться в данном волноводе, определяются путем решения уравнений Максвелла при соответствующих граничных условиях. Волна, бегущая вдоль оси волновода, описывается функ- циями Е(г,г) =й(х,у)ей' О Н(г,с) =Ж(х,у)ейьл Здесь ш — частота волны, л — составляющая волнового вектора в направлении оси волновода. Величину Й называют также постоянной распространения.
В случае волн электрического типа (Е-волн) Ж, = О, а в", удовлетворяет уравнению Лг, + лв28, = О, (1Х.5) где жз = — — Й, х — поперечная составляющая волнового вектора, м~вд 2 сз е и д — проницаемости диэлектрика, заполняющего волновод, и граничному условию (1Х.б) на стенке волновода. В случае воли магнитного типа (Н-волн) е, = О, а М, является реше- ЬМ,+ввэр', =О, (1Х.7) удовлетворяющим граничному условию 4~ =0 или — в=О О,Угл ди (1Х.8) на стенке волновода.
данного типа колебаний характеризуются добротностью Я„, которая опре- деляется отношением Энекнакннаенинаеые канебанин в аграниченнык менах 147 у )~71~,~г Ж 2хйс ~ ф',(гв(я (1Х.9) и для Н-воли: г ~~~18 ~г+(ьгу, в)~~тн1 р] н( о— (1Х.10) 21д„, ге~за ~гни Здесь 8, и М, — компоненты полей, вычисленные при ( = 0 (т.е. в предположении идеальной проводимости стенок волновода), вУ вЂ” элемент контура поперечного сечения волновода, ИЯ вЂ” элемент площади этого сечения.
510. Определить типы волн, юторые могут распространаться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками (длины сторон а, 6). Найти для них заюн дисперсии и юнфигурацни полей (т.е. зависимость юмпонент поля от июрдинат). 511. Определить юэффициенты затухания гг разных типов волн в прямоугольном волноводе. Поверхностный импеданс стенок волновала ( задан. В уравнениях (1Х.5) и (1Х.7) Ь вЂ” двумерный оператор Яапласа. Граничные условия (1Х.6) и (1Х.8) строго справедливы только дла волноводов с идеально проводящими стенками.
Поперечные составляющие векторов а и Ж могут быль выражены с помощью уравнений Максвелла через продольные составляющие этих векторов. Е- или Н-волна заданного типа (т.е. с определенным значением к) может распространяться в волноводе с односвазной формой сечения только в том случае, если ее частота больше некоторой граничной частоты ыа. Соответствующая «длииа волны в вакууме» Ло = нс — порядка линейного н3в размера сеченна волновола. При ы ( ыо постоянная распространения й становится чисто мнимой, поэтому распространение волны невозможно.
Однаю и при ы > ыо й в общем случае юмплексно. Это связано с тем, по стенки волновода имеют конечную проводимость, поэтому в них происходит диссипация энергии и электромагнитная волна затухает по закону е "'. Коэффициент затухания а (мнимая часть и) равен отношению энергии, диссвпируемой в единицу времени в стенках волновода на единице его длины, к удвоенному потоку энергии вдоль волновода. В случае, югда поверхностный импеданс ( = (и + г(н стенок мал, можно получить приближенные выражения юэффициента затухания для Е-волн: 148 Гиава 3Х 512.
Бесконечно протяженный диэлектрический слой заполняет в вакууме область — а < к < а и имеет проницаемости е и р. Показать, что такой слой может дейспювать как волновод (для этого нужно, чтобы поле бегущей электромагнитной волны концентрировалось, в основном, внутри слоя). Определить типы волн, которые могут распространяться в таком волноводе. Ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты я. 513. Диэлектрический слой с проницаемостями е, р, заполняющий область О < х < а, нанесен на поверхность идеального проводника.
В области х > а — вакуум. Какие типы электромагнитных волн с амплитудой, убывающей при удалении от слоя, могут распространяться вдоль слоя? Сравнить возможные типы волн с системой волн, полученной в предыдущей задаче. 514. Найти возможные типы волн в круглом волноводе радиуса а, считая его стенки идеально проводяшими. Определить граничную частоту ыо для такого волновода.
515. Используя результат предыдущей задачи, найти коэффициенты затухания а разных типов волн в круглом волноводе. Поверхностный импеданс стенок ~ задан. 51б. Определить фазовую е„, и групповую ея скорости волн в прямоугольном и крупюм волноводах с идеально проводящими стенками. Построить их зависимость от Л = — „, . 2кс 517. Определить фазовую си и групповую оя скорости волн в волноводе геометрическим методом. Для этого рассмотреть простейшую волну типа Нзо в прямоугольном волноводе, разложить ее на плоские волны и исследовать отражение этих волн от стенок волновода. 518.
Исследовать структуру поперечной электромагнитной волны в идеально проводящей коаксиальной линии (большой и малый радиусы соответственно Ь и а). Подсчитать средний поток энергии у вдоль линии. Рассмотреть предельный случай одиночного идеально проводящего провода. 519. Определить возможные типы непоперечных электромагнитных волн в коаксиальной линии с идеально проводжцими стенками (радиусы а иЬ>а). 520. Определить коэффициент затухания а поперечной электромагнитной волны в коаксиапьной линии.
Заданы радиусы а, Ь > а и поверхностный импеданс ~ = ~' + К". Эиеккграмаенипиьые колебания в огракичеккык евлах 149 УкА3Ание. Использовать приведенное в начале главы определение юзффипиентв злгухвнил через потери энергии. 521*.
Рассмотреть распространение аксиально симметричной волны электрического типа вдоль одиночного бесконечно длинного цилиндрического проводника с конечной проводимостью, находжцегося в вакууме. Опредепип фазовую скорость волны. Показать, что в случае идеально проводящего провода волна перейдет в поперечную электромагнитную волну (см. задачу 518.
Использовать приближенное граничное условие Леонтовича (см. (Ч!11.10)). 522. Аксиально симметричная Е-волна распространяется в круглом волноводе радиуса 6, частично заполненном диэлектриюм. Диэлектрик имеет проницаемость е и занимает область а < г < 6. Считая о «6, определить зависимость фазовой скорости от частоты и граничную частоту. При каких условиях фазовая скорость будет меньше с? Рассмотреть предельный случай волновода, полностью заполненного диэлектриком.
а) Рис. 31 523. Между двумя идеально проводящими плоскостями х = та (рис. 31а) помещена в плоскости р = 0 лестничная перегородка (рис. 31б), состоящая из тонких металлических полосок, ориентированных вдоль оси х. Расстояния между полосками и нх ширина малы по сравнению с длиной волны. Область р > 0 над лестничной перегородкой заполне- 150 Глава И' на диэлектриком с проннцаемостью в, в области р < Π— воздух.
Найти возможные типы бегущих волн, которые могут распространяться в такой системе вдоль оси л. Как связана постоянная распространения этих волн с частотой? Указании. Лестничную перегородку для достаточно длинных волн можно рассматривать как киизотропио проводящую плоскость, проводвмостыюторой в направлении осв к бескоиечпк, а в иапрввлеиии к равна нулю. 524. Прямоугольный волновод с поперечным сечением а х 6 и идеально проводящими стенками заполнен ферродиэлектриком. Постоянное магнитное поле приложено перпендикулярно широкой стенке волновода (вдоль оси р).
Тепзоры электрической и магнитной проиицаемостей ферродиэлектрика имеют внд гг вк Π— кв,'г /1гх Π— к1г,'1 вгь= О е1 О 1, дгь=~ О д1 О ) гва О вх кгга О Е = в (л,р)ег(ьа* '1 Н =Ма (к,р)егг"'* '1 Если в волновод вставить диэлектрический сердечник, имеющий форму цилиндра произвольного сечения с осью, параллельной оси волновода, то поля в волноводе примут вид ж = В(, р) ейьл- О Н = Зк'(л,р)ег1ьл 'в1. Диэлектрик в общем случае может характеризоваться тензорными парамет- рами вгь, гггь.
Показать с помощью уравнений Максвелла, что постоянная распространения изменится на величину ю Плвг гьгч+Ьд; ЗЕьМО,)ИЯ Ьй=й-йо с 1' [(во х ЗР) + (е х Зйгр)] ° е, г(Я где Ьвгь = вга — 1, Ь1ггь = гггь — 1, интеграл в числителе берется по пло- щади сечения диэлектрического стержня (лье), интеграл в знаменателе— по плошади сечения волновода (Я). (ср.
с результатом задачи 331). Определить составляющие электромагнитного поля, постоянную распространения и граничную частоту волновода для случая, когда поле не зависит от у. 525. Электрическое и магнитное поля в волноводе с идеально проводящими стенками, не содержащем диэлектрика, описываются функциями Элеюпромагнынные колебании е ограниненнык мелах 151 526. В прямоугольный волновод с идеально проводящими стенками вносится ферродиэлектрическая пластинка толщиной Н « а, намагниченная вдоль оси волновода (рис.
32). Пользуясь формулой, полученной в предыдущей задаче, определить с точностью до членов порядка к) изменение ььн постоянной распространении волны типа Н1о. Диэлектрическая проницаемость пластинки — скаларная величина, тепюр ее магнитной проницаемости приведен в условии задачи 435. Рвс. 33 Рис.
32 527. В коаксиальный волновод (рис. 33) вставлена тонкая ферритовая пластина (И < а, 6), намагниченная вдоль оси волновода. Определить изменение гдй постоянной распространения поперечной электромагнитной УКАЗАНИЕ. Амплитуды возмущенных полей определить таким же методом, квк в предыдущей задаче.
528. Решить предыдущую задачу для случая, когда постоянное подмагничивающее поле Но направлено перпендикулярно оси волновода. Рассмотреть два направления этого поля: а) Но перпендикулврно широкой грани пластинки; б) Но перпендикулярно узкой грани пластинки. 529. Определить типы собственных колебаний в полом резонаторе с идеально проводщцими стенками. Резонатор имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его размеры а х 6 х Ь.
530. Определить число собственных колебаний г) М(м), приходящихся иа интервал частот Ьм в полом резонаторе обьема ь', рассмотренном в предыдущей задаче. Считать, что выполняются неравенства где « щ ила»1. 152 Глава И' 531. Резонатор имеет форму прямого кругового цилиндра высотой Ь и радиуса а. Считая стенки резонатора идеально проводящими, найти частоты собственных колебаний. Рассмотреть колебания электрического и магнитного типов.
Рис. 35 Рас. 34 532. Две круглые металлические пластинки радиуса В находятся на малом расстоании о друг от друга, образуя конденсатор. Обкладки конденсатора замкнуты проводником толщиной 2о, имеющим форму кольца радиуса Ь (рис. 34). Найти собственную частоту колебаний такого «открытого резонатора», предполагая применимым квазистационарное приближение. Все проводники считать идеально проводящими. Рас. Зб 533. Найти собственную частоту шо колебаний системы, изображенной на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
