В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 29
Текст из файла (страница 29)
40). Наблюдатель фотографирует его в момент, югда лучи света, испускаемые поверхностью куба, приходят в обьектив фотоаппарата под прямым углом к направлению движения (в системе фотоаппарата). Куб вилен под малым телесным углом, вследствие чего лучи, приходящие от разных точек куба, можно считать параллельными. Каюй вид будет иметь изображение на фотопластинке? Составить чертеж изображения, нанести на него те вершины и ребра куба, которые будут сфотографированы.
Вычислить их относительные длины. Изображению какого неподвижного предмета эквивалентна полученная фотография? Какой вид приняло бы изображение движущегося куба, если бы были справедливы преобразования Галилея? 16б Глава Х 582. Тонкий стержень М'11Г' неподвижен в системе К, имеет в ней длину 1о и ориентирован так, как показано на рис. 41. Система Я' движется со скоростью 1Г ~~ Ох относительно фотопластинки АВ, покоящейся в системе Я. В момент прохождения стержня мимо фотопластинки происходит короткая световая вспышка, при которой лучи света шщают нормально к плоскости хр фотопласппши.
а) Какова длина 1 изображения на фотопластинке? Может ли она стать равной или превысить 1о? б) При каком угле наклона а' сфотографируется толью торец стержня? в) Каков угол наклона а стержня к оси Ох? 583. Шар, движущийся со скоростью $г, фотографируется неподвижным наблюдателем под малым телесным углом. Лучи света от шара падают параллельным пучком на обьектив фотоаппарата, составляя прямой угол с направлением скорости 'Ч. Какую форму будет иметь изображение на фотопластинке? Какая часть поверхности шара будет сфотографирована? Уххзхинв.
Представить шар в виде совокупности тонких дисков, лвюкущвхея параллельно своим ллосюстям, и построить изобрхкение каждого диска. 584. Пуси движущийся непрозрачный куб фотографируется неподвижным наблюдателем в момент, когда лучи, приходящие от куба, соспаляют произвольный угол а с направлением скорости 'К куба (в системе наблюдателя). Телесный угол, под которым виден куб, мал, вследствие чего лучи приходят параллельным пучком и падают на фотопла- В' стинку нормально к ее поверхности (рис.
42). Показать, что фотография должна совпадать с фотографией неподвижного, но повернутого на неюгорыи угол куба. Нанти угол поворота изображения при разных значениях )г и фиксированном а. При каком значении К будет сфотографирована одна грань А'В'? одна грань В'Св? Рис. 42 585.
Ввести волновой 4-вектор, описывающий распространение плоской монохромкгнческой волны в движущейся со скоростью 1г в среде с показателем преломления и (фазовая скорость волны в неподвижной сре- 167 1 2. Четырякмерные векторы к тянзоры де с' = с ) . Найти формулы преобразования частоты, угла распространения и фазовой скорости.
586. Плоская волна распространяется в движущейся со скоростью )г среде в направлении перемещения среды. Длина волны в вакууме Л. Найти скорость о волны относительно лабораторной системы (опыт Физо). Показатель преломления и определяется в системе Я', связанной со средой, и зависит от длины волны Л' в этой системе. Вычисления проводить с точностью до первого порядка по Ъ'/с. 92. Четырехмерные векторы н тензоры При переходе от одной инерциальной системы (У) к другой (о') компоненты 4-вектора преобразуются по формулам А; = гггьА~в, (Х.16) где матрица преобразования а имеет вид' В7 -у О О (Х.17) Она соответствует преобразованию (Х.1), при котором одноименные координатные оси систем Я и У параллельны, относительная скорость направлена вдоль х и начала координат при $ = гг = О совпадали. Матрица преобразования удовлепюряст соотношениям (Х.18) ггггам = дщ, апаш = дгь, где дгв — метрический тензор, имеющий вид (Х.19) ΠΠ— 1 О Знаки на главной диагонали метрического тензора соответствуют знакам в формуле (Х.5), определяющей скалярное произведение двух 4-векторов.
' Не забывагь правило зптов при суммироваиии, сформулировапиое после формулы (ХД): при суммировании по дважды повзорягощимся индексам слагаемое с индексом О берегся со зивком «+», а слагаемые с индексами 1, 2, 3 — со витом е — в. 168 Глава Х Преобразование, обратное (Х.16), записывается так: А'; = сгыАь. (Х.20) Координаты мировой точки хо = сс, хг = х, хз = У, хз = л образуют 4-вектор и преобразуются по формулам (Х.16), (Х.20). При последовательном выполнении двух преобразований Лоренца соответствующие матрицы перемножаются по обычному правилу умножения матриц (см. гл.
1, з 1). Четырамерным тензором (4-тензором) М-го ранга называется совокупность 4~ величин Ты... ь которые при переходе к другой инерциальной системе отсчета преобразуются как произведения соответствующих компонент 4-векгора А,, Аь, ..., А~'. (Х.21) 2сч л — а, ггь ...омТ Определитель ~снь ~, составленный из элементов матрицы а преобразования Лоренца, может быть равен — 1 (собственное преобразование Лоренца, например, (Х.1)) нли +1 (несобственное преобразование). Любое собственное преобразование Лоренца сводится к преобразованию вида (Х.1) и пространственному повороту; такие преобразованиа могут рассматриваться как повороты в четырехмерном пространстве.
Несобственные преобразования Лоренца вюпочают в себя отражение одной или трех координат. Псевдотензором М-го ранга называется совокупность 4~ величин Ры , н которые при четырехмерных преобразованиях координат преобразуются по формулам Рь .л =~;„ггь ...гч,~п ~Р~ (Х.22) Примером псевдогензора является совершенно антиснмметричный единичный псевдотензор 4-го ранга (см. ниже задачу 592). Его компоненты е,ы определяются следующими условиями: а) егы меюпот знак при перестановке любой пары значков; б) еогзз = 1.
Отсюда следует, что компоненты е,ы равны нулю, если среди значков есть совпадающие между собой, нли равны х1, если все значки различны. 587. Доказать равенства: А1 = дочАь АгВ1 = А'дгаВь, дгадм = дн дн = 4, где дга — метрический тензор (Х.19), А; и В; — четырехмерные векторы, При суммировании по двум повторяющимся значкам используется правило знаков„приведенное после формулы (Х.5). 1 2. Четырехмерные векторы н тензоры 169 588. Показать, что тензор д;ь (Х.19) имеет одинаювый вид во всех инерциальных системах юордииат. 589. Показать, что юмпоненты Аы Аз, Аз четырехмерного вектора А; = (Ам Аз, Аз, А4) при пространственных поворотах преобразуются как юмпоненты трехмерного вектора А = (Ам Аз, Аз), а юмпонента Ае является трехмерным скаляром. 590.
Найти, на какие трехмерные тензоры расщепляется 4-тензор П ранга при пространственных поворотах. 591. Показать, что компоненты антисимметричного 4-тензора П ранга преобразуются при пространственных поворотах как компоненты двух независимых трехмерных векторов.
592. Доказать, что величина е;ы, определенная во введении к данному параграфу, действительно преобразуетсз как псевдотензор. 593. Доказать равенства: а) е;ы еь = 2(дмд — дм дьв)' б) е;и еы „= — бдоы тле величины ещ„, и д;ь опрелелены во ввелении к этому параграфу. 594. Доказать равенство е,ы е~ „= А,ВьС„Рв = 2(А;С,)(ВьСь) — 2(А'С*')(ВьРь).
595. Составить 4-вектор из частных производных 01о/дк; (1 = О, 1, 2, 3), где ~р — скаляр. Найти выражение для компонент ~, оператора четырехмерного градиента. 596. Составить 4-вектор Тгь из частных производных ВА,/дхь (г, й = = О, 1, 2, 3), где А; — 4-вектор. Показать, что 4-дивиргенция ь;А; является инвариантом, где ~, — оператор 4-градиента, введенный в предыдущей задаче. 597. Найти закон преобразования величин: а) Аз„.б) ТеьА», если А; — 4-вектор, Твь — 4-тензор. 598. Два 4-вектора А, и В, называются параллельными, если .4о Аг Аз Аз Во Вг Вг Вз Доказать,поотношениеодноименныхкомпонентпараллельных4-векторов инвариантно относительно преобразования Лоренца. 599.
Сколько существенно различных юмпонент имеет 4-тензор 1Н ранга, антисимметричный по отношению к перестановке любой пары значюв? Показать, что они преобразуются при поворотах как юмпоненты четырехмерного псевдовектора. 170 Глава Х 600. Даны три системы отсчета: Я, Я', У'. Яа движется отиосительно Я' со скоростью Ъ", параллельной оси х', Я' — относительно Е со скоростью У, параллельной оси х. Одноименные оси всех трех систем параллеяьиы. Путем перемножения соответствующих матриц получить матрицу преобразованиа от Яа к и. Получить отсюда формулу сложения (см.
(Х.11)) одинаково направленных скоростей. 601. Записать преобразование Лоренца (Х.1) в переменных хм хз, хз, хо = с1, выразив величину относительной скорости 1' через угол о по формуле с = суггг. 602. Получить матриго~ преобразоваииа д от системы и' к системе Я путем перемиожеиия матриц простых преобразований. Я' движется отиосвтельио Я со скоростью т' ~ — = ФЬ а) в направлении, характеризуемом /1/ сферическими углами д, ~р. Соответствующие оси и и Я' параллельны. 9 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
