В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1 дВ сд1' (УП.10) Внутри проводника при достаточно большой проводимости и (и/ы » е', где е' — вещественная часть диэлектрической проницаемости) поле описы- вается уравнениями (УП.10) и с11т В = О, тот Н = ~~ пЕ. (т'П.11) 374. Из рассмотрения искусственной длинной линии с сосредоточенными параметрами (задача 369а) получить путем предельного перехода дифференциальное уравнение для тока в длинной линии с равномерно распределенными параметрами. 107 5 2. Вихрееме токи и скин-з ратетои Из (УП.10) и (У1!.11) можно получить уравнения второго порядка для век- торов Е и Н, имеющие в случае однородной среды вид 4~унт ВН 4к~ат ВЕ сз дз сз 0$ (УП.12) На грашщах раздела двух проводников или проводника и диэлектрика векторы поля должны удовлетворять условиям: Вги = Взи, Нтт = Нзт Егт = Езт (УП.13) Величина б = с/эЛя1ипе (толщина скин-слоя) характеризует глубину проникновения поля в проводник (ы — частота поля).
При сильном скин-эффекте в некотором приближении можно считать, что поле проникает в проводник на нулевую глубину; тогда внутри проводника Н = О, а вне проводника, у его поверхности, поле связано с плотностью поверхностного тока 1 соотношением 4к( (УП.14) Вследствие возникновения вихревых тоюв проводник, помещенный в магнитное поле, приобретает магнитный момент, даже если у него д = = 1.
Для характеристики этого магнитного момента удобно ввести тензор магнитной поляризуемости тела Дь по формуле ( 1тП.15) где ю — магнитный момент тела, Нс — периодичесюе внешнее магнитное поле. Тензор Дь симметричен (В,ь = Д,~), а его компоненты в общем случае комплексны и зависят от частоты. Среднее (по времени) тепловыделение внутри проводника может быть подсчитано по одной из следующих формул: Ч" = (1 ° Е)Лт = оЕ Лт (УП.16) = — — м (Е Н) еВ.
4я 1 (УП.17) 2 ~9ы Пе(НшНок) (УП.18) Последняя формула справедлива толью при гармоничесюй зависимости поля от времени. В первой ю этих формул интеграл берется по объему проволника, во второй — по его поверхности. Я выражается также через мнимую часть тензора магнитной поляризуемости тела (Д» =,9,'ь + 1)З~т,): 108 Глава 171 378. Широкая плита с проводимоспю а и магнитной проницаемостью гь ограниченная плоскостями х = хй, обмотана проводом, по которому протекает ток .рое '. Провод тонкий, число внпюв на единицу длины и, витки намотаны параллельно друг другу. Пренебрегая краевым эффектом, определить вещественную амплитуду магнитного поля внутри плипа. Исследовать предельные случаи слабого (б » Ь) и сильного (6 « Ь) скин-эффекта. 379а.
Металлический цилиндр бесконечной длины с проводимостью а и магнитной проницаемостью д расположен так, что его ось совпадает с осью бесконечного соленоида кругового сечения, по которому течет переменный ток .Ф = .рое ь"'. Найти напряженность магнитного и электрического поля во всем пространстве, а также распределение плотности тока у в цилиндре; радиус цилиндра а, радиус соленоида Ь, число витшв на еднинву длины а. 380.
Проводящий цилиндр находится в однородном переменном магнитном поле Н = Ное ', параллельном его оси. Используя результаты предыдущей задачи, исследовать распределение тока т внутри цилиндра в предельных случаях малых и больших частот. 381. Подсчитать количество тепла Я, выделяющегося за единицу времени на единице длины цилиндра, рассмотренного в задаче 379*. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.
382. Найти магнитную поляризуемость )1 (на единицу длины) цилиндра, находящегося в переменном магнитном поле, параллельном его оси. Частота поля ш, радиус цилиндра а, проводимость а, магнитная проницаемость |ю = 1. Рассмотреть предельные случаи больших и малых частот. 383ь. Металлический цилиндр находится во внешнем однородном магнитном поле Н = Нее ', перпендикулярном его оси. Радиус цилиндра а, проводимость а, магнитная проницаемость д = 1. Найти результирующее поле и плотность тока 1 в цилиндре.
Уклзднив. Выразить Е и Н через векторный потенциал А н проинтегрировать дифференциальное уравнение для А. 384. Найти диссипацию энергии на единицу длины бесконечного проводящего кругового цилиндра, помещенного в поперечное относительно оси цилиндра магнитное поле, меняющееся с частотой ш. 385*. Бесконечный круговой цилиндр радиуса а с проводимостью а находится в поперечном относительно его оси магнитном поле, поляризованном по кругу: Но(1) = (Нот + 1Ноз)е ™ 12. Вихрееме токи и скин зффект 109 где Ног и Ноз — взаимно перпендикулярные векторы с одинаковыми длинами: Ног = Ноз = Но. (Вектор Но(г) описывает окружность постоянного радиуса На в плосапстть перпендикулярной оси цилиндра.) Найти средний вращательный момент Ф, приложенный к единице длины цилиндра (д = 1). 386.
Бесконечный цилиндр, находящийся в постоянном и однородном поперечном мапппном поле Но, вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ш. Найти тормозящий момент Л, приложенный к единице длины цилиндра. 387*. Бесконечный металлический цилиндр радиуса а с проводимостью а и мапппной проницаемостью (ь находится в постоянном и однородном, продольном относительно его оси, магнитном поле Но. В некоторый момент времени внешнее поле выключается и поддерживается затем равным нулю.
Найти ход затухания со временем магнитного поля в цилиндре. 388. Металлический шар радиуса а с проводимостью а и магнитной прошщаемостью )ь, помещен в однородное переменное магнитное поле Но(1) = Нее ' '. Считая частоту малой, найти в первом неисчезающем приближении распределение вихревых токов в шаре и среднюю поглощаемую им мощность Я. 389. Металлический шар помещен в однородное магнитное поле, меняющееся с частотой ~.
Найти результирующее поле Н и среднюю поглощаемую шаром мощность Я при больших частотах. Радиус шара а, магнитная проницаемость д, проводимость сг. Уклзлнив. При олределеииа поля вие шара считезь, что внутри шара поле равно нулю (т.е. пренебречь глубиной проникновения б по сравиеиию с радиусом шара а). При определении поля внутри шара считать его поверхность плоской. 390».
Проводящий зллипсоид находится в однородном переменном магнитном поле. Определить мапппную поляризуемость зллипсоида при сильном сквн-эффекте (т.е. считая, что глубина проникновения поля в проводник равна нулю). Рассмотреть предельные случаи тонкого крупюго диска и длинного тонкого стержня. 391». Шар радиуса а с проводимостью о находится в однородном магнитном поле Н(ь) = Нее ' '. Найти результирующее магнитное поле и распределение вихревых токов в шаре для общего случая произвольных частот.
Убедиться, что в предельных случаях слабого и сильного скин-эффекта получаются результаты, найденные в задачах 388 и 389 (считать для простоты а = 1). 392. Найти среднюю мощность 9, поглощаемую проводящим шаром в однородном переменном магнитном поле при произвольных частотах. По 1лааа 17з 393. Найти активное сопротивление В тонкого цилиндрического проводника при скин-эффекте. Длина проводника 1, радиус а, проводимость сг, магнитная проницаемость 1з = 1. Исследовать предельные случаи малых и больших частот.
394. На поверхность цилиндрического проводника, у которого радиус а, удельная проводимость аы нанесен слой другого металла. Толщина слоя 6, его проводимость аз, причем Ь « а. Найти активное сопротивление В такого проводника переменному току, считая толщину скин-слоя малой по сравнению с а (1з = 1). 395. Бесконечный полый цилиндр, у которого внутренний радиус а, толщина стенки Й (Ь « и) находится в однородном продольном магнитном поле Но(1) = Ное '. Найти амплитуду Н' магнитного поля в полости. Исследовать ее зависимость от сз. Уклзлиив. В силу условия Ь «о при определении псла в толще оболочки можно считать ее плоской.
396. Переменный ток к(1) = зчое ' течет по полому цилиндрическому проводнику, у которого средний радиус а, проводимость а, магнитная проницаемость 1ь толщина Ь « а. Найти распределение тока у по сечению и активное сопротивление В на единицу длины. Указать условие, при выполнении которого сопротивление полого проводника будет мало отличаться от сопротивления сплошного проводника такого же радиуса.
Уклзлнии. Пренебречь кривизной поверхности проводники. 397*. Внутри металлической трубы на расстоянии 1 от ее осевой линии течет прямолинейный ток, Р. Радиус трубы а, толщина стенки (з «а, проводимость стенки и (1з = 1). Как ток .Р, так и расстояние 1 зависят от времени по произвольному закону, но так, что во все моменты времени 1 « а. Считаа выполненными условия квази-стационарности, определить силу у на единицу длины, действующую на ток,р со стороны вихревых токов, инлуцируемых в цилиндрической оболочке, при слабом скин-эффекте (6 «6).
398е. Решить предыдущую задачу для случая сильного скин-эффекта (6 » б). ЛИТЕРАТУРА Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. [бб], Тамм И. Е. [101], Френкель Я. И. [112], Власов А. А. [25], Смайт В. [93], Стрзттон Дж. А. [100], Вайнппейн Л. А. [23], Бриллюэн Л., Пароди М. [19], Конторович М. И. [б1]. $ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
