В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Плоские волны в однородной среде. Отражение и преломление волн. Волновые пакеты В диэлектрической среде при отсугствии зарядов и токов векторы электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям гоФЕ = — — —, 1 дВ с дФ' (УП1.1) В=еЕ, В=пН, (ЪШ.5) где с и д — электрическая и магнитнаа проницаемости. Если потери электромагнитной энергии пренебрежимо малы, то е и д — вещественные величины. В случае однородной среды нз (УП1.1НУШ.5) можно полу ппъ уравнение второго порядка для Е и Н: ЬŠ— — — = О, 1 дгЕ „г дсг ЬН вЂ” — г — г = О, (УП1.6) "У где с = — — фазовая скорость распространения электромагнитных волн.
с ~/ЮД В общем случае соотношения (УШ.5) справедливы только для моно- хроматических компонент полей, причем проницаемости е и д зависят от частоты (дисперсия) и являются комплекснымн величинами. Мнимые части е и д определяют диссипацию электромагнитной энергии в среде. ~ЛАВА ~~И РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН „,Н 1дв с дФ' б1т13 = О, с)1чВ = О. В недиспергирующей среде векторы поля связаны соотношениями (УП1.2) (УП1.3) (У1П.4) 112 Глава г7п В проводящей среде, при достаточно медленном изменении поля, когда между током и электрическим полем справедлива связь вида э = ~тЕ со статическим значением проводимости сг, уравнение (ИП.2) заменяется следующим: гоФН 4~г Е+ 1ЯЭ (УП1.7) с сдг' оно снова примет вид (УП1.2), если ввести комплексную диэлектрическую проницаемость, имеющую при малых частотах внд ~+ 4~ге (УШ.8) где с' и и — статические значения диэлектрической проницаемости и проводимости.
При высоких частотах диэлектрическая проницаемость проводящей среды — комплексная величина, зависящая от частоты. У хороших проводников (металлов) второй член в (УП1.8) очень велик, поэтому при малых частотах е(ы) =1 ~~. (УП1.9) Если частота поля такова, что глубина проникновения поля в металл много меньше радиуса кривизны поверхности металла и длины волны в окружающем металл пространстве, то при любом характере поля вне проводника можно считать, что тангенциальные компоненты векторов Е и Н вблизи поверхности проводника связаны соотношением Е, = ~(Н., х и).
(УП1.10) Здесь и — орт нормали к поверхности, направленный вглубь проводника, ( — поверхностный импеданс металла — величина, зависвцая от частоты поля и определяемая свойствами металла: (УП1.11) Равенспю (УШ.10) справедливо голые при ф «1; его можно использовать в качестве граничного условия при определении поля вне проводника (приближенное граничное условие Леонтовича). Если среда неоднородна, а )г = 1, то гармонически меняющееся во времени электрическое поле будет удовлетворять уравнению ЬЕ+ — Š— 8табдп Е = О. сы з \ Н определяется через Е из уравнения Максвелла (У)П.1).
1 1. Плоасие волны в однородной среде Пз Плоская монохроматическая волна, распространяющаяся в направлении волнового вектора 1с ((с = Я, Л вЂ” длина волны), описывается функ2я. цией Е = Еое'("" (УП1.13) Амплитуда волны Ео = ем + зе'л является в общем случае юмплексным вектором, причем Еб .(. 1с (поперечность волны). В зависимости от величины и направления вещественных векторов 8' и 8о волка может иметь линейную, круговую или эллиптическую поляризацию.
Плоские монохроматические волны, обладающие определенной частотой и определенной поляризацией, представлают собой математическую идеализацию. Те волны, которые мы называем монохроматнческими, в действительности всегда являются квазвмонохроматическими. Их можно рассматривать как суперпозицни монохроматическнх волн с частотами в некотором промежутке ьзнз. В данной точке пространства такая волна описывается функцией Ео(к)е ' ', где ы — некоторая средняя частота в промежутке Ьоз, а Ео(ь) — функция, меняющаяся значительно медленнее, чем е ' з. Кроме этого, часто (а в оптичесюм диапазоне — как правило) приходится иметь дело с одновременным наблюдением излучения от многих независимых источников, разности фаз у которых меняются беспорядочным образом.
Эти волны будут немонохроматическими и толью частично поляризованными. Можно единым образом рассматривать состояние поляризации как монохроматическнх (и полностью поляризованных), так и немонохроматнческих (частично поляризованных) волн. Поляризацию и интенсивность этих юлн можно характеризовать тензором 4ь = ЕозгЕоь (УП1.14) где усреднение проводится по времени наблюдении и по ансамблю независимых источников, а з, к = 1,2 характеризуют два основных направления в плосюсти хр (здесь н ~! я).
Тензор поляризации эрмитов: 1зь — — 1~,. Он может быть представлен в виде (з) (з) (з) (з) Аь = Хзе, еь + Тзе; еь где 1з и 1з — положительные величины, е(з) и е(з) — взаимно ортогональные юмплексные векторы, нормированные условием е(е) ° е(ь)" = бы и характеризующие два основных состояния поларизацни частично поларизованной волны.
Из (Ч1П.15) видно, что такую волну можно рассматривать как некогерентную' суперпозицию двух основных эллнптическн поляризованных ' Некогерентнымн называются ксяебання, разность фаз юзорык меняется беспорядочным об рамаз 114 Глава ИП волн.
Форма и ориентация эллипсов поларизацин этих волн описываются векторами е00 и е<з>. Эллипсы поларизации подобны, а их соответствующие оси взаимно перпендикулярны. Величины 1~ и 1з предстаюппот собой интенсивности основных волн, Полнея интенсивность волны 1 = ЕоЕ' = 1г + 1з = Бр(1гв). Величины 1э и еб> могут быть определены нз системы уравнений (УП1.1б) Отношение Р = ~ з (1з < 1г) (УП1.17) 1г + 1з называется степенью поляризации частично поляризованной волны, а р = 1з/1г — степенью ее деполаризации. Используется также другое определение степени деполяризации как р' = 1 — Р = 21з/(1г + 1з). Для полностью поляризованной волны Р = 1 (р = р' = 0), для неполяризованной волны Р = 0 (р = р = 1), 1э = 1з = 1/2, и теюор поляризации принимает внл 1гв = -1д,ь. 1 2 При падении плосюй волны на плоскую границу раздела двух сред углы до дм дз.
указываюпше направления распространения соответственно падающей, отраженной н преломленной волн (рис. 24) связаны соотноше- (У1П.18) а1п до пз где пг, з — показатели преломления первой и второй сред (полагаем пг = =да =1). Амплитуды отраженной (Ем Нг) и преломленной (Ез, Нз) волн выражаются через амплитуды Ео Но падающей волны по формулам Френеля: а) если Ео нормальна к плосюсти падения, то ып(дз — о) 2 сов до ап дз в1п(дз + до) ' в1п(дз + до) б) если Но нормальна к плоскости падения, то 08(до — дз) ащ 2до 115 1 1.
Плоские волны в однородной среде Угол дз выражается через диэлектрические проницаемости сред по формулам (ЧП1.18). Формулы (МП.18)-(Ч1П.20) сохраняют свой вид и при сюмплексном еы при этом угол дз также станет комплексным и не будет иметь простого геометрического смысла. Случай комплексного угла дз рассматривается в задаче 420*. Коэффициентом отражения В называется отношение среднего (по времени) потока энергии отраженной волны к среднему, падающему на поверхность, потоку энергии. Суперпозиция плоских монохроматическнх волн с разными волновыми векторами и частотами носит название группы волн или волнового пакета: Ф(г, $) = 1Ь(1с)ей ' "") (Й, ~й„йс„ (ЧП1.21) где Ф(г, 1) — любая декартова компонента вектора Е илн Н.
Функцию 1Ь()с), характеризующую долю каждой отдельной плоской волны в общей суперпозиции, будем называть амплитудной функцией. Максимум амплитуды волнового пакета перемещается в пространстве с групповой скоростью се —— = сйо/с1)с. 399. Две плоские монохроматические линейно поларизованные волны одной частоты распространяются вдоль оси е.
Первая волна поляризована по х и имеет амплитуду а, вторая поляризована по у, имеет амплитуду Ь и опережает первую по фазе на у. Найти поляризацию результирующей 400. Рассмотреть в предыдущей задаче зависимость поляризации от сдвига фаз 1с для случая а = Ь. 401. Две монохроматические волны одной частоты поляризованы по кругу с противоположными направлениями вращения, имеют одинаковые фазы и распространяются в одном направлении. Амплитуды этих волн а (у правополяризованной волны) и Ь (у левополярюованной волны). Найти зависимость характера поляризации от отношения а/Ь (а и Ь можно выбрать вещественными). 402. Выразить степень поляризации Р плоской волны через составляющие 1сь телзора поляризации. Какому условию должны удовлспюрять компоненты 1еь, чтобы волна была полностью поляризованной? Уклзлнив. Воспользоваться формулой (ЧШ.15) л ортонормароваипостью базисных векторов поляризации.
116 Глава >711 403. Убедиться в том, что частично поляризованная электромагнитнаа волна всегда может рассматриваться как совокупность неполярнзованной и полностью поларвзованной волны. Для этого доказать, что теизор поляризации (УХП.15) может быть в общем случае записан в форме 21(1 — Р)б> + -Р1гь где тензор 1; имеет нулевой определитель и, следовательно, описывает полностью неполярнзованную волну, причем 1 = Х> + Хз — полная интенсивность, Р— степень поляризации. 404. Плоская монохроматическаа волна с интенсивностью 1 распространяется кцоль оси с и поляризована по эллипсу с полуосями а, (>. Большая полуось а составляет угол д с осью х. Составить тензор поляризации н рассмотреть возможные частные случаи.
405. Электромагнитная волна является суперпозицией двух некогерентных <щочги монохроматическюо> волн равной интенсивности 1 с приблизительно одинаковыми частотами и волновыми векторами. Обе волны поляризованы линейно, направления поляризации задаются в плоскости, перпендикуларной к их волновому веки>ру, ортами е<Ц(1,0) и е<~> (сов д, з>п д). Построить тензор поляризации Х,ь результирующей волны и определить степень ее деполаризации. 406. Решить предыдущую задачу для случая, когда интенсивности волн различны (1> ф 1з), а направления поляризаций составляют угол я/4. 407. Тензор поляризации электромагнитной волны, который является эрмитовым, может быть представлен в виде з ~.
1 -(>)') 1 Х'1+~э 6 — >(й 1>ь = 21 ещ + ~С>ты — — 21 ~ + .~ 3=> где 1 — полная интенсивность волны, с; — вещественные параметры, удовлетворяющие условию Сз = Я+Я+Я ( 1 (параметры Стокса), ФО-матрицы ->О О 1 ->з> Π— > -р> 1 О Выяснить физический смысл параметров С,. Для этого выразить степень деполяризации р волны через С; и определить поляризации двух основных волн, на которые распадается частично поляризованная волна, в следующих трех случаях: а) 6 Ф О* сз = сз = О' б) сз ф О с> = сз = О' в) сз ф О 6 =6=0. 117 1 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
