В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Р = оо. Мы знаем, что если величина Р растет, то, согласно рис. 5, зоны дозволенных значений Да уменылаются и когда Р = оо эти зоны вырождаюгся в дискретные уровни. Действительно, если внимательно изучить рнс. 5„то легко увидеть, что в этом предельном случае величина гЗа вообще нс зависит от Ф., а определяется соотношением 90 Лвслия 7 Разрешаем уравнение (7.23) относительно ширины разрешенной зоны: — ((-1)" соз(йа) -- Ц.
Р Отсюда, используя (7.22), находим Да — ця+ Ь вЂ”.. пп 1+ — ((--1)"' сояЯа) "- Ц (7.24) Р Раскрывая величину;3, согласно (7.8), находим в явной форме энергетиче- ский спектр сильно связанных электронов: 1 ! е„~ = ггл ~ 1 — — + — ( — 1)" сов(Ы~ -п~ или 2 6 и ~1 1 1( 1)Уе ч(7„)1 (7.25) ц, -=. ~1, ='2, 2я йга (7.26) где з -- целое число, изменяющееся, согласно (5.31), в интервале у — — — (я( 2 2' (7.27) Каждому значению г из этого интервала будет соответствовать два решения, т. е. когда 3 > 0 и когда В < О.
Однако на каждое значение волнового вектора Й приходится строго один энергетический уровень в каждой энергетической зоне. Следовательно, можно повторить и здесь уже извсстнос нам положение (стр. 71), что каждая энергетическая полоса содержит столько Из этой формулы очень наглядно видны особенности энергетического спектра сильно связанных электронов. Потребуем, далее, чтобы рассматриваемая кристаллическая цепочка удовлетворяла циклическим условиям Борца -Кармана, т. е. перейдем от безграничного к ограниченному кристаллу. Мы знаем, что в этом случае волновой вектор меняется не непрерывным, а дискретным образом соиакно формуле (5.30) г. П Прггйгнннеггие Кроннен — Пенне 7'(За) = сов(йа).
н Дифференцируем его по (га, т. е. по энергии: — — — зш((га) —. 4 е гг'гс а(да Рнс. б На каждой границе зоны, как видно из рис. 5, йа .—. пж, отсюда гйп йа —. О. 4 г, Ю Поскольку ф О, то необходимо, чтобы — = О. Имеем; ФЗ Щ1 Г2т, — н СЙ вЂ” ( — Е а; ~' ~а (й = — —. О, гге гг(г 1 О, гаккак е з ~0, то (7.28) при Й =- и-. л а' Э го значит, что дисперсионная кривая пересекает границу зоны под прямым углом, что также весьма важно и носит совершенно общий характер. На рис.
б приводится качественно дисперсионная зависимость е(гс) при и, —;. 1, т. с. для первой зоны Бриллюэна. При й =- —" имеем — е = О. Основной а (ь особенностью приближения Кронига — Пенни является то обстоятельство, что оио позволяет на основе одной схемы рассмотреть различныс случаи энергетических уровней, сколько элементарных ячеек содержит кристалл. Сделаем здесь еше один важный вывод, закчючаюшийся в том, что каждое электронное состояние в кристалле необходимо нумеровать двумя квапговымн числами; волновым вектором А нли, что все равно, квантовым числом з, и номером энергетической зоны и,. Например, грь„(г). Причем волновой вектор мы рассматриваем в схеме приведенных зон, т. е. в первой зоне Бриллюэна.
На модели Кронига — Пенни можно очень наглядно проследить, как квантовые числа приближения свободных электронов (Р =. 0) переходят в квантовые числа, описывающие вырожденные энергетические состояния элскцюнов в изолированных атомах. Рассмотрим под каким углом кривая зависимости энергии от волнового вектора внутри каждой зоны пересекает ее границу.
Имеем уравнение Кронига — Пенни; 92 Легчая 7 одноэлектронных приближений, различающиеся энергией связи электрона. Все выводы этого приближения носят всеобщий характер, утверждающий зонную структуру энергетического спектра электрона в периодическом поле решетки. В дальнейшем мы еще вернемся к приближению Кронига — Пенни в связи с изучением локальных электронных состояний в металлах. Лекция 8 8,1.
Методы расчета энергетической эонной структуры Рассмотренные ранес приближения позволили выяснить основную особенность энергетического спектра электронов в мета~пах - его зонную структуру. Мы условились в связи с этим каждому электронному состоянию сопоспилять два квантовых числа: волновой векзор Й в первой зоне Бриллюэна н номер энергетической зоны и,.
Нам известно, что в каждой зоне имеется определенное число состояний, равное числу значений волнового вектора в первой зоне Бриллюэна, т. е. числу элементарных ячеек в кристалле. Каждое состояние может быть заполнено, согласно принципу Паули, двумя электронами с противоположными спинами. Нам необходимо знать, в какой последовательности располагаются энергетические зоны, каков закон дисперсии внутри каждой зоны, какова шири|га разрешешюй и запрещенной зоны энергии, какова плотность состояний в области энергий, подверженных тепловому возбуждению и т. д, Расчеты зонной энергетической структуры металлов, призванные ответить на этн вопросы, образуют область весьма тонких вычислительных методов, которые в настоящее время хорошо освоены.
На саму зоиную структуру большое влияние оказывает симметрия зон Бриллюэна и ячейки кристаллической решетки, поэтому д~и расчетов таких структур характерно использование теории групп. Она позволяет заметно упростить, а иногда и уточнить расчеты, так как в точках высокой симметрии исходные одноэлектронные уравнения П!редингера значительно упропнпотся. Число методов, использующихся при расчетах структуры энергетических зон, достаточно велико. Однако, мы рассмотрим только наиболее важные из них, применяемые при расчетах зон в металлах.
Наше рассмотрение будет сводиться к решению одноэлектронного уравнсния Шредингера, считая, что эффективный кристаллический потенциал (стр. б1) известен. Лекцию 8 Общей особенностью почти всех используемых методов расчета является то обстоятельство, что оии строятся на одноэлектронной основе и то, что искомая функция ищется в форме разложения в ряд по какой-нибудь полной системе известных функций, чаще всего по плоским волнам, либо по системе произведений радиальных функций на сферические гармоники. Удобство такого подхода заключается в возможности выбрать систему простых функций так, чтобы удовлетворялись некоторые условия, цакладываемые па искомую функции>.
Поскольку таким способом мы можем удовлетворить лишь части необходимых требований, то выполненно остальных условий можно потребовать, выбирая должным образом коэффициенты разложения. Исключением из общей схемы построения методов расчета зонной струклуры является своеобразный по нос>роению метод ячеек, который известен еше как метод Внгнсра Зсйтца.
8.1.1. Метод Вигнера — Зейтца (метолл ячеек) Есллл выбрать в качестве элементарной яченки прямого пространства ячейку Вигнера.Зсйтца, то для плогноупакованных металлов граница элементарной ячейки яв»ястся поверхностью с высокой степенью симметрии и потому очень хорошо аппроксимнрующуюся сферой того же обьема И .—. = > и>>оз, лдс Ло —.
радиус сферы. Каждая сфера содержит один узел рсшег3 ки и является примитивной элементарной ячейкой. В центре такой ячейки расположен ионный остов, размеры которого обычно малы в сравнении с радиусом сферы. Так, для натрия Ло .— —. 1.88 А, а радиус иона Лк =- 1898 А. Потенциал иона распространяется не на всю ячейку и обычно охватывает лишь часть ее объема. В таких условиях можно считать, что ионный потевциал заключен внутри каждой сферы и обладает сферической симметрией.
Важно еше раз подчеркнуть это обстоятельство, отметив, что если электрон попал в область какой-нибудь сферы, то на него будет действовать потенциал, создаваемый ионом и другими валентными электронами, находящимися только в этой сфере. Обычно рассматриваемый метод используют для определения волновой функции и собственного значения энергии на дле зоны проводимости, т. е. для состояний электронов с к' = О. Такое ограничение связано с паибюлсе просто реализуемыми граничными условиями на поверхности ячейки.
Рассмотрим в<щновую функцию Ээы, (г). Она, согласно теореме Блоха, 95 8.1. Методы расчета знереетнческой эонной структуры должна удовлетворять граничным условиям периодичности: рь„1,т —; Л) =- е' ' ры,(г). Для состояний с й = 0 имеем (8.1) здесь Л . вектор трансляции, г1 номер валентной зоны в общем числе зон, Это значит, что волновая функция должна быть непрерывной функцией без сингулярности и периодически переходить из одной ячейки в другую. Тогда аналогичной непрерывностью обладает и первая производная от этой функции. Непрерывность производной требует обращения ее в нуль на границе ячейки: =- О. С8.2) дг с=но Поскольку, как было установлено, потенциал ионного остова внутри сферы сфсрически симметричен, то выбрав его, согласно Вигнеру — Зсйтцу, в форме потенциала У(г) внутри свободного атом, нужно решить радиальное уравнение Шредингера, присоединяя к решению граничное условие (8.2). В результате решения мы получим волновую функцию и энергию электрона, соответствующую дну зоны проводимости 1е(0) 8 Итак, наша задача состоит, следуя Вигнеру — Зейтцу, в вычислении зависимости энергии электрона, находящегося внутри сферы, от радиуса сферы Ло.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
