В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Как уже было сказано, потенциальная энергия этого электрона определяется только сферическим потенциалом самого иона, а всеми возможными эффектами обмена и корреляции можно пренебречь. Таким образом, необходимо интегрировать радиальное уравнение Шредингера с радиальной функцией йь гг1г) ~ ) Л,=О (8.3) и граничным условием (8.2). Здесь Г(г) — сферически симметричный потенциал иона. Поскольку вощювая функция обладает периодичностью решетки, повторяется при переходе из одной сферы в другую, то нам необходимо иметь решение только для одной сферы. Зависимосп полной энергии кристалла от радиуса сферы Ло тогда можно найти, умножая соответствующую одноэлек~ронную зависимость на число атомов в кристалле.
Отметим 9б Лекяия 8 :рь(г) = с' '" ро(г). (8.4) Эта запись напоминает запись функции Блоха, однако, здесь функция до(г) считается не зависящей от волнового вектора Й. Тем не менее, она яв)и- ется лучшим, чем плоская волна, приближением к правильной волновой функции. Подставим ее в уравнение Шредингера: й л .з — — 57~+ Ю (г) г.' ";до(т) --. еяс' .'ро(т'). 2ги Преобразуем: й йз .у-' бз я 'Фо(г) — 2г — к . ~~до(г) — — ~ Фо(г) -, 'г (г)~о(г) .—" еьФо(г), или дз йз ьг ( х' Фо(г) + "з Й ' зги(г)) + В(г)Фо(г) — э Фо(г) — ~ьФо(г). (8.5) Отсюда уже можно получить выражение для расчета энергии возбужденного электронного состоянги, считая, что функция ~ро(г) нормирована к единице в объеме сферы Вигнера — Зсйтца. Используя обычный рецепт определения энергии, находим гя '†" / Фо(г)Ро(г)о г — — / Ро(г)Г Фо(г)г~ г'— Гйз~з „..
з Ь' — — 2~' / 1с. тедо(г) ро(г) пзг -, 'э~ ДЯг~т1(г)до(г) йзг, (8.6) еще, что при решении уравнения Шредингера мы не должны отбрасывать решения, не стремящиеся к нулю прн возрастании радиуса г, как это делается для случая изолированного атома, посизльку нас будут интересовать значения радиуса г вблизи поверхности сферы Ло. Приведенный расчет относится к состояниям электронов с к = О, т.
е. касается основного состояния в зоне проводимости. Вполне понятно, что значительно сложнее рассчитать энергии состояний с к' у': О. Простейшим приемом, позволяюшим в рамках рассматриваемого метода, получить первое приближение для энергии возбужденного состояния является допушенне„что волновую функцию можно выбрать в виде; 87. Методы расчета энергетической зонной структуры или гь —, — — 4о(г)'~ 'ро(г) д г+ Я(г)(7(г)ро(т) 6 т. (8.7) йзй й )...
). Интегрирование здесь выполняется цо всему обьему сферы Вигнера- Зейтца. Интеграл рок(г)туре(г) Й г = 0 в силу симметрии распределения заряда в ячейке. Анализируя выражение для энергии (8.7), видим, что первый член представляет собой энергию Фер- ми, а второй и третий — энергию Вигнера — Зсйтца. Перепишем выражение (8.7) в более удобной форме: йзй еь =, ' +е(0), йт (8.8) где г(0) .. — — ") е"$ )н н$ )е /~,'$ )е( )еа )Р .
~8.9) з йй = — )с~з — — — '8 (Зази) з, о ч 5 (8.10) В принципе в выражение для е(0) можно было бы еще ввести поправки на корреляцию н обмен электронов, однако, вычисления потребовали бы дальнейших упрощений и потому мы их здесь упускаем. Выражение для энергии (8.8) показывает, что энергия возбужденных состояний й ф 0 может быль подсчитана как сумма энергий свободного электронного газа и энергии основного состояния в форме энергии Вигнера — Зейтца. В такой записи (8.8) закон дисперсии уже напоминает энергетическую зону. Итак, определив функцию ро(г), характеризующую распределение заряда внутри сферы Вигпера — Зейтца, можно затем построить и всю энергетическую зону, пользуясь выражением (8.8).
Можно рассчитать важную ддя оценки сил связи среднюю энергию, приходящуюся на один электрон, используя (8.8). Для этого необходимо, как это мы делали ранее, усреднить величину йз по сфере Ферми (3.19): Лекция 8 здесь и — концентрация электронов проводимости. Учитывая (8.8), можно записать выражение энергии, приходящейся на один электрон проводимо- сти в приближении Вигнера — Зейтца: з Евз '— " е(0) + 11)я и) 10т (8.1 1) 8.2. Силы сцепления в металлах Рассмотренный метод расчета электронных состояний в металле был построен на ряде допущений, касающихся вида волновой функции и вида кристаллического потенциала.
Особенностью этих допущений, сделавших задачу разрешимой, является то обстоятельство, что здесь совершенно игнорируется структура металла и результат расчета зависит только от обьема сферы Вигнсра — Зсйгца. Тем пе менее, применение этого простого метода к определению дна зоны проводимости одиовалентного металла, а, следовательно, и энергии связи дало результаты, хорошо сопшсующисся с экспериментом.
Под энергией сцеш1сния металлов обычно понимают разность между средней энергией валентных электронов и энергией валентных электронов в изолированных атомах, находящихся в основном состоянии. Последнюю энергию можно получить из спектроскопических данных. Обычно главный интерес в проблеме сцеплензш металлов представляет собой определение зависимости энергии сцепления от радиуса )Зо. Ценность метода Вигнера — Зейтца и заключается в том, что он позволяет явно найти эту зависимость, хотя и численными методами. Минимум иа кривой этой зависимости отвечает энергии связи, а соответствующий этому минимуму параметр решетки является равновесным.
Кривизна кривой, как мы увидим, характеризует сжимаемость метагшов. Если найти эту зависимость для де- В заключение отметим, что последовательное использование общего метода ячеек потребовало бы учета в выражении криста~л|ического потснпиала добавочных членов: 1. Потенциала электростатического взаимодействия ячеек, 2. Потенциалов взаимодействия данного электрона с электронами, находящимися в данной ячейке и распределенных в других ячейках.
Этот учет связан с очень громоздкими выкладками и мы его не будем здесь затрагивать, а непосредственно используем вычисленную ранее (4.17) обменную энергию. 82 Силы ецевмения е лсетцслал формированного металла, то можно определить и упругие характеристики среды. В соответствии с определением энергия сцепления в металлах представляется выражением; 18.12) Гсв — — Евв Ева — Гв — Е г, здесга Е,ь — средняя на электрон обменная энергия, Ез — средняя энергия корреляции иа электрон, Ев„= е(0) + 18язп)е7э — энергия Випгера — Зейтца, Ь вЂ” энергия низшего состояния валентного электрона в изолированном атоме. Согласно виду волновой функции рь(г), вычисленной Вигнером — Зейт- цем, она в большей части харакгеристической сферы представляет собой плоскую волну.
Это позволяет рассматривать обменные н корреляционные эффекты в предположении приближення свободных электронов. В связи с этим мы воспользуемся ранее полученными численными результатами этих поправок, Более точное определенно корреецщионных поправок может быть сделано на основе многоэлектронной модели взаимодействующего электронного газа. Отметим еще одну трудность, возникающую при рас- чете энергии сцепления металлов — это поляризация ионного остова. Она является следствием корреляции между валентными электронами и элек- тронами подвалентных уровней. Кроме того, флукгуирующий дипольный момент ионного остова додже~ экраннроваться компенсирующей деформа- цией плотности валентных электронов, поэтому радиус поляризованного потенциала сравнительно невелик, меныпе радиуса Ло.
Однако, роль поля- ризацнонных эффектов в величине энергии сцепления металлов еще плохо изучена и является проблемой, как и в целом весь вопрос. Приведем некоторые численные результаты расчетов сил сцепления в крис|алле натрия. Итак, имеем: — Л, Ь', Евв —. е(0) -'- (Вп и) з =.= ( — 0.611+ 0.111) — =. — 0.467 —, Е, = — 0.378 —,е, Есв = Евз Еа = 0З180 зч 27'2 моль' ~ ЛАВА чП КВАЗИСТАЦИОНАРНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ $1.
Квазиетационарные явления в линейных проводниках Если период юлебаний злектромагнитного поля значительно превышает время распространения поля через систему: Т лз —, ы((-, с с' (!111.1) где с — сюрость света, 1 — линейный размер системы, то можно пренебречь конечностью сюрости распространения злектромагнитных возмущений внутри системы. Таюе приближение называется квазистациоинрным'.
Ток в замкнутой цепи с э.д.с. е(г)„емюстью С, индуктивностью Ь и сопротивлением В удовлетворяет в квазистационарном приближении дифференциальным уравнениям У= —, — Т вЂ” + — + — д=й(8), йг 1 г(зб (б 1 й' с' аз (1 С У = —, 2= В+а~ — — — ). 8 / 1 !оЬ~ =г' = ~ С,ду" (з!11.2) Величина 2 называется юмплексным сопротивлением (импедансом) цепи. Собственнаа часппа !ос юлебаний в контуре, состоящем из емкости С и самоиндукции Ь, дается формулой Томсона с /т,С ('Л1.3) ' Иногда иаазистаннонарное лриблишение дает хорошие результаты и при нарушении услоаиа (ЗГН.1), например, а теории длинных линии. Подробнее об атом см. 11 ОЦ 1107.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
