В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Еще раз подчеркнем, что возникшее состояние с энергией Еь явилось результатом смешивания из-за возмущения двух ранее вырожденных по энергии невозмущенных состояний. Рассмотрим подробнее аыражение для энергетического спектра (6.10) электрона. Определим обратную решетку для одномерной ионной цепочки и зависимость энергии от волнового вектора невозмущенного состоянггя Ео (6.11) в схеме приведенных зон (рис. 2). Далее, рассмотрим два случая; Пусть волноаой вектор й принимает значения близкие к центру зоны Бриллюэна й — О, тогда оказывается, что разность невозмущенных энергий Ео — Е" велика в сравнении с возмущающим потенциалом С 9 1по услОаию задачи Он мал) и' сОгласнО выражению (6.10), имеем: й 1:;Ео + Ео З (Ео Ео Рис.
2 Здесь необходимо выбрать знак (-:), иначе мы не будем в центре зоны Бриллюэна; йй 2щ' (6.12) Это значиг, что а центре зоны Бриллюэна электроны в периодическом поле тождественны свободным электронам и им отвечает квадратичное дисперсионнос соотношение. Далее, рассмотрим состояние с волновым вектором й, лежащим на границе зоны Бриллюэна, т.
с. й = д/2. Подставляем значение й в (6.10): Ен — Е н — Е у ~2(ПП )з 76 Лекция 6 или Ед(г = Р.д~г ( д( — д) 1 ЕЫ вЂ” Ед(г+ ( д0 д) (6.14) т. е. меньше и больше соответствующего значения энергии свободного электрона Е . Эти значения энергии разделены энергетической кщельюв, шно риной 2((7д(7 д)1~г.
Можно сказать, что прн значениях волнового вектора, близких к границе зоны Бриллюэна, происходит отклонение закона дисперсии от квадрагичноил причем это происходит за счет смешиванэгя элок- тронных состояний, различающихся на вектор обратной решетки. Это смешивание приводит к понижению энергии одного состояния и повышению энергии другого состояния и на границе зоны возникает разрыв энергетической кривой. Значения энергии, попадающие в этот разрыв, не могут быть собственными энергиями электронных состояний в кристалле и составляют запрещенную энергетическую зону.
Это и есть основной результат, характерный для электронов в периодическом поле. Он утверждает, что в металле энергетический спектр (закон дисперсии) носит зонную структуру, т. с. обратное пространство состоит из отдельных полос разрешенных и неразрешенных энергий, чередук1щихся между собой. Для всех значений волнового вектора Й, лежащих вну1ри зоны Бриллюэна, энергия является непрерывной функцией вектора й. Эта непрерывная совокупность значений энергии и представляет энергетическую полосу.
В схеме приведенных зон (рис. 2) энергия становится многозначной функцией волнового вектора. Отметим еще раз, что разрывность энергетического спектра электрона в периодическом поле является фундаментальным свойством, обуславливающим многие свойства металлов. Наличие запрещенной энергетической зоны означает, что в кристалле пе может возникнуть электронных волн с элер~ней, лежащей в этой зоне. Волн пучек электронов с энергией, соответствующей запрещенному значению, падает па кристалл, то он весь долэкен быть отражен, поскольку электроны с такой энергией не могут двигаться в кристаэпге. Таким образом, любая попытка возбудить электронные волны 1 Едуг = Едуг З ((.д~ — д) Итак, на границе зоны Брнллюэпа энергия электрона в периодическом поле решетки имеет два значения: 6.6 Энергетический снекн~р электрика с энергией, лежащей внутри запрещенной зоны, не приводит к возникновению стационарного состояния, а введенное возмущение быстро затухает.
Природа возникающей особенности в энергетическом спелтре электронов заключается в осуществлении условия (6.3): (6.16) которое соотвегсгвует плоскости в обратном пространстве, где образуется энергетический разрыв, Это условие по-существу является одной из форм записи известного закона отражения Брента — Вульфа и й =- йй аш д. 16.17) Следовательно, можно сказать, что зонная структура энергетического спектра является следствием брэгговского отражения электронов от решетки. В трехмерном случае качественная картина одномерной задачи сохраняется полностью, однако, ширина запрещенной зоны нс всегда соответствует такси>й в одномерной модели.
В зависимости от характера периодического потенциала ьюжет возникать наложение соседних разрешенных зон. Рассмотрим для примера двумерную квадратную решетку в обратном пространстве (рис. 3). Пока волновой вектор )с электрона близок к центру зоны Бриллюэна мы имеем концентрическую окружность для изоэнергетической линии; затем по мере увеличения энергии изолиния энергии коснется границы зоны Бриллюэна и потеряет окружную форму. Дальнейшее увеличение энергии соответствует появлению линий равной энерзии в других зонах Бриллюэна, причем на границе зоны происходит разрыв непрерывности изолиний энергии, т. е.
эти изолинии как бы отражаются от границы зоны. Сформулируем теперь кратко основные результаты рассмотренной задачи о состояниях электронного газа в периодическом поле: Рис. 3 1. Энергетический спектр электрона в периодическом поле дискретен, и, следовательно,для электронных состояний в металле характерна зоннаяэнергетическая структура. Лекяия 6 2. Внутри каждой энергетической зоны зависимость энергии от волнового вектора является непрерывной функцией, причем отклонение от квадратичного закона существенно только для состояний вблизи границы зоны Бриллюэна. 3.
Ширина запрещенной энергетической зоны связана с Фурье-образом периодического потенциала и в одномерном случае равна 2(ГяГ я) ~!я 4. Природа возникающей особенности в энергетическом спектре заключается в осуществлении брэгтовского отражения электронов от решетки. 5. Собственные волновые функции оператора Блоха представляют собой смешение плоских волн, отличающихся на вектора обратной решетки с различным весовым множителем. 6. Качественные результаты одномерной модели справедливы и в многомерном случае. 6.1.1. Оператор Блоха в представлении операторов вторичного квантования Представляет интерес некоторые предыдущие рассуждения о состояниях электрона в периодическом поле перевести на язык операторов вторичного квантования.
Этот переход очень привлекателен в связи со своей компактностью записи. Прежде всего получим многочастичный оператор Блоха, суммируя однозлектронные операторы г5.4): г6.18) Каждому одноэлектронному оператору Блоха соответствует собственная волновая функция Блоха ~рьЯ = схр(1 )с т)иь(г). (6.19) Построив соответствующие полевые операторы ц~ 'Я и ф(г), согласно г3.27) и г3.28), можно записать в представлении чисел заполнения опе- б. 6 Энергептнескнй спектр юектронн ратор (6. ! 8): к- 1'~чп) —," -. (и) <,) "- ~ 2ьв = ~~с„;.с.,~ай.)г +па)) а.,а,= йй =~~',~бйй ЕйСй Сй = ~ ЕйСйч Сь, (620) йй Н; —. ~Ейс,с, йа т. е. !6.2!) 2 Н = / фа(г) — ф(т) г) г+ / ф ' (т)П(т)спи) г) г.=-. 2 / — гй' Р ~й,)з + /',— р е й, Л' а — Сй, Сй э! е ' '"1!(т)е' '"г2 г= йл' йк й С~- С „~~, ~~, С С / — ~й' пасг 1!й-'Ы) п,пз йй а йй ы =~ е,с;.Сй +') С П С„', Сй.
здесь: Р и = ӄ— фурье-образ периодического потенциала У(г). С вЂ” вектор обратной решетки. Итак, оператор Блоха (6.18) в представлении операторов вторичного кван- Здесь мы использовали то обстоятельство, что функции Блоха (6.19) образуют ортонормированную систему и каждая из них описывает состояние с энергией Ей. Таким образом, многочастичпый оператор Блоха в представлении операторов вторичного квантования по функциям Блоха имеет вид (6.21).
Однако, иногда удобно представить оператор Блоха(6.18),используя формализм вторичного квантования по плоским волнам. Проделаем соответствующие выкладки без пояснений: Лехяия 6 тования по плоским волнам можно записать так: ьСь~Сяя + 2~' ~~ы~ ьЯ ы Сьа. гб 22) зп я Н вЂ” ~ ~еьС„Сья + ~~ ~ ~СыСь гы Сь— Ья ьс я (С».' д „Сгь ~,' „Сь аСьс — и) . (6.23) ьь ."г:Фо Это полный гамильтониан системы, вторично проквантованный по плоским волнам.
Он очень удобен в работе и мы им будем неоднократно пользоваться. А сейчас рассмотрим, как можно решить задачу о состояниях электронного газа в периодическом поле решетки в формализме операторов вторичного квантования. Мы будем пользоваться гамильтонианом (6.22), считая, что в системе имеется один электрон и большой набор возможных электронных состояний й.
Такой прием вызван тем, что лам необходимо найти зависимость одночастичной энергии от волнового вектора. Основное состояние системы задается гамильтонианом 2,'еьС~„Сь„возмущением служит йя периодический потенциал. Обозначим одночастичную волновую функцию состояния г в компалгном виде числа частиц в этом состоянии: /...гь ...). Поскольку имеется возмущение, то истинная волновая функция Ф не будет совпадать с одночастичной функцией, а должна быть выражена в форме линейной комбинации этих функций Ф=~ ~а,~...л, ...). (6.24) Запишем далее уравнение Шредингера с |амильтонианом (6.22), причем, Если сюда включить еще оператор (4.39), описывающий взаимодействие в системе электронного газа, представленный также в необходимой форме, то гамильтониан взаимодействующего электронного газа в периодическом поле решетки имеет вид: 81 6.1. Знергемн кеекнй клекнер электроне чтобы показать, что рассматривается одночастичная задача, придадим ин- дексу й значок «штрихи и опустим спиновый индекс и ~ее Ск~,Ск + ~ Рс С',„„Ск х е к ь х ~ а, ...
и, ...) =Е~ о,;~... и, ...). Умножнм левую и правую часть этого уравнения на сопряженную функцию (...и ~ ог ~~~ ек (. ° иэ . ° . Ск Са ~ ° ° ги +~ еи~ Сс О..и,...~~С~~, с,Ск ~...и,...)= = Е к о, (... и ... 1.. и; ...) . Используя свойство ортогональности одночастичных волновых функций и раскрывая соответствующие матричные элементы, находим еие,д,, -~- ~ си ~ С'с д,.~.с,; =Е~ ~ы,би или, преобразуя, можно записать так: а, 1еэ бн — Еби ) + ~', а.
~~', 1Ус д с, =- О., однако г~зд з = о и гк,б нс н = гк нси тогда у(-у Е)+~ сгнои .' =О с Здесь, как и ранее, индексы нумеруют электронные состояния. Пусть со- стояние 1 определено как (Й + С), где С вЂ” вектор обратной решетки: аи;-с1еь —:с — Е) ' ~~' Ос'гкьнс+с' -= О. Лекция 6 Сумму обратных векторов можно обозначить одним вектором С+ С'= С", Таким образом, последнее выражение можно переписать так: ыьз.с(еа-~с — Е) + ~~ (ус — сои;-с« = О.
(6.25) Это есть уже полученная нами ранее система уравнений (6Л) (в других обозначениях) для определения коэффициентов о, в выражении волновой функции возмущенной системы (6.24). Следовательно, тот же результат может быть получен, используя метод операторов вторичного квантования. Лекция ? 7Л. Приближение Кронигн-Пенни До сих пор мы не делали никаких предположений, касаюшихся значения периодического потенциала системы ионов Г)) г'. В действительности этот потенциал не представляет собой монотонную функцию, а имеет резкие перевалы вблизи каждого узла решетки. Это зна )ит, что у него имеются фурье-компоненты с очень малой длиной волны, это приводит к плохой сходимости рядов, составленных из фурье-образов Угн В связи с этим приближенно почти свободных электронов в чистом виде не может быть реализовано и становится пригодным благодаря введению приема, связанно~о с псевдопотенциалом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
