В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найти распределение а зарядов, индуцированных на поверхности полости. Какое поле Е' создается в полости этими зарядами? 166". В однородном диэлектрике с провицаемостью е имеется электрическое поле, потенциал которого в окрестности некоторой точки О может быть представлен в виде уг =~~~ ~ а~ г~г) (д,гг). у 21+1 Пусть затем в окрестности точки О нарушена однородность и нейтральность диэлектрика (например, туда помещен проводник, вообще говоря, зарюкенный, или диэлектрик с проницаемосгыо ег ~ е). Вследствие этого, потенциал электрического поля вне области неоднородности примет теперь вид у = у1 + <рз, где — потенциал поля, вызванного свободными и связанными зарядами в области неоднородности (множитель и введен для удобства). Найти потен- 52 )лава Ш циальную энергию сг взаимодействия области неоднородности с внешним полем ~р!.
УКАЗАНИЕ. Рассмотреть электрические напокенвл, действующие на замкнутую поверхность, схватывающую область неоднородности. Использовать результат задачи 128. 167. Найти энергию взаимодействия со слабо меняющимся внешним полем Ув малой области неоднородности в диэлектрике (см. предыдущую задачу). Вследствие быстрой сходимости достаточно ограничиться членами с 1 = О и 1.
Результат представить в векторной форме. Найти в этом приблюкении силу Р и вращательный момент Х, приложенные к области неоднородности. 168. Показать, что незаряженное диэлектрическое тело с проиицаемостью ео, находящееся в диэлекзрике с проницаемостью е, втягивается в область с большей напряженностью электрического поля, если ео > е, и выталкивается из этой области, если ео ( е.
УХАЗАНИВ. Использовать формулу (И1.16). 169. В общем случае компоненты дипольного момента р, приобретенного диэлектрическим телом во внешнем однородном поле Е, можно представить в виде р, = !5зтЕь, где Дь — симметричный тензор поляризуемости тела. Какую ориентацию стремится занять зто тело во внешнем однородном поле? Тело незаряжено, Дьхзхь > О, х;, (1 = 1, 2, 3) — произвольный вектор. 170. Стержень из диэлектрика с проницаемостью е! погружен в однородную жидкую диэлектрическую среду с проницаемосъъю ез. Какую он займет ориентацию, если систему помесппь в однородное внешнее поле? Какую ориентацию займет тонкий диск, находящийся в жидком диэлектрике? 171. Найти силу Г, действующую на диэлектрический шар со стороны точечного заряда д (см. условие задачи 157»).
Рассмотреть предельный случай проводящего шара. Решить задачу двумя способами: методом задачи 166» и с помощью формулы (Ш.16). 172. Электростатическое поле образовано двумя проводяп1ими цилиндрами с параллельными осями, радиусами Вм Вз и зарядами на единицу длины хм.
Расстояние между осями цилиндров а > В! + Вз. Найти взаимную емкость С цилиндров на единицу длины. (С„= зг/(1с! — 1лз), где чз! и чзз — потенциалы цилиндров). Ухлзлнив. Воспольюваться результатом задачи ! 17. 6 2. Потенциальные и енкоотные коэффициенты 173. Оси двух одинаковых проводящих цилиндров с радиусами В находятся на расстоянии а друг от друга. Цилиндры несут заряды ~ле на единицу длины. Найти распределение зарядов о на поверхностях цилиндров.
174. Конденсатор образован двумя цилиндрическими проводжцими поверхностями с радиусами В1 и Вз > Вь Расстояние между осями цилиндров а ( Вз — Вь Найти емкость С конденсатора. 175. Определить поле ~р тчечного заряда в однородной анизотропной среде, характеризуемой тензором диэлектрической проницаемости еоо 176. В пустоте находится плоскопараллельная пластинка из анизотропного однородного диэлектрика с тензором проницаемости е;ь. Вне пластинки однородное электрическое поле Ео. Используя граничные условия для вектора поля, определить поле Е внутри пластинки. 177.
Найти емкость С плоского конденсатора с площадью обклакок Я и расспанием между ними а, если пространство между обкладками заполнено анизотропным диэлектриком с проннцаемостью еы. Краевым эффектом пренебречь. 178. Найти изменение направления линий вектора Е при переходе пустоты в анизотропный диэлекгрик. Воспользоваться результатом задачи 176. 92. Потенциальные и емкостные коэффициенты Потенциалы К, системы и проводников являются линейными однородными функциями зарядов ць на проводниках: У = ~ зььць (1 =1,2,3,..., и).
ь=1 (111.26) (1П.27) Величина еы представляет собой потенциал, приобретаемый 1-м проводни- ком, если сообщить й-му проводнику заряд ць = 1, а остальные проводники оставить незаряженными. Все лы > О. Величины лиь называются потенциальными коэффициентами. Они зависят от взаимного расположения, формы и геометрических размеров проводни- ков, а также от диэлектрической проницаемости окружающей среды. Мат- рица л симметрична: 54 Глава 1П Очевидно, что и заряды проводников являются линейными однородными функциями нх потенциалов: йз = ~~1 с1йУй (1= 1,2,3, ..., п). й=1 (П1.28) 1с 1с И'= — ~с1йУ1Уй = -~з1йъяй. 2~ 2~ 'й 'й (П1.29) Обобщенная сила Г соответствующая обобщенной координате а, опреде- ляется формулами: 1 дзей 1 дев ха = 2 Х~~ д Чайс = +2 ~~~ д У1Уй й а й а (П1.30) При решении электростатических задач бывает полезна теорема взаимности Грина: если потенциалы п проводников равны У1, Уз Уз, °, У», югда нх заряды 91. 9з, 9з, ..., 9» и равны У1, Уз, Уз, ..., У,'„югда их заРЯды 91, 9з, Яз, ..., Я», то имеет место соотношение: 1=1 1=1 (1П.31) 179.
Доказать теорему взаимности Грина (Ш.31). Доказать с помощью теоремы Грина, что з1й = вйо 100. Система состоит из двух проводников, удаленных от всех других проводников. Проводник 1 заключен внутри полого проводника 2. Выразить емюсти С и С' юнденсатора и уединенного проводника, образующих эту систему, через ее емкостные коэффициенты. Доказать, что взаимные емкости проводника 1 и любого проводника, находящегося вне проводника 2, равны нулю. Величины св называются емюстными коэффициентами. При этом ст > 0 (собственные емюстн); св = сы > 0 при 1 ф к (коэффициенты взаимной емкости, или просто взаимные емкости). Величина св представляет собой заряд, приобретаемый 1'-м проводниюм, когда все проводники кроме й-го заземлены, а Й-й проводник имеет потенциал Уй = 1.
Матрицы гчй и св являются взаимно обратными. В случае одиночного проводника имеется единственный ем1юстный юэффициент сы, называемый при этом просто емкостью. Емкосп юнденсатора (П1.14) может быть выражена через емкостные коэффициенпя его обкладок (см. зщ1ачу 180). Энергия системы проводников имеет вид 55 1 2. Потенциальные и еикоетные коэффициенты 181. Выразить потенциальные коэффициенты аьа через емкостные си, в случае системы двух проводников. 182. Бмюсти двух уединенных проводников равны с1 и сг.
Эти пронодники находятся в однородном диэлектрике с проницаемостью е вакууме на расстоянии г, большом по сравнению с их собственными размерами. Показать, что емюстные коэффициенты системы равны С ( + СзСг) СзСг С (1+ СьСг) УКАЗАНИЕ. Определить сначала потенциальные коэффициенты е точностью до величины 1/г. 183. Емкосгные юэффнциенты системы двух проводников равны сы, сгг, сш = сш. Найти емюсть С юнденсатора, обкладками которого служат зти два проводника.
184. Четыре одинаковые проводящие сферы расположены по углам квадрата. Сфера 1 несет зарад д. Затем она соединяется тонкой проволочкой поочередно на время, достаточное для установления равновесия, со сферами 2, 3, 4 (нумерация проводников циклическая). Найти распределение заряда между проводниками по окончании всех операций. Потенциальные коэффициенты системы заданы. 185. Три одинаковые проводящие сферы с радиусами а находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной б > и. Вначале все сферы имели одинаювые заряды ц.
Затем они по очереди заземлялись на время, достаточное для установления равновесна. Какой заряд остается на каждой сфере по оюнчании всех операций? 186. Собственные емкости двух проводниюв, находящихся в однородном диэлектрике, Сь и Сш их потенциалы У~ и Ъ'г, расстояние между проводниками г много больше их размеров. Найти действующую между ними силу Г. 187.
Замкнутая проводящая поверхность с потенциалом 7~ содержит внутри себя проводник с потенциалом ~~. При этом потенциал в некоторой точке Р между проводжцими поверхностями равен Рр. Пусть теперь проводники заземлены, а в точку Р помещен зарад ц. Какие заряды будут при этом индуцированы на проводниках? 188. Показать, что в отсутствие точечного заряда геометрическое место точек, из юторых единичный заряд индуцирует на некотором заземленном проводнике заряд одной и той же величины, совпадает с зквипотенциальной поверхностью поля этого проводника.
56 Глава Ш 189. Два проводника с собственными емкостями сы и сзз и взаимной емкостью с~з, составляющие часть некоторой системы изолированных проводников, соединены тонкой проволокой. Какова собственная емкость обьединениого проводника, коэффициенты взаимной емкости его и остальных проводников системы? 190. Два одинаковых сферических конденсатора с радиусами внутренних и внешних обкладок, соответственно а и Ь, изолированы и находятся на большом расстоянии г друг от друга.
Внутренним сферам сообщены заряды 9 и ды после чего внешние сферы соединяются проволокой. Найти (приближенно) изменение ЬИ' энергии системы. 191. Заземленная внешняя обкладка сферического конденсатора имеет малую толщину. В ней проделано небольшое отверстие, через которое проходит изолированный провод, соединяющий внутреннюю обкладку конденсатора с третьим проводником, находящимся на болыпим расстоянии г от конденсатора. Собственная емкость этого проводника С и вместе с внутренней обкладкой конденсатора он несет заряд 9.
Радиус внешней обкладки конденсатора Ь, радиус внутренней обкладки а. Найти силу Г, действующую на третий проводник. 192в. Проводник заряжается путем последовательных подсоединений к разрядному шарику электрофора. Шарик электрофора после каждого подсоединения вновь заряжается, приобретая при этом заряд Я. При первом подсоединении на проводник с шарика переходит заряд д. Какой заряд пс лучит проводник после очень большого числа подсоединений? й 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
