В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 4
Текст из файла (страница 4)
55. Интеграл по замкнутому контуру у' ьэ д1 преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур. бб. Интеграл у и ИУ, взатый по некоторому замкнутому контуру, преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейса на этот контур (и„у— скалярные функции координат). 57. Доказать тождество: (А ° гоСгоС — В гозгоСА)гКА = ((В х гоСА) — (А х гоСВ)) ° еИ.
58. Внутри объема г' вектор А удовлетворяет условию йтА = О, а на границе обьема (поверхность Я) — условию А„= О. Доказать, по ) А ей/' = О. 24 Глава 1 А(г) ИУ 59*. Доказать, по с11вн ( = О, где А(г) — вектор, определен- )К вЂ” г! ный в предыдущей задаче. 60. Для трехмерного тензора 11 ранга доказать теорему Остроградского-Гаусса: — 'в сГг' = Т;~ г(Б;. Укдзвиил. Исходить из теоремы Остро~радсюго-Гаусса для векюрв А; = = Т;ьаь, где а — произвольиый постояивый вектор, 61.
Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей толью: а) от г; б) от д; в) от а (сферические координаты). 62. Найти общий вид решения уравнения Лапласа для скалярной функции, зависящей только: а) от и; б) от гт; в) от л (цилиндрические координаты). 63. Показать, что если скалярная функция 16 является решением уравнения Атд + (с~тУ = О и а — немпорый постоянный вектор, то векторные функшш Ь = бгабф, М = гос(ату), Х = гоьМ удовлетворяют уравнению АА + ЙзА = О.
64". Уравнение — + — + — = 1 (а > 6 > с) изображает эллипсоид в у~ 2 а 6 св с папуасами а, 6, с. Уравнения г з 3 х + У + л а +с 6з+~ сз+с 3 з 3 х + У + в а +и 6 +и сз+г) хз у — + — + — =1 аз+(' 6з+~ сз+(' 4> сз — сз > и > — 6з, -6'>С>- ' изображают соответственно эллипсоид, однополостной и двухполостной гиперболоиды, софокусные с первым эллипсоидом. Через каждую точку пространства проходит по одной поверхности, характеризуемой значениями с, т), ~.
Числа с, и, ~ называются эллипсоидальными координатами точки х, у, л. Найти формулы преобразования от с, О„~ к х, у, л. Убедиться в ортогональности эллнпсоидальной системы координат. Найти юэффицненты Ламэ и оператор Лапласа в эллипсоидальных координатах. 25 З 2 Венаорный анализ бба. При а = б > с эллипсоидальная система координат (см. предыдущую задачу) вырождаетса в так называемую сплюснутую сфероидальную снсгему юординат. Координата ( при этом переходит в постоанную, равную — а, и должна быть заменена другой координатой.
В качестве последней выбирают азимугальный угол се в плоскости хр. Координаты с, з) определяются из уравнений гз з — + — =1 аз+ с сз+ с г з — + — =1 а +з) с +г) гз =ха+ уз, где с > — сз, — с > з) > — аз. Поверхности с = сопят представляют собой сплюснутые эллипсоиды вращения вокруг оси з, поверхности з~ = сопят — софокусные с ними однополостные гиперболоиды вращения (рис. 2 ).
опас сопвФ Рвс. 3 Рис. 2 Найти выражения г, в в сплюснутых сфероидальных координатах, коэффициенты Ламэ и оператор Лапласа в этих ююрдинатах. 66*. Вытянугаа сфероидальная система ююрдинат получается из эллипсоидальной (см. задачу 64в) при а > Ь = с. Координата ц при этом вырождаегся в постоянную и должна быть заменена азимутальным углом сг, отсчитываемым в плоскости уз от оси у. гб Гиава 7 Координаты 6 ь определяются из уравнений гз — + — =1, аз+а а+с — + — =1, г =у+в, л гг аз» ~ сз» Рнс.
4 67. Бисферические координаты Р, и, а а связаны с декартовымн соотношениями: ав1пцсово сп( — соки' авш аяша спС вЂ” совц' авйб ойдо — сову' где а — постоянный параметр, — со < Р < со, О < ц < к, О < о < 2я. зде с ) -Ьз, -Ьз ) ~ ) -аз. Поверхности постоянных С и ~ представляют собой вытяиугме зллипсонды и даухполостные гиперболоиды вращения (рис. 3). Выразить величины ж, г через С, ~; найти козффициенты Ламэ н оператор Лапласа в переменных 6 ~, а г7 22 Векторный анализ Показать, что координатные поверхности С = сопят представляют со- кз бой сферы хз + уз + (з — асзп~)2 = ( а ~, поверхности ц = сопвФ— — ( .,~ веретенообразные поверхности вращения вокруг оси з, уравнение которых (~х'+уз-ассно)2+22= ( —.' ) япо поверхности ез = сопят — полуплоскости, расходящиеся от оси з (рис.
4). Убедиться в том, что эти координатные поверхности ортогональны между собой. Найти коэффициенты Ламз и оператор Лапласа. Рнс. 5 68. Тороидальные координаты р, с, ы образуют ортогональную систему и связаны с декартовыми координатами соотношениями а вп р сов ы сЬ р — сов~' авЬряпез сЬр — сов~ ав1п( сЬр — сов~' 28 Гиава 1 где а — постолнный параметр, — со < р < оо, —;г < С < к, гг — азимутальный угол, нзмеилгопгийся в пределах от 0 до к. Показать, по р = 1п Д (см.
рис. 5, на ютором изображены плоскости а = совах, гг+ и = сонат), а величины б представвпот собой угол между тз и тз (б ) 0 при з ) 0 и ~ < 0 при з < 0). Какой вид имеют юординатные поверхности р и б? Найти юзффициенты Ламз. ЛИТЕРАТУРА Смирнов В. И.
[94, 95], Кочни Н. Е. [62], Тамм И. Е. [10Ц, Стрзттон Дж. А. [100], Гельфанд И. М. [30], Гельфанд И. М., Минлос. Р. А., Ш1- пнро 3. Я. [3 Ц, Морс Ф. М., Фепгбах Г. [8Ц, Лебедев В. П., Скальскал И. П., Уфлвнд Я. С. [69]. ГЛАВА Ц ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ В этой главе содержатся задачи на определение потенциала р(г) и напряженности пола Е(г) по заданному распределению зарядов, характеризуемому объемной р(г), поверхностной п(г) или линейной и(г) плотностью. Распределение точечных зарядов может быть описано обьемной плотностью р(г) = 2 , '®6(г — г;), где ~2; — величина 1-го заряда, г; — раднус-вектор 1-го заряда, д(г — г;) — б-функция (см.
приложение 1). Напряженность электричесюго поля удовлетворяет уравнениям Максвелла (11.1) 41т Е = 4яр, гоз Е = О. Бывает полезна интегральная форма первого нз этих уравнений (электро- статическая теорема Гаусса)." Е„ИЯ = 4яд, (11.2) где 5 — неюторая замкнутая поверхность, о — полный заряд внутри этой поверхности. Потенциал и напряженность электрнчесюго поля связаны соотношениями го Е = — ятом у, 1з(г) = Е ° дг, у(го) = О.
(П.З) г Потенциал у удовлетворяет уравнению Пуассона Ьу = — 4яр. (Н.4) Потенциал непрерывен и юнечен во всех точках пространства, где нет точечных зарядов, в частности, на заряженной поверхности, разделяющей Глава П области ! и 2, у1 = рз (рис. б). Нормальные производные Зз терпят разрыв на заряженной поверхности: Еза — Е1а = 4яа или — = 4яс. др, дрз (П.5) Нормаль и направлена ю области 1 в область 2. На поверхности двойного электрического слоя с мощностью г (см., например, [10!)) — — уз — ~р1 = 4ят ду1 дуз дп дп (П.б) (нормаль и имеет направление от отрицательной стороны слов к положительной). Если распределениям зарядов рг и рз соответствуют потенциалы уз и <рз, то потенциалом распределения р= рз+ рз является у=~рз+~рз (принцип суперпозиции).
То же справедливо для электрического поля Е. В частности, принцип суперпозиции позволяет ю потенциалов элементарных зарядов д/т получать путем суммнро(г) ванна потенциалы сложных систем зарядов: а~ /р( )" ' (П.7) В случае поверхноспюго или линейного распределения зарядов обьемный интеграл в (П.7) заменяетРкс. 6 ся соответствующим поверхностным илн линейным интегралом, а в случае системы точечных зарядов— суммой по зарядам.
Это замечание относится также ю всем нижеследующим формулам, в юторых содержатся объемные интегралы по распределению зарядов. В большинстве случаев прямое вычисление интеграла (П.7) затруднительно. В связи с этим часто применяется представление потенциала в виде рялл, который получается в результате разложения подынтегрального выражения по степеням х/г или х'/г и почленного интегрирования.
Такое разложение можно получить как в декартовых, так и в сферических координатах. Декартовы координаты (рис. 7). Прн т > а (а — наибольшее расстояние зарядов системы от полюса 0): Я д 1 Яад дз ~р(х,д,л) = — -р — — +— г дх г 2! дх дх,з т — — (П.8) Яад, дз 3! дх дхрдхт г ''' Поскктнное электрическое псле в вакууме Мультипольные моменты «7, р„, Яор... выражаются обьемными интегра- лами: р(г ) «Лl — полный заряд системы, р(г )х„««к' — юмпоиеиты липольиого момента, р(г ) х х,э «В' — юмпонеиты ккалрупольиого момента.
(П.8') Величины 9, р, (сор... при повороте системы координат преобразуются соответственно как скаляр, вектор, тензор П ранга и т.д. Второй и третий члены потенциала (П.8) могут быть записаны в форме (и) р' (П.9) где р = (р„р„, р,) — вектор дипольного мо- мента системы; «р(«') — — 1(Зх — г )Яке+ 2гз + (8рз гз) ) + (8,0 гз)( + + бх1«Я „+ бххЯ „+ 61«хЯик). (П.9') Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
