В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 6
Текст из файла (страница 6)
8а), б) пространственный октуполь (рис. 86). 9б. Точечный заряд д находится в точке со сферическими координатами (го, тто сто). Разложить по мультимополям потенциал ~р этого заряда. Зб Г ди 97. Эллипсоид с полуосями а, Ь, с равномерно заряжен по объему; полный заряд эллипсоида д. Найти потенциал у на больших расстояниях от эллипсоида с точностью до квадрупольного члена.
Рассмотреть частные случаи эллипсоида вращения с полуосями' а = Ь и с и шара (а = Ь = с). Укдздиив. Прн интегрировании по объему здлинсоидв воспользоваться обобшеннымн сферическими ыюрдннвтвми к = агв!и дсов а, к = Ьгв!и язв!на, я = = сгсовя!. 6) а) Рнс. 8 90. Два юаксиальных равномерно заряженных тонких круглых кольца с радиусами а и Ь (а > Ь) и зарядами д и — у соответственно, расположены в одной плосюсти. Найти потенциал у на бопыпом расстоянии от этой системы зарядов.
Сравнить его с потенциалом линейного квадруполя (см. задачу 94). 99". Показать, что распределение заряда р = — (р' ° к )6(г) описывает элементарный диполь с моментом р', помещенный в начало координат. Пояснить результат, воспользовавшись наглядным представлением б-функции (приложение 1). УКАЗАНИВ. Исходить нз разложения ло мудьтнловям в декартовых координатах. 100. Доказать, что распределение зарядов Р = чЦ(ие ' У)о(г) 'Атомные ядра, обхвдыошне кявдрупохьным моментом, можно в веннером прнбвнженнн ремматрнвать квк эввнвсонды врвывння 37 Постсаиное электрическое ооее в вакууме 102. Пространственный октуполь (рис. 86) повернут вокруг оси з на угол )3.
Найти поле ~р на больших от него расстояниях путем преобразования юмпонент октупольного момента. Сравнить с другими методами решения. 103. Найти потенциал у электрического поля на больших расстояниях от плоского квадруполл, расположенного в плоскости, проходящей через ось з (рнс. 9). Компоненты квадрупольного момента получить непосредственно„а также путем поворота плоского квадруполя, рассмотренного в задаче 94б). 104.
Шар радиуса Я равномерно поляризова, дипольный момент единицы обьема Р. Найти электричесюе поле ~р. Рис. 9 105. Двумерное распределение заряда характеризуется плотностью р(г), не зависящей от юордвнаты з. Если р(г) эЬ 0 в ограниченной области Я плоскости кд, то можно разложить потенциал ~р вне распределения зарядов по мультипслям (двумерные мультиполи). Найти это разложение, Указания. Ислользоепь результат задачи 73 в принцип суперпозиция, а также сов Йу разложение [п(1+ из — 2и сов ~р) = — 2 2 и", )и[ ( 1 (см.
[90[, 1.514). [е 106. Разложить по двумерным мультиполям потенциал у электрического поля линейного заряда эс. Заряженная линия параллельна оси з и проходит через точку (го, сзо) плосюсти хд. 107. Найти потенциал у электрического поля на большом расстоянии от двух близких параллельных линейных зарядов эе и — м, расположенных на расстоянии а друг от друга (двумерный диполь). 101. Используя результаты задачи 94 и учитывая, что квадрупольный момент является тензором 11 ранга, найти поле у на большом расстоянии от линейного квадруполя, направление оси которого определяется полярнымн углами у, ф. Каким еще способом можно решить задачу? Глава П 108.
На диске радиуса В имеется двойной электрический слой мощностью т = сопвз. Найти потенциал 1а и напряженность Е электрического поля на оси симметрии, перпендикулярной плоскости диска. 109. Найти напряженность Е электрического поля двойного электрического слоя мощностью т = попас, занимающего полуплоскосп р = О, к > О. Сравнить с магнитным полем бесконечного прямолинейного тока, текущего вдоль оси д.
Решить задачу двумя способами: а) прямым суммированием напряженностей, создаваемых малыми элементами двойного слоя; б) определив сначала электростатический потенциал ~р. 110. Найти уравнения силовых линий системы двух точечных зарядов: заряда +д, находящегося в точке в = а, и заряда Щ находящегося в точке л = — а; начертить силовые линии. Имеются ли в поле точки равновесия? Уклэлник.
Вследствие симметрии силовые ликии рвсполагвкпся в плоскостях а = сопвц а Е, и Е„ ие зависят от а (цилиидрические координаты). Переменные в дифференциальном уравиеиии силовых ливий (11.14) разделяются после замены: к+а и =— 111. Используя результаты предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий точечного дипола в начале координат. 112. Найти уравнение силовых линий линейного квадруполя (см. задачу 94а) и нарисовать примерную картину силовых линий.
113. Доказкзь, что поток напряженности электрического поля точечного заряда д через поверхность Я равен дй. Здесь П вЂ” телесный угол, под которым виден контур поверхности Я из точки, где находится заряд 9 (П ) О, если из этой точки видна отрицательная сторона поверхности).
114. Заряд дз находится на оси симметрии круглого диска радиуса а на расстоянии а от плоскости диска. Какой величины дз заряд нужно поместить в симметричную относительно диска точку, чтобы поток электрического поля через диск в сторону заряда дг был равен Ф? 115в. Найти уравнение силовых линий системы и коллинеарных зарядов 9м 9з,..., Фв Расположенных в точках лм лз,..., л„осн л, не интегРиРУЯ дифференциальных уравнений силовых линий.
Применить теорему, доказанную в задаче 113 к силовой трубке, образованной вращением силовой линии вокруг оси симметрии. 116. Используя результат предыдущей задачи, найти уравнение силовых линий системы двух точечных зарядов (ср, с задачей 110) и линейного квадруполя (ср. с задачей 112). Постоянное электрическое ноле в вакууме 117. Равномерно заряженные нити, несущие заряды эс1 и — эсз на единицу длины, параллельны между собой и отстоят друг от друга на расстояние /э. Найти, при каком соотношении между эсэ и эсз в числе поверхностей равного потенциала этой системы будут круговые цилиндры конечного радиуса. Определить радиусы и положение осей цилиндров.
118. Точечные заряды оэ и — ~)з находятся на расстоянии 6 друг от друга. Показать, что в числе поверхностей равного потенциала этой системы имеется сфера конечного радиуса. Определить координаты ее центра и радиус. Найти значение потенциала у на поверхности этой сферы„если у(со) = О. 119. Каким распределением зарядов создается потенциал, имеющий в сферических координатах внд: фг) = ое '/г, где сч, й — постоянные. 120. Каким должно быть распределение зарядов, чшбы созданный им потенциал имел в сферических координатах вид ~р(г) = — е ~- + 1), еа -з /а/а где еа, а — постоянные. 121.
Найти энергию взаимодействия 1/ электронного облака с ядром в атоме водорода. Заряд электрона распределен в атоме с объемной плотностью р(г) = — еа,е /, где еа — элементарный заряд (ср. с задачей 83), ка а — постоянная (боровский радиус атома). 122. В некотором приближении можно считать, что электронные облака обоих электронов в атоме гелия имеют одинаковый вид и характери8еа -4к/а зуются обьемной плотностью р = — — е, где а — боровский радиус яо атома, еа — элементарный заряд. Найти энергию взаимодействия (/ электронов в атоме гелия в этом приближении (нулевое приближение теории возмущений). 123. Центры двух шаров с зарядами дз и дз находятся на расспании а друг от друга (а ) Вэ + /1з, где Вм Вз — радиусы шаров).
Заряды распределены сферически симметричным образом. Найти энергию взаимодействия (/ шаров и действующую между ними силу Г. 124. Мыльный пузырь, висящий на открьпой трубке, стяпшается под действием поверхностного натяжения (коэффициент поверхностного натяжения а). Считая, что диэлектрическая прочность воздуха (напряженность пола„при которой происходит пробой) равна Еа, выяснить, можно ли сильно заряжая пузырь предотвратить его сжатие. Каков минимальный равновесный радиус Я пузыря? г а?г 125". Два параллельных коаксиальных тонких кольца с радиусами а н 6 несут на себе равномерно распределенные заряды ог и оз. Расстояние между плоскостями колец с. Найти энергию взаимодействия П колец и действующую между ними силу Г.
126. Найти силу Р и вращательный момент Х, приложенные к электрическому диполю с моментом р в поле точечного заряда д. 127. Диполь с моментом рг находится в начале координат, а другой диполь с моментом рз — в точке с радиусом-вектором г. Найти энергию взаимодействия Н этих днполей и действующую между ними силу Г. При какой ориентации диполей эта сила максимальна? 128. Система зарядов характеризуется обьемной плотностью р(г) и занимает ограниченную область в окрестности некоторой точки О. Система помещена во внешнее электрическое поле, которое в окрестности этой точки может быть представлено в виде 1зг(г) = ~~ь г аь ~гг[ (б,ы). Найти энергию взаимодействия системы (? с внешним полем уг, выразив ее через а~ и мультипольные моменты ф системы (ср.
с задачей 166*). ЛИТЕРАТУРА Тамм И. Е. [10Ц, Абрагам — Беккер [Ц, Джексон Дж. [52], Френкель Я. И. [11Ц, Стрэтгон Дж. А. [100], Смайт В. [93], Гуревич Л. Э. [49], Пановский В., Филипс М. [86]. ~ ЛАВА Ш ЭЛЕКТРОСТАТИКАПРОВОДНИКОВ ИДИЭЛЕКТРИКОВ 91. Основные понятия и методы электростатики Е~ Й = О, ! гойЕ = О, (П1.1) с)1тО = 4тр, П„6$ = 4еу, Я где р — плотность свободных зарядов в диэлектрике, о — полный свободный заряд, заключенный внутри поверхности Я. Плотность связанных зарядов в диэлектрике можно выразить через вектор поляризации Р (электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика, создаваемый связанными зарядами): р,. = - 41т Р.
(1П.2) Вектор поляризации Р выражается через Е и 1з: 1Э = Е+4яР. (1П.З) Для изотропных диэлектриков в достаточно слабых полях 1Э =еЕ, (П!.4) где е — диэлектрическая проницаемость среды. В анизотропных диэлектри- ках е — тензор П ранга, т.е. 2«з = азволь~ (1П.5) Электростатическое поле в диэлектрике харакгергпуется вектором напряженности электрического поля Е и вектором электрической индукции П, которые удовлетворяют уравнениям: Глава Ш (суммирование по й). Для описания поли удобно пользоваться скалярной величиной — потенциалом йх га Б = — бгабяз, яз(г) = Е г(г, г (П1.6) где г — радиус-вектор точки наблюдения, яз(ге) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
