В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Во втором издании мы исправили замеченные ошибки, опечатки и неточности, а также дополнили ивгу новым материалом. Введены новые разделы: сверхпроводимость, когерентность и интерференция (включая вопросы голографии), дифракция рентгеновых лучей, элементы физики плазмы. Существенно дополнены гл.
1Х вЂ” новыми задачами о резонаторах, в том числе открытых, гл. Х вЂ” новыми задачами на преобразования Лоренца, гл. Х1— рассмотрением кинематики трехчастичных распадов и двухчастичных реакций. Кроме того, мы перешли в этом издании на неэвклидову чепярехмерную метрику, получающую все большее распространение в физической литературе. Мы благодарны всем товарищам, чья помощь и поддержка способствовали выходу в свет второго издания книги, чьи замечания помогли улучшить ее содержание. Особенно мы признательны проф, И.М.Шмушкевичу за ценные советы, касающиеся содержания пь Х, Х1, и просмотр рукописи этих глав, проф.
Я.А. Смородинскому за поддержку и советы по содержанию книги в целом и проф. А.3. Долгинову за просмотр материалов гл. Х1т'. 1969 г. В. Батыгин, И. Топтыгин ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Настоящий сборник задач рассчитан в основном на студентов-физиков и составлен с учетом существующих программ по электродинамике. Он может быть использован в качестве учебного пособия на инженерно- физических факультетах втузов, на физических факультетах университетов и педвузов, а также на радиотехнических и других факультетах, на которых изучается теория электромагнитного поля. Часть задач, включенных в сборник, может быть полезной и для лиц, занимающихся более углубленным изучением вопросов электродинамики. Кроме задач, иллюстрирующих основные понятия н законы электродинамики, которые решаются простыми математическими методами, в сборник включено значительное количеспю более сложных задач (этн запачи отмечены звездочкой).
Некоторые из них требуют трудоемких вычислений, в других рассматриваются вопросы теоретического характера, обычно выпадающие из лекционного курса (распространение волн в анизотропных и гиротропных средах, движение заряженных частиц в электромапппном поле, представление электромагнитного поля в виде набора осцилляторов и др.). Наконец, имеются задачи, в юторых разбирается материал, мало отраженный в существующей учебной литературе: взаимодействие заряженных частиц с веществом (гл. ХП1), применение законов сохранении к анализу процессов столкновений н распада частиц (б 1 гл. Х1), ферромагнитный резонанс (Э 3 гл.
г'1) и др. В разделе «Ответы и решения» приведены отвепя на большинство задач; многие задачи снабжены решениями. В начале каждого параграфа дается кратюе теоретическое введение и приводятся необходимые формулы. Излагаемые сведения не претендуют на полноту; более полное освещение соответствующих вопросов читатель найдет в литературе, указанной в конце каждой главы. В книге всюду используется гауссова абсолкпная система единиц, так как она наиболее часто употребляется в физической литературе. Обозначения применяются общепринятые. К сожалению, не всегда удавалось избежать применения для разных величин одинаковых символов, и наоборот.
Однако это не может привести к недоразумениям, так как в теоретических введениях указываются обозначения, используемые в соответствующих главах или параграфах. Оз предисловия к первому издаюио В математических приложениях к сборнику приведены основные данные о дельта-функции, цилиндрических и сферических функциях, необходимые для решения задач. При подготовке книги использовался опыт преподавания электродинамики на физико-механическом и радиотехническом факультетах Ленинградсюго Политехиичесюго института.
Значительная часть приведенных задач решалась студентами третьего и четвертого курсов на практических занятиях, при выполнении юнтрольных работ, в качестве заданий повышенной трудности, на зачетах н экзаменах. При составлении сборника были использованы курсы Л.Д.Ландау и Е.М. Лифшица, И.Е. Тамма, Я.И.
Френкеля, Абрагама и Беккера, В. Смайта, Дж. А. Стрэттона и др., а также многие монографии, обзорные н оригинальные статьи. Ряд полезных задач, содержащихся в этих руководствах, включен в сборник. 1961 г. ЗАДАЧИ ГЛАВА 1 ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 9 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров Скаляром (инвариантом) в трехмерном пространстве называется величина, которая не изменяет своего значения при поворотах координатной системы.
Вектором в трехмерном пространстве называется совокупность трех величин, преобразующихся при поворотах системы координат по формулам з А'; = ~ ~сия.4ь. (1.1) ь=з Здесь 4ь — проекции вектора на оси исходной, а А', — на оси повернутой системы координат; оиь — коэффициенты преобразования, представляющие собою косинусы углов между Й-й осью исходной и 1-й осью повернутой системы координат. В дальнейшем мы воспользуемся следующим правилом суммирования, принятым в тензорном анализе: будем опускать знак суммы, подразумевая суммирование во всех тех случаях, когда в данном выражении встречаются два одинаковых индекса. В соответствии с этим правилом, равенства (1.1) зашппутся так: Тензором 11 ранга в трехмерном пространстве называется девятикомпонентная величина Тоь (1, к = 1,2,3), преобразующаяся при поворотах координатной системы следующим образом: Т,'~ — — аиа~ Т~ (1.2) (сумма по 1, ш). Аналогично тензор я-го ранга в пространстве трех измерений определяется законом преобразования: / Т;и „вЂ” — пи Оьь О,т Т;ьк..., (1.3) В этом равенстве величины Т имеют по я индексов.
14 1лаеа 1 Величины, преобразующиеся как вектор при поворотах координатной системы, могут двояэв вести себя при инверсии системы координат (преобразование я' = — щ, р' = — р, л' = — л). Те векторы, компоненты~ которых при инверсии координат меняют знак, называются полярными векторами, или просто векторами. Векторы, компоненты которых не меняют знака при инверсии системы ыюрдинат, называются псевдовекторами, или аксиальными векторами. Примером аксиалъного вектора может служить векторное произведение двух полярных векторов. Аналогично тензор л-го ранга называется просто тензором, если его компоненты преобразуются прн инверсии как произведения л координат, т.е. умножаются на ( — 1)', и псевдотензором, ЕСЛИ ЕГО КОМПОНЕНТЫ уМНОжаЮтея На ( — 1)ет 1.
Таблица коэффициентов преобразования /СЛ11 Сттз а13 1 ст = ст21 1122 ст23 ст31 щ32 ст33 (1.4) называется матрицей преобразования. Определитель, элементы которого совпадают с элементами некоторой матрицы, называется определителем этой матрицы: а11 а12 сттз (О! = ст21 ст22 ст23 (1.5) стз1 стзз стзз Суммой двух матриц а + 12 называется такая матрица у, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц-слагаемых: щ, = ать+ Д».
(1.6) Произведением двух матриц а)У называется такая матрица у, элементы матерой получаются из элементов перемножаемых матРиц ам и 171ь по правилу: (1.7) 1=010 (1.8) ' Мы не делаем ратличил между Ювариантными и аОнтравариантными апмпОнентами веаторов и тенэоров (см., например, П 07]), таи авл оно несущественно лла вопросов, рассматриваемых в этой книге. (суммирование по 1). Матрица 7 описывает тапсе преобразование, которое получается при последовательном выполнении преобразования сначала с матрицей Д а затем с матрицей й.
Единичной матрицей называется матрица вида 1 1. Венснорная и нсензорная алгебра 15 Она описывает тождественное преобразование (А', = А;). Элементы еди- ничной матрицы обозначаются символом бм: 1 при (=й, О при ( ф сг. (1.9) Матрица вида В= О гсз О (1.10) называется диагональной матрнцей. Если элементы матрицы удовлепюряют условиям сзсьсзст = бы с (1.11) то она называется ортогональной. Матрица Й ~, удовлетворяющая условиям сз= 1, (1.12) называется обратной матрице В. Она описывает обратное преобразование„ т.е.
если А, '= сзсьАы то Аь = сзь) А',. Матрица гс, которая получается из сз заменой строк на столбцы, называется транспонированной: (гсы сззг гсзз'~ гс = ~сзгз гсзз гсзз~, гссь =гсы. гс1з гсзз гсзз (1.13) 1. Два направления и и и' определяются в сферичессюй системе координат углами д, гс и д', гсс. Найти косинус угла б между ними.
2. Доказать тождества: а) (А х В) ° (С х П) = (А ° С)(В ° П) — (А ° П)(В ° С); б) (А х В) х (С х П) = [А (В х П)]С вЂ” [А . (В х С)]П = = [А (С х П)] — [В ° (С х П)]А. 3. Во всех декартовых системах координат задана совокупность трех величин а, (1 = 1, 2, 3) и известно, что а;Ь; = шт относительно поворотов и отражений. Доказать, что если Ьг — произвольный вектор (псевдовектор), то а; — также вектор (псевдовектор).
16 Глава 1 4. Доказать, что если а; = ТгьЬв в каждой системе координат и Т,ь— тензор П ранга, а Ьь — вектор, то а, — тоже вектор. 5. Доказать, что — есть тензор П ранга. да» дхл б. Доказать, что если Тц, — тензор П ранга и Рд, — псеккотензор П ранга, то Тц, Рд, — псеалоскаляр. 7. Показать, что симметрия тензора есть свойство, инвариантное относительно вращении, т. е. тензор, симметричный (аитисиммстричиый) в некоторой системе отсчета, остается симметричным (антисимметричвым) и во всех системах, повернутых относительно исходной.
8. Показать, что если тензор Явь — симметричный, а тензор Ац,— антисимметричный, то А;ьдвь = О. 9. Доказать, что сумма диагональных компонент тензора П ранга является инвариантом. 10в. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора а„а„, а, рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами а~2 = ~ — (а ш и ), ас = а,. Выразить скалярное 1 и векторное произведениа двух векторов через их циклические компоненты. Выразить также циклические компоненты радиуса-вектора через шаровые функции' Лежандра. 11в.
Найти компоненты тензора е,ь~, обратного тензору еоь Рассмотреть, в частности, случай, когда явь является симметричным тензором, заданным в главных осях. 12. Пусть во всех координатных системах компоненты вектора а линейно выражаются через компоненты вектора Ь: а; = ееьЬь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
