В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Потенциал удовлетворяет уравнению б1у(е 8таб яз) = — 4тр, (1П.7) которое в тех областях, где диэлектрик однороден, сводится к уравнению Пуассона 1~р=- —. 4тр (1П.8) На поверхностях раздела сред с разными диэлектрическими проницаемостями должны выполняться граничные условия' Езт = Езт, Рзп — Рзп = 41ге (1П.9) др, дя, У1 'Р2з е1 — ез — = 41ГО'. дй дй (1П.10) Орт нормали и проведен из первой среды во вторую; т — орт, касательный к поверхности, О. — поверхностная плотность сжзбодных зарядов. Поверх- ностная плотность связанных зарядов сг„на границах раздела определяется формулой Осв — Рзп Р2п ° (1П.11) ' Граничные условна в форме (Ш.Я) имеют место как в изотропных, так и в анизотропных аренах.
Основная задача электростатики — нахождение потенциала яз электрического поля. Она может быть решена разными методами. Основным методом является решение дифференциальных уравнений (П!.7) или (1П.8) с граничными условнами (Ш.9) или (П1.10). Иногда удаетса подобрать такую систему фиктивных точечных зарядов, поле которой в рассматриваемой области удовлепюряет как дифференциальному уравнению, так и граничным условиам (метод изображений). В раде случаев удается найти систему изображений простым подбором (см., например, далее, задачи 142, 146, 153е, 155). 43 $ Е Осноенте нонятия и монады эяектростатики Если некоторая область пространства занята диэлектриком с проницаемостью е, и известно электростатическое поле во всем пространстве, то при е -+ оо это поле принимает такой же вид, каюй оно имело бы, если бы данная область была занята проводником. Задача об определении электрического поля, создаваемого заданной ограниченной системой заряженных проводников, находящихся в диэлектрике, имеет единственное решение, если известен либо полный заряд каждого проводника, либо его потенциал.
В первом ю этих случаев, наряду с условиями (111.12) нужно использовать граничное условие а= ада= — — Уе — НЯ, 1гбд 47 О (ВЕ13) где д — заряд проводника, а интеграл берется по поверхности проводника. Емкостью С конденсатора называется отношение заряда на одной ю его обкладок (первой) к разности потенциалов между обкладками: С= Я уг — ~ог (111.14) Емюстью уединенного проводника называется отношение заряда проводника к его потенциалу (при этом нужно считать, что потенциая у = О на бесконечности). Энергия электростатического поля, локализованная в обьеме У, выражается интегралом по этому объему: И' = щей~, (1П.15) где ш = 13 ° Е/8я — плотность энергии поля. Энергия Иг электростатичесюго поля зависит от обобщенных юординат а, характеризующих взаимное расположение заряженных тел.
Соответствующие обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены как производные по координатам а от энергии Иг: Внутри проводниюв, находящихся в поспжнном электрическом поле, Е = О. Поэтому граничные условия на поверхности проводника имеют вид: Е,=О, у=сопзФ. (111.12) Г аж При поспанных зарядах д проводников следует пользоваться первым нз этих выражений, при постоянных потенциалах У вЂ” вторым.
Если в вэотропной диэлектрической среде с проницаемостью гг имелось сначала электрическое поле Еы в которое затем было внесено диэлектрическое тело (обьем тела У, диэлектрическая проницаемость аг), то энергия электростатического поля меняется на величину (7 = — / (ег — ег)Ег Ег НУ, 1 г 8я „/ (П1.16) где Ег — электрическое поле после внесения диэлектрического тела (источники поля Ег при этом поддерживаются неизменными). Величину (7 можно рассматривать как энергию взаимодействия диэлектрического тела с внешним полем Е1 (см. 176], стр. 108). Если диэлектрик изотропен и его диэлектрическая проницаемость зависит только от плотности массы т, то электрическое поле действует на диэлектрик с силой, обьемная плотность которой выражается формулой 1 = рŠ— — Е 8гвба+ — йгаг)( Š— т). 1 г 1 г гг(е ~ 8я 8я ~ г(т ) (П1.17) Обьемные силы, действующие на свободные и связанные заряды в вектором объеме У, могут быль заменены эквивалентной системой поверхностных натяжений, приложенных к поверхности Я этого объема: Р= Гг(У= Т гБ, (1П.18) (Ти ) г — Тгь жь1 Т;ь = — Е;Еь — — Е ~а — — т)бш е 1 гГ де 4я ' 8я ~ дт)'' (Ш.19) Член в (Ш.17) и (П1.19), содержащий фт (стрикционный член), вообще говоря, не мал.
Однако при вычислении равнодействующей сил, приложенных к диэлектрическому телу, этот член не дает вклада и может быль где 'Ä— поверхностная сила, приложенная к единичной площадке с внешней нормалью и. Поверхностные натяжении описываются тензором натяжений Тш. Величина 'Г„в (Ш.18) представляет собой проекцию Т;ь на направление внешней нормали и к элементу гБ: 45 $ й Осноенте нонятия и монады эеетнростатияи отброшен (см., например, (77], з 34 и задачи 140, 141). В этом случае можно вместо тензора натяжений (1П.19) использовать более простой (максвелловский) тензор Т'„= е (Ен — — пЕ~).
(Ш.го) К единице поверхности проводника в электростатическом поле приложена сила пов и (П1.21) В диэлектрической жидюсти, находящейся в равновесии в электрическом поле, электрические напокения уравновешиваются гидростатнческим давлением. Обозначив через р(т) давление в хащкости — оно определяется значением ее плотности т — получим условие равновесия: рп+ Ти = сопаС. (1П.22) В частности, вблизи границы жидкости с атмосферой (е = 1) давление в жидкости р(т) больше, чем атмосферное давление, на величину р() — р = — — — — И +Е) тЕз де е — 1 з з "" 8я д 8 (П!.23) где Š— напряженность электрического поля в жидкости (ń— нормальная, Ег — касательная составляющие Е. Уравнением (Ш.23) определяется зависимость плотности жидкости вблизи ее поверхности от напряженности электрнчесюго поля.
Давление внутри жидкости (газа) выражается формулой Р пр Ез де(р) ш т(р)— др (П1.24) (ро — давление при Е = О), Если жидюсть несжимаема, то тЕз де р — ро = —— 8я дт' (1П.25) 129. Точечный заряд д расположен на плоской границе раздела двух однородных бесконечных диэлектриков с проюпжемостями ег и ез. Найти потенциал ~р напряженность Е и индукцию 13 электрического поля.
130. От некоторой прямой, на которой находится точечный заряд о, расходятся веерообразно три полуплоскосги, образующие трн двугранных угла аы аз, аз (п~ + па + ыз = 2я). Пространспю внутри каждого из утлов заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью соответственно еы ез, ез Определить потенциал ~р, напряженность Е и ннлукцшо 11 электрического поля. 131.
Центр проводящего шара радиуса а, заряд которого о, находится на плоской границе раздела двух бесконечных однородных диэлектриков с проницаемостями аз иез. Найти потенциал у электрического поля, а также распределение заряда о. на шаре. 132. Пространство между обкладками сферического конденсатора частично заполнено диэлектриком, расположенным внутри телесного угла Й с вершиной в центре обкладок. Радиусы обкладок а и Ь, проницаемость диэлектрика о. Найти емкость С конденсатора.
133. Внутри сферического кшщенсатора с радиусами обклалок а и Ь диэлектрическая проницаемость меняется по закону аз=сопае при а<г<с, е(г) = ез = сопяе при с (~ г (~ Ь~ где а < с < Ь. Найти емкость С конденсатора, распределение связанных зарядов о„ и полный связанный заряд в диэлектрике. 134. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и Ь заполнен диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстоания до центра г по заюну е(т) = еоаз/гз. Показать, что емкость такого конденсатора равна емкости плоского конденсатора, заполненного однородным диэлектриком с проницаемостью ео, у которого плошадь обкладки 4лаз, расстояние между обкладками Ь вЂ” а (краевым эффектом пренебречь).
135. Плоский конденсатор заполнен диэлектриком, проницаемость которого изменяется по закону е = ео(х + а)/а, где а — расстояние между обкладками, ось х направлена перпендикулярно обкладкам, площадь которых Я. Пренебрегая краевым эффектом, найти емкость С такого конденсатора и распределение в нем связанных зарядов, если к обкладкам приложена разность потенциалов Ь'. 136. а) С какой силой /о на единицу площади притягиваются друг к другу в вакууме обкладки плоского конденсатора, если расстояние между ними а, разность потенциалов Ъ', б) какое новое значение У примет эта сила, если зарюкенный конденсатор отделить от батареи, а потом либо наполнить 1 1.
Осиоеиые полития и маиоды зеектростатиии 47 его жидким диэлектриком с проницаемостью е, либо вставить в него плитку из твердого диэлектрика с тем же е, толщина которой чуть-чуть меньше а, так что она не касается обкладок; в) какова будет сила 2' притяжения обющдок, если сначала либо залить юнденсатор жидким диэлектриюм, либо вставить в него плитку из диэлектрика, а потом зарядить? 137. Обкладки плоского конденсатора находятся на расстоянии Ь| 1вэуг от друга и имеют форму прямоугольников со сторонами а и Ь. Между пластинами параллельно им помещена плитка ю диэлектрика е, имеющая форму параллелепипеда с толщиной )ьз и основанием а х Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
