В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 5
Текст из файла (страница 5)
7 Сферические координаты. Используем разложение ~г — г'~ ', приведенное в приложении 2 (П 2.15). Подставляя зто разложение в (П.7), получим при г > г'. оо « т, 'С, ( 4 ьоан ЬнФ ) ')«' 21+ 1 «=0 т=-« где Я« — мультипольный момент порядка 1, т; )«21+1 у Если г' > г, то в (П11, 15) г и г' меняются местами и оо « «р(г) = ~) 1~ — йи г~я,'т)'«(«у, с«) (г ( г'), «=0 1н=-« (П.11) (П.12) зг Гяава П (11.15) Ь, (, Ьз сй7з 6з 47з Ез Ез Ез (П.14) где Ь; — коэффициенты Ламэ; эквипотенцнальные поверхности описываются уравнением р(г) = сопаФ. Точками равновесия поля называются такие точки, находящиеся на конечном расстоянии от системы зарядов, в которых Е = О.
Энергия электростатического поля может быть вычислена по одной из формул: И'= — ~ Езгй/, И'= — ( Р~ргй' В~г( ' 2/ (11.15) (зти формулы эквивалентны, если заряды сосредоточены в конечной области пространства, а интегрирование распространяется на все пространство). Энергия взаимодействия двух систем зарядов 1 и 2 определяется выражениями: 7 Рг(гз)Рг(гз) г(1'закз У = 1 Рг(г)рз(г)гПГ= 1 (гз — гз( (П.16) Обобщенные пондеромоторные силы могут быть получены дифференциро- ванием У или И' по соответствующим обобщенным координатам а;: Р; = — — или Гг = — —. дУ дй' да; да; (11.17) Если точка наблкпения г находится внутри распределения зарядов (см.
рис. 7), то нужно разбить область интегрирования в (П.7) на две части сферой радиуса т с центром в полюсе О. При интегрировании по области внутри сферы нужно пользоваться разложением (П 2.15), при интегрировании по внешней области — формулой (П2.15) с заменой г г'. Реальные системы зарядов всегда ограничены, и их потенциал убывает на больших расстояниях не медленнее, чем 1/т. Но при рассмотрении поля вблизи средней части длинного цилиндра илн ограниченного плоского тела целесообразно идеализировать задачу, считая тело бесконечным. При этом потенциал не убывает на бесконечности, но он правильно описывает поле на расстояниях, малых по сравнению с размером тела.
Наглядное представление о структуре поля дают силовые линии и экввпстенциальные поверхности. Силовые линии определяются из системы дифференциальных уравнений, которая в произвольных ортогональных координатах яг яз дз имеет внд Зз Постоянное электрическое тие в вакууме Обобщенная сила положительна, если она стремится увеличить соответ- ствующую координату. 69. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена по объему с плотностью р. Найти потенциал у и напряженность Е электрического пола.
70. Заряд распределен в пространстве по периодическому закону р = = ро соа сэх соз,бу соа уя, образуя бесконечную пространственную периодическую решепсу. Найти потенциал чэ электрического поля. 71. Плоскость з = 0 заряжена с плотностью, меняющейса по периодическому закону сг = ао ашах а1п;Зр, где ао, и, )3 — постоянные. Найти потенциал у этой системы зарядов. 72. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиуса В равномерно заражен по обьему или по поверхности так, что на единицу его длины приходится заряд м. Найти потенциал чэ и вптряженность электрического поля Е. 73. Найти потенциал у и напряженность Е электрического поля равномерно заряженной прямолинейной бесконечной нити.
74. Найти потенциал ~о и напряженность Е электрического поля равномерно заряженного прямолинейного отрезка длиной 2а, занимающего часть оси я от — а до +а; заряд отрезка д. 75. Найти форму зквнпотенциальных поверхностей равномерно заряженного отрезка, рассмотренного в предыдущей задаче. 76. Найти потенциал чэ и напряженность Е электрического поля шара, равномерно заряженного по обьему.
Радиус шара В, заряд д. 77. Найти потенциал у и напряженность Е электрического поля сферы радиуса В, равномерно заряженной по поверхности. Заряд сферы д. 78. Внутри шара радиуса В, равномерно заряженного по обьему с плотностью р, имеется незаряженная шарообразная полость, радиус которой Вм а центр отстоит от центра шара на расстоянии а (а + Вг < В). Найти электрическое поле Е в полости. 79. Пространспю между двумя концентрическими сферамн, радиусы которых Вэ и Вз (Вэ < Вз), заряжено с объемной плотностью р = ~. гэ" Найти полный заряд д, потенциал ~р и напряженность Е электрического поля.
Рассмотреть предельный случай Вз — Вы считая при этом ц = солап Глава П 88. Найти энергию электростатического поля И" для распределений заряда, указанных в задачах 76, 77, 79. Провести вычисления двумя способами (см. (П.15)). 81. Заряд распределен сферически симметричным образом: р = р(г). Разбив распределение заряда на сферические слои, выразить через р(г) потенциал р и напряженность Е поля (записать 1в и Е в виде однократного интеграла по г). 82. Используя результаты задачи 81, решить задачи 76 и 79. 83.
Заряд электрона распределен в атоме водорода, находящемся в нормальном состоянии, с плотностью р(г) = — — се ', а = 0,529 ° 10 а см— л.а боровский радиус атома, ео = 4,80. 10 'ОСОБŠ— элементарный заряд. Найти потенциал 1а, и напряженность Е,„электричесюго поля электронного заряда, а также полные потенциал 1а и напряженность поля Е в атоме, считая, что протонный заряд сосредоточен в начале юординат. Построить приблизительный ход величин ш и Е. Указания.
Полезно воспользоваться методом решения задачи 8!. 84. Рассматривая атомное ядро как равномерно заряженный шар, найти максимальное значение напряженности его электрического поля Е 1 Радиус ядра В = 1,6 ° 10 гзА см, заряд Яео (А — атомный вес, 8'— порлдювый номер, ео — элементарный заряд). 85. Используя результат задачи 81, решить задачу 77. 86. Плосюсти двух тонких юаксиальных равномерно заряженных юлец одинакового радиуса В находятся на расстоянии а друг от друга. Работа, которую надо соверпппь, чтобы перенести точечный заряд 9 из бесконечности в центр каждого из юлец, равна соответственно Аз и Аз.
Найти заряды на кольцах дз и дз. 87. Найти потенциал ~р и напряженность Е электрического поля на осн равномерно заряженного круглого тонкого диска радиуса Я; заряд диска д. Убеднпся в том, что на поверхности диска нормальная составляющая Е испытывает скачок 4кп. Рассмотреть поле на больших расстояниях от дис- 88. Тонкое круглое юльцо радиуса В состоит из двух равномерно и противоположно заряженных полуколец с зарядами д и — д. Найти потенциал 1а и напряженность Е электрического поля на оси кольца и вблизи нее. Каков характер поля на больших расстояниях от кольца? 35 Постоянное электрическое лаке е вакууме 89.
Выразить потенциал д равномерно заряженного круглого тонкого юльца с зарядом д и радиусом Я через полный эллиптический интеграл первого рода к/2 Уклзлиив. При выполнении интегрирования по азимуту сделать замену о' = = тт — 2,3. 96. Получить из общей формулы, описывающей потенциал тонкого круглого юльца (см. задачу 89), потенциал ~р электричесюго поля: а) на оси кольца; б) на больших расстояниях от юльца; в) вблизи нити юльца.
Уклзлннв. Длл случел в) воспользоваться формулами 8.113 в справочнике (90). 91. Сфера радиуса В заряжена по поверхности по заюну тт = ао сов д. Найти потенциал 1о электрического поля, используя разложение по мульти- полям в сферических координатах. 92. Источники электрического поля расположены аксиально симметричным образом. Вблизи оси симметрии системы источники пола отсутствуют. Выразить потенциал у и напряженность Е электричесюго поля вблизи оси симметрии через значения потенциала чэ и его производных на этой оси. 93. Найти потенциал тр электрического поля равномерно заряженного круглого тонюго кольца, используя разложение по мультиполям в сферических юординатах.
Заряд кольца 9, радиуса В. 94. Найти потенциал р электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) заряды д, — 2д, о расположены по оси л на расстоянии а друг от друга (линейный квалруполь); б) заряды х9 расположены в вершинах квадрата со стороной а так, что соседние заряды имеют разные знаки, причем в начале координат находится заряд +д, а стороны квадрата параллельны осям х и д (плоский квадруполь). 95. Найти потенциал тр электрического поля на больших расстояниях от следующих систем зарядов: а) линейный октуполь (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
