В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сиецивльиые методы мектроетлтики В этом параграфе содержатся задачи, относящиеся к различным разделам злектростатики, более трудные в математическом отношении. Многочисленные методы решения задач электростатики изложены в ряде книг (146), 166), (69], (93), [100)) в настоящем сборнике иллюстрируются лишь некоторые из этих методов: метод криволинейных координат (для случаев эллиптических поверхностей и поверхностей двух сфер)„методы изображений, интегральных преобразований и инверсии. Схема их применения разъясняется непосредственно в решениях задач (более подробно, например, в задачах 193в, 195в, 205в„209в, 211в, 215в). Изложим здесь кратко только метод инверсии.
Преобразованием инверсии называется такое преобразование пространства, при котором каждая точка его переходит в точку, сопрюкенную относительно некоторой, надлежащим образом выбранной сферы инверсии радиуса Л. Если сферическими координатами (с началом в центре сферы 57 $ 3. Специальные методы элеюиросттиипи инверсии) первоначальной точки являются г, д, гл, то сферическими координатами инвертированной точки будут г' = ль21'г, д, лл. В векторной форме / )12г 112г' г = — нли г= —.
(Пйзг) .2 ./2 Преобразование инверсии обладает свойспюм конформности. При инверсии сфера преобразуется в сферу. Если, в частности, центр инверсии лежит на преобразуемой сфере, то последняя преобразуется в плоскость (и наоборот). Уравнение Лапласа инвариантно относительно преобразования инверсии: если функция 22(г) является решением уравнения Лапласа в исходном пространстве, то у'(г ) = — 22(г) = — ~о( — г') лс Г' ~ Г'2 представляет собой решение уравнения Лапласа в инвертированном пространстве. Основная задача, решаемая методом инверсии, формулируется так.
Нужно найти поле системы заземленных проводников и точечных зарядов оь находящихся в точках гь Потенциал на бесконечности У = сопап Для решения задачи произведем инверсию с таким расчетом, чтобы поверхности проводников приобрели более простую форму. При этом точечные заряды ал заменяются зарядами В %=гол л (1П.34) находжцимися в точках гл = ггз — '. Л 2' л Кроме того, в точке г' = 0 появляется точечный заряд (П1.35) В инвертированной системе решаем электростатическую задачу — находим потенциал у'(г'). Потенциал у(г) можно затем получить с помощью обратного преобразования. Разумеется, можно и наоборот — по известному 22 находить ьо'.
193*. Проводящий эллипсоид с зарядом д н полуосями а, б, с помещен в однородный диэлектрик с проницаемостью е. Найти потенциал ьо, а также емкость эллнпсоида С и поверхностную плотность заряда с на его поверхности. Г пж 58 УкАЗАнии Воспользоваться зллипсоидальными координатами (см. задачу 64*). Искать потенциал в виде Щ). 194. Исходя из результатов предыдущей задачи найти потенциалы и емкости вытянутого и сплюснутого эллипсоилов вращения.
Рассмотреть частные случаи тонкого длинного стержнв и тонкого диска. Емкость С и потенциал чз вьпянугого эллипсоида вращения найти также„используя результат задачи 75. 195е. Проводящий эллипсоид с зарядом 9 находится в пустоте в однородном внешнем поле, напраженность Ео которого параллельна одной из осей эллипсоида. Найти потенциал чг полного электрического поля. УКАЗАНИЕ. Воспользоватьси эллипсоидальными мюрдинатами задачи 64'. Граничные условна на поверхности эллипсонда (б = 0) могут выполшпьсл только, если зависимость потенциала Зг', вызванного наведенными зарядами, от Ш Ь, будет такал же, как у внешнего пола: (Р' = з о(б и (') РЫ). 196.
Напряженность поля в плоском конденсаторе равна Ео. На заземленной обкладке имеется проводяпцш выступ в форме половины вытянутого эллипсоида вращения, ось симметрии которого перпендикулярна к плоскостям обющдок. Расстояние между обкладками велико по сравнению с размерами выступа. Найти электрическое поле у в конденсаторе. Определить, во сколько раз максимальное значение напряженности полл Е и превосхолит Ео.' 197. Проводящий незаряженный эллипсоид находится во внешнем однородном поле Ео, ориентированном произвольно по отношению к его осям.
Найти полное электрическое поле (с. Рассмотреть поле на больших расспаниях от эплипсоида, выразив его через коэффициенты деполяризации: (*) оос 1 ~(а (к) пос 1 4а 2 / (а+ аз)В, * 2 .( (а+ бз)В, ' о о 2,/ (~+сз)В, о 'Результат ъиьзчи полопает принцип Работы громоотвода. 59 Ь 3. Сиеишиьные методы электроаиаюили 198. Найти выражения коэффициентов деполяризации, введенных в предыдущей задаче, в случае вытянутого эллипсоида вращения (а > Ь = = с).
Рассмотреть частные случаи очень вытянутого эллнпсоида (стержня) и эллипсоида, близкого к шару. 199. Найти коэффициенты деполяризации для сплюснутого проводящего эллнпсоида (а = Ь > с). Рассмотреть, в частности, случай диска. 200*. Диэлектрический эллипсоид с полуошпии а, Ь, с находится в однородном внешнем поле с напряженностью Ео. Диэлектрическая проницаемость эллнпсоида ам а окружающего его однородного диэлектрика кз. Найти потенциал у результирующего электрического поля (воспользоваться указанием к задаче 195*). Найти напряженность Е электрического поля внутри эллнпсоида, а также потенциал еэз вне зллипсоида на больших от него расстояниях, выразив его через составляющие поляризуемости зллнпсоида по главным осям. 201.
Эллипсоид вращения с диэлектрической проницаемостью ет находится во внешнем однородном поле Ео в однородной диэлектрической среде кз. Найти энергию П эллипсоида в этом поле и приложенный к нему вращательный момент Л. Рассмотреть также случай проводящего эллипсоида вращения. 202*. Показать, что при сообщении проводящей жидкой сферической капле достаточно большого заряда капля теряет устойчивость. Найти это критическое значение заряда о„. Радиус капли гь, коэффициент поверхностного натяжения гт. Уклзлннн Сравнить энергию сферической капли с энергией деформированной капли, имеющей форму вытянутого эллипсоида вращения.
Площадь поверхности твюго эллипсоида Я = 2яЬ' + вгссов а (а > Ь = с). т/ав — Ьэ 203*. Однородное злектричесюе поле Ео й л в полупространстве л ~ О ограничено заземленной проводящей плоскоспю л = О с круговым отверстием радиуса а. Найти поле у во всем пространстве. Рассмотреть, в частности, поле на больших расстояниях за отверстием (в полупространстве л > О). Уклзлннн. Воспольэоватьсв сплюснутыми сфероидвльными мюрдинвтами (см. задачу 65ь) се= О. Искать решение во всем пространстве в виде у = — ЕовР(С).
60 Глава Ш 204. Найти распределение зарядов с на проводящей плоскости в предыдущей задаче. 205*. Внутри клиновидной области пространства, ограниченной двумя пересекающимися под углом )3 заземленными проводящими полуплоскостями ОА и ОВ, в точке Ж(го) находится точечный заряд а (рис. 11). Рлс. 11 Цилиндрические координаты заряда (го, у, О); ось л направлена вдоль ребра клина, азимугальный угол а отсчитывается от грани ОА.
Доказать, что потенциал ьс(г, сг, л) может быть записан в виде при г>го, 1„и ʄ— цилиндрические функции. д Ф Указания. Вослользоватьсл формулой (П 1.11) л приложением 3. ~рь(г,гг) =— 8с Р ьс(г, а, л) = ~рь(г, а) соа Ы г(1с, о Кдд()сто)Хнд(йг) зш — з!п — прн г ( го, Е пя ~, пяа д д Р 11 '> ~лв (Ы'о)Кддфг) зщ — з1л— пя7 п7Ггг Р 11 61 б 3. Сиециольные методы э«еевростати«н 206. Доказать, что потенциал поля точечного заряда в клиновидной области, найденный в предыдущей задаче, можно представить в виде гр(г,а,«) = о Рз(2гго лС л(а — т) сЬ вЂ” — сов В Р ь/сЪ~ — сБ г1 лС л(а+ у) Д Р 'о+' +« Указания.
Воспользоватьса формулами: СО 00 к~ю| г~ 1 Й.ж= 2 '2 о 207. Найти поле (р заряда г), находящегося вблизи проводящей полу- плоскости а = 0 в точке го с цилиндрическими координатами (го, у, « = 0). Указанин. Воспользоваться результатом задачи 206. Для вычнслення интеграла сделать подстановку сЬ вЂ” = сЬ вЂ” сЬ и, где 0 < и < оо. и 2 2 208. Найти распределение о поверхностного заряда вблизи ребра клина с двугранным углом 8 (угол отсчитывается вне проводника). Клин находится в поле произвольным образом распределенного заряда. Ух«запив. Сначала рассмотреть, случай, когда вблизи клина находятся один точечный заряд, воспользоваапнсь результпом задачи 205'", рззлакеннвмн (П3.6) н формулой ОО и К„(йр)И" спев«г(н= 2" ~/лГ(гг+ -г1 2 (р'+«')""'" 62 .тсяяия 5 Решение Блоха (5.6) представляет собой произведение обычной плоской волны ехр(1)с т) на периодическую функцию иь(г) с периодом решетки.
В целом эту функцию можно считать модулирующим множителем плоской волны. Учитывая, что р — — г б —, перепишем уравнение Шредингера (5.5) в д дг' виде Ч дь(г) + 2™'(à — Й1(г))9 я(г) = О, "у~рь(г) +)(г)дь(г) = О. (5.7) Таким образом, исходное уравнение Шредингера представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическим коэффициентом при исломой функции.
Общее решение уравнения типа (5.7) было получено еще в 1883 г. матегяатиком Флокс. Он получил решение в виде (5.6), т. е. в форме функций, которые сейчас называются одномерными функциями Блоха. Докмлтгльство. Рассмотрим доказательство теоремы в одномерном случае. Предположим, что имеется бесконечная кристаллическая цепочка, содержащая Х ионов. Реально ее можно представить в виде кольца, причем первый ион и Х-й ион совпадают. Тогда должны вгяполняться циклические граничные условия; ,рь(г +Ха) =:рь(г). (5.8) Пусть ҄— трансляционный оператор, действую1ций только на координату г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
