В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Определим его так: Т„(г) = (г+ па), (5.9) где и = О, ..., тэ'. Тогда действие этого оператора на волновую функцию, являющуюся решением уравнения (5.5), можно записап, в ниде Тв'рь(г) = рь(г+ па). (5.10) Будем искать только такие собствснныс значения оператора Т„, для которых справедливо равенство Т„~оь(г) = сь ря(г) (5.11) 63 ф— собственное значение оператора Т„. Запишем (5.11), полагая п -=.
1 и и =- Х: (с1) =-. 1, Х /' (5.14) отсюда С вЂ”.. Е'1"а ч —. (5.15) Таким образом, для произвольной трансляции па, используя (5.10), (5.11) и (5. 15), находим хрг(г — , 'ио) =. е' " хрь(г). (5.16) ЗДССЬ ЕХР(1 1гаа) ЯВЛЯЕтеа СОбетВЕННЫМ ЗНаЧЕНИЕМ ОПСРаГОРа Тп, а 1РЯ(Г)-- его собственная волновая функцгис Условиям (5.16) удовлетворяет функция Блоха (5.6). Покажем это: рн(к+ па) = е'и('~" )иь(к+ ко) = = ех ' и' '" ия1т+11о) = е' " е' " ин(к+1и11.
Так ьак согласно условиям теоремы функция иа(г) периодическая с периодом решетки, то иь(г) =- ин(г+ па). (5. 17) Таким образом, имеем ) хьхха хн ( ) хИпа Это и доказывает теорему Блоха. 5.!. Элекхпронннхйеоэ в пернодонеекан поле овнов металло Т1хР1.(Г) .—.- Е1хРН(Г) =- хРН(7' + а) тв.рн(г) =- (сз)' хрн(г) =- рн(1 + нха). Используя циклические условия (5.8), находим из (5.13) Со1ласно определению (3.8) волнового числа к имеем (5.12) (5.13) 64 Лекция 5 Отметим, что функция р~,.(г), описывающая электрон в состоянии х, является собственной функцией оператора Блоха Н, и оператора трансляций Т. Из теоремы Блоха следует ряд важных следствий.
Так, каждая волновая функция электрона в периодическом потенциальном поле характеризуется волновым вектором 1з Блоховская волновая функция уь(г) = е'ыгиь(~) имеет сходство с волновой функцией свободного электрона, т. е, с плоской волной; уь(г) = Ае'"". Отличие, как хорошо видно, заключается только в модулирующем множителе. В связи с этим многие свойства электрона в периодическом поле аналогичны свойствам свободного электрона. Волновой вектор й вводится с точностью до вектора обратной решетки и потому состояния электрона с волновыми велчорами й и Й+ С эквивалентны.
5Л.2. Точечная и трансляционная симметрия идеальной кристаллической структуры Кристаллическая решетка представляет собой систему определенным образом расположенных в трехмерном пространстве точек, занимаемых ионами металла. Характерным элементом кристаллической решетки является элементарная ячсвка, которая геометрически задается совокупностью грех неком1шанарных векторов (в простейшем случае) щ (г = 1, '2, 3). Вели выбрать точку отсчета, то из нее можно построить любой узел решетки, используя элементы трансляций: 1 = 1,а, (1 = 1., 2, 3), 1, — целые числа. Таким образом, весь кристалл строится путем бесконечного повторения элементарных ячеек.
Элементы трансляционной симметрии будут в основе многих последуя>щнх рассу кдсний. 5.1.3. Элементарная ячейка кристаллической структуры. Ячейка Вигнера-Зейтца Для кахсдой кристаллической структуры существует некоторый произвол в определении формы элементарной ячейки. В связи с этим очень удобно использовать цснтрированныс элементарные ячейки " ячейки Вигнера- 5.
Ь Электронньщ еаз н нериодннеекан ноле конон.иеншнла Зейтца, которые, как будет видно далее, и~ рают важную роль в электронной теории металлов. Такую ячейку можно построить согласно следующему правилу: из выбранного центрального узла проводим векторы ь ближайшим узлам решетки и строим плоскости через середины этих векторов и перпендикулярно к ним. Возникающая область с центральным узлом есть элементарная ячейка Вигнера--Зейтца.
Вели элементарная ячейка содержит один атом, то структуру называют решеткой Бравэ, в противном случае имеем решетку с базисом. Базисом определяется совокупность векторов, характеризующих положение атомов ячейки относительно одного из них. Ячейка Вигнера — Зсйтца обладает тем свойством, что все точки решетки, принадлежащие ячейке, находятся ближе к центру ячейки, чем к какому- нибудь другому узлу решетки. Удобство этой ячейки еще и в том, что она лучше всего аппроксимирует сферу, которую всегда приписывают атому в формальных моделях упаковки его в кристалле. 5.1.4. Обратная решетка Элементарная ячейка считается заданной, если задана минимальная совокупность векторов, определяющих узлы ячейки относительно данного узла.
В таком случае элементарную ячейку можно задать матрицей ан = (А)во (5.18) где элементы матрицы являются прямоугольными проекциями составляющих ячейку векторов. Такой ячейке можно сопоставип другую ячейку, задаваемую обратной матрицей ('л) 5 = (А) (5.19) Поскольку (А)о(В) э — — 1, то необходимо, чтобы (5.20) или Ь =б„. (5.21) Таким образом, векторы Ь, обратны векюрам базиса а н представляют собой базис обратной решетки. Так, если вектора Х н У определены как Х = х,а„У = у,Ь,, то Х Ъ' = азу,. бб Лекция 5 Определим вектор обратной решетки из набора: С = пз2ябз — , 'пз2ябз+ пз2яЬз, (5.22) Ь(т) Е~ г я Если вектор Л есть вектор трансляции прямой решетки Л = ~ аз + за аз + -заз: то скалярное произведение С Л равно С Л=йгпз,=2хт,, (г'=1,2,3).
(5.23) Введенная таким образом обратная решетка является инвариантным гео- метрическим объектом, свойства которого играют важную роль в теории металлов. Рассмотрим плоскую волну с вектором обратной решетки С: ехр(1 С г) = Т(С, т). (5.24) Подействуем на эту функцию трансляционным оператором Тп, Тр1 ( С, т) — Д(С, т -'- Л) —. ехр(1 С. (т -ь Л)) = ехр(1 С Л) ехр(1 С т). Используя здесь выражение (5.23), находим Тп Г(С, т) = е'з 'е' ', О =- 1,2,3). (5.25) Таким образом, функции вида (5.24) обладают полной трансляционной пе- риодичностью решеточного потенциала.
Такой же периодичностью облада- ют и функции иь(г), согласно (5.17). Поэтому их можно разложить в ряд Фурье по функциям (5.24): ик — —. ~си„ехр(1 С„т). (5.26) где и — целые числа, в том числе отрицательные и нуль. Концы векторов С образуют обратную решетку. Множитель 2я сразу введен в определение вектора обратной решетки для того, чтобы при разложении функции по векторам обратной решетки запись совпадала с принятым определением волновой функции свободного электрона 67 5Э. Электронньгй газ в периода неекан пояе ионов жеманна Тогда блоховская функция (5.6) может быть записана в форме з>ь(г) .—.. е> сан ехр1Д)б —; Сн) г). (5.27) 8 з поб— сп (5.28) 5.1.5.
Зоны Брнллюэпа В обратном пространстве удобно выбрать элементарную ячейку аналогично ячейке Вигнера — Зейтца в прямой решетке. Эта ячейка называется первой зоной Бриллюэна и содержит те точки обратного пространства, которые находятся ближе к центру ячейки, чем к любой другой точке. Обратными векторами С здесь будут являться вектора, соединяющие два любых узла обратной решетки.
Отсюда хорошо видно, что если состояние электрона определяется волновым вектором Й, то другое состояние электрона 1е' =.- й -, 'С будет ему эквивалентно. Действительно, так как е' = е' ' =- г' ' е' ' -- е' что справедливо для любого вектора Л прямой решетки. Следовательно, волновые функции, описывающие состояния )е и й' должны быть тождественны. Итак, для всех точек, лежащих вне зоны Бриллюэна всегда найдутся эквивалентные им точки внутри зоны Бриллюэна, а каждой точке на поверхности зоны Бриллюэна найдется эквивалентная точка, лежащая также па поверхности зоны. Иначе говоря, любую точку й в обратном пространстве можно привести к соответствующей точке в первой зоне Бриллюэна.
Это значит, что любую волновую функцию можно описать в схеме приведенных зон, так же как и в схеме расширенных зон. Важным выводом Это представление волновой функции электрона в периодическом поле является особенно важным при расчете электронных состояний. Отметим кратко некоторые свойства обратной решетки: 1. Каждый вектор обратной решетки С ортогонален некоторой плоскости, образованной атомами прямой решетки.
2. Длина вектора С~ обратно пропорциональна расстоянию между соответствующими атомными плоскостями. 3. Объем о,б обратной ячейки обратно пропорционален объему со ячейки прямой решетки: Лекцию 5 5.1.6. Число электронных состояний в зоне Бриллюэна Подсчет разрешенных электронных состояний, т. е. значений волнового вектора й, а кристалле можно осуществить, присоединяя циклические грани пл ие условия Бориа- Кармана. Мы уже дааясаы использовали эти условия прн подсчете электронных состояний в модели свободных электронов и при доказательстве теоремы Блоха. Сейчас мы обсудим этот вопрос несколько подробнее.
Дело в том, что рассмотрение бесконечных кристаллических структур требует бесконечного ряда волновых функций. Однако, можно избежать этой трудности, используя трансляционную симметрию кристаллической решетки. Суть процедуры заключается в следующем: Формально кристалл можно разбить на ряд микрокристаллов, содержащих конечное число элементарных ячеек, например Л' ячеек, в каждом из трех пространственных направлений.
Потребуем, чтобы при этом удовлетворялись граничные условия: ,рц(Г .1 1к а) = ЭЕЬ(Г). (5.29) Принятое деление, естествещю, носит произвольный характер. Однако, отметим, что оно и необходимо нам как математический прием с тем, чтобы получить обозримый обьект, впоследствии же можно перейти к пределу, устремляя число Х к бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
