В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Тем не менее, все качсствсиныс выводы модели почти свободных электронов носят абсолютно всеобщий характер и состав:шют основу всех последуюших приближений. Оставляя рассмотрение указанного приема до следующего параграфа, сделаем сейчас некоторые предположения относительно потенциала Г)(г). Грубым приближением к реальному распределенню его в одномерной решетке является предположение о наличии обрезаюшего потенциала с)о, позволяющее записать потенциальную энергию электрона в поле решетки в виде: здесь д1т1 — дельта-функция Дирака. Тайас, 4 ким образом, потенциальну)о энергию электрона можно графически изобразить в форме ступенчатой кривой из одинаковых элементов-ступенек )рис. 4), а — ширина потенциальной ямы, ао — параметр решетки. 84 Запишем одномерное уравнение Шредингера для электрона, движущегося в периодическом поле, аналогичное (5.5) (7.2) о .=. е' "и(г), (7.3) Эти решения полностьк> будут определены, если известна зависимость ве- личины й от коэффициентов уравнения (7.2).
Подставим потенциал Крони- га — Пенни (7.1) в уравнение т7.2): — — е — По ~ 6(г — па) Зз — — О. л, 2п1 )зз (7.4) Рассмотрим это уравнение в главном интервале ступенчатости, т. е. там где мы выбралн начало координат. Периодичность решетки обеспечивает нам справедливость произвольного выбора начала координат; + — (е — Гс)Ззз = О, , л 2гп йз -Ь < г < О (7.5) Подставляем в эти уравнения функцию Блоха (7.3): (7.6) и,",Я вЂ” 2г Йп,',(г) — Й вЂ” ' — '(По — г) из(г) = О и~Я+ 2гьи~(г) — Й вЂ” — с из(г) — —.
О. лз Здесь удобно внести обозначение: †'"'(По — г) = о', Ьз (7.7) 2т бз Йз (7.8) Мы уже знаем (стр. 63), что это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Решениями его, со- гласно теореме Блоха„являются функции (5.6): 85 81. Прил>ижение 1<ронага — Пенни Тогда последние уравнения можно переписать так: и~'(г) + 2> )>и>1г) — (1>~ + аз) и>(г) = 0 (7.9) из(г) ->-2> 1еи 1г) -- (й -- В ) изЯ .=- О. (7.10) н и, (г) = Се'> >е д)г+ Ве '>" д>г, (7.12) Решения для других участ>сов потенциальной кривой (7.1) имеют тот же вид, что и (7.11), (7.12), лишь постоянные отличаются на фазовый множитель. Постоянные А, В, С, В следует выбрать, требуя, чтобы функция и(г) и ее производная и'(г) были непрерывны в точках, соответствующих скачку потенциала Г(г), т.
е. при г =- О, г =- --Ь(> =- а): и>(0) = иа(0), и>(0) =. и (0), и>( — Ь) .—.. из(а), и>( — Ь) — а (а). (7.13) Периодичность решетки позволяет утверждать, что условия непрерывно- сти (7.13) должны выполняться и во всех других точках разрыва потенциа- ла Цг). Присоединяя условия (7.13) к решениям (7.11) и 17.12), находим: .4+ — С вЂ” В=О, (> Ь вЂ” а)А + (>й.р о) — > (й — 13)С вЂ” > ()е+ ЯВ = О, Ое — а>ь ~ В,би> а)ь С а1 — нн н)и р — и>я>Яи О 1>ь о)Аебь — а>ь > 1>» 1 о)Вебнна>ь — >(й — В)Се~1 ьч>>>и >.(> , 'ДВ>е и1в-г>з) =О.
Запишем определитель этой системы уравнений относительно пронзволь- Решения этих уравнений хорошо известны и равны следующим выражениям: и>1>) =.4е1 'ь га>" + В с Оьча)г (7.11) 86 Лекция 7 ных постоянных: 1гй — а) (Й+о) — г(Й вЂ” 3) — г(/с+,3) ец егм е ' е — В ь — гь — бгче1ь е' ль — вг ебь '"гь е(гяеигь еаг — Вел)а е — ггььяп (г)г — ег) (И+ гг) — г(й — г7) — г()с — г7) 1 ! — 1 — 1 Разрешим его, последовательно подсчитывая определители третьего поряд- ка, относительно волнового вектора гг.
Имеем, после перехода к тригоно- метрическиьг и параболическим функциям: совЯа — б)) = сЬ(аб) сов1г7а) + вЬ(аб) вйг(Да). (7.14) 2аг3 Это выражение дает важную связь волнового вектора й с параметрами а и 3. Так как, согласно (7.7) и г'7.8), имеем =- — с'о —. Вг 2т (7.15) сов(а)г) = сов(Да) + — В7об 2т, в1гг1гэа) ~-,г 2гу б7.16) Мы использовали здесь: вЬцаб) = аб, сЬ(аб) = 1 прн б О. Введем обозначение — ггсб = Р, Ьг (7.17) то, задавая волновому вектору различные значения, можно найти зависимости а()г) и 3®, или еЯ.
Используя зависимость (7.14), затем можно было бы определить и сами функции и(г). Однако прямое решение уравнения (7.!4) не возможно вследствие его трансцендентности. Согласно Кронигу — Пенни, это уравнение может быть значительно упрощено в предельном случае малых толщин потенциальных барьеров. Пусть б стремится к нулю, с друпгй стороны можно потрсбювать, пабы обретающий потенциал бго стремился к бесконечности, С учетом этих условий и условия (7.15) уравнение (7.14) упрощается: 87 7.1. Приииогеение 1<риниги — Пенни чтобы величина Р оставалась постоянной, можно потребовать постоянства (1оЬ при переменных (го и Ь. С учетом введенных обозначений выражение (7.16) принимает вид: вш(!За) сов(ай) = сов((эа) + Р Ь)о (7.18) 51л О -о находим 5!л(!эа) сов(Да); Р, = ! + Р Ва С ростом Да до — , ,'л эта функция убывает, становясь равной — 1 при я =- (За, при Да.
> н функция продолжает убывать и, достигая минимума, затем вновь растет, принимая при !)а = 2.г значение +1. Далее при 1За > 2-г она становится больше единицы, достигает максимума и затем опять убывает и т. д. Аналогичная картина складывается, когда 13а изменяется в сторону отрицательных углов. На рис.
5 приведен качественный ход рассматриваемой зависимости сов(Да) + Р .— —. 1(17а). вш())а) Да Очевидно, что при ~ЬЗа~ = 2яи, где и = + 1, +2, ..., ее гн', функция 7' = -фн1, при ~Яа~ = (2н — , '1)я имеем 7' = — !. Значения Да, удовлетворяющие условию (7.18), т. е. корни этого уравнения, получим, проводя прямые параллельные оси,9а, и на расстоянии созда от нее. Меняя йа от О до т и проводя соответствующие прямые, Это хорошо известное уравнение Кронига 1Тенни, определяющее явную связь между собственным значением энергии 5 и волновым вектором Й.
Величина Р теперь является приведенным обрезывающим потенциалом. Очевидно, что если правая гасть уравнения (7.18) будет меньше единицы, то волновой вектор является вещественным числом и решения (7.11) и (7.12) имеют смысл, если правая часть больше единицы, то Ь есть мнимая величина и (7.11) и (7.12) обращаются в бесконечность. Трансгтендентное уравнение (7.18) уже можно решить графически для любого значения вектора й. Для этого построим зависимость правой части уравнения от Да; Если Да = О, то, учитывая, что Лекчия 7 Рис. 5 параллельные оси 13а., находим точки пересечения прямых с кривой, описываемой функцией 7.
Эти точки и есть решения транспеидентного уравнения 17.13). При этом видно, что там, где ~7' > 1, вещественных корней нет. Это значит, что значения Ди, соответствующие ~~~ > 1, а значит и энергии, не являются в этих интервалах собственными энергиями в уравнении Шредингера (7.2). Следовательно, весь интервал изменения,За, а значит н г, является дискретным, т. е. распадается на зоны разрешенных и запрещенных энергий и значений Да,. Разрешенные значения да на рис. 5 показаны жирной чертой. С возрастанием ))а~ ширина разрешенных значений За, а значит и энергий, растет за счет уменьшения запрещенных. Каждому разрешенному значению энергии соответствует два значения Да, отличающиеся знаком.
Следовательно, приближение Кроиига — Пенни дает нам тот же результат, что и приближение почти свободных электронов, т, е., спектр энергий электрона в периодическом поле решетки состоит из непрерывных полос, разделенных интервалами запрещенных значений энергии. Равноценность выводов обоих приближений позволяет утверждать, что распад энергетического спектра на полосы в приближении Кронига — Пенни не связан с принятыми предельными условиями. Обсуждая уравнение Кроиига — Пенни, мы не делали никаких заключений о величине приведенного обрезывающего потенциала.
Однако энергетический спектр электрона существенно зависит от этой величины. Предположим, что Р = О, 'югда, согласно 17,18) соз1йа) = соз(,'За), к = — А- йз „з (7.19) 2т и, следовательно, йа + 2яп =,За. Это значит, что ))а можег принимать 89 7.1. Прггблг~жеггне Кроннггг — Пенне ди — -- ит-, где и =. ж1, ж2, (7.20) или, раскрывая значение д, находим /гкпа (7.21) 8игаэ Как известно, эта формула определяет энергетические уровни электрона в изолированном атоме. Следовательно, этот случай соответствует полностью связанному электрону. Сопоставляя оба предельных случая, можно сказать, что величина обрезывающего приведенного потенциала Р характеризует энергию связи электрона, т. е.
его свободу или локализацию. Рассмотрим еще случай, когда величина Р сравнительно велика и электроны сильно связаны. Зоны дозволенных энергий тесно примыкают к значениям (та, равным ии, Пусть ширина этих зон есть г'.г, тогда разрешенные значения Да можно задать так: гЗгг = иж+ Ь, где г.'г = О. (7.22) Подставляем это условие сильно связанных электронов в уравнение Кро- иига-Пенни; сов(ой) =- (--1)" Р Ь. ( -1)н' Действительно, так как (7.23) сов(Да) =- сов(ии 1 гз) =.- сов(пи) сов гз+ в1п(пи) гйпгз = ( — Ц", гйл(Да) = вш(ии —: Л) — —. в1гг(птл) созга + сов(п;г) вш гз =- ( — 1)нгз, Да —.
птг ~ Ь итг. любые значения, т. е. разрешенными являются все значения энергии то ну:и до бесконечности. Такая ситуация, как мы знаем, свойственна свободным электронам, когда энергетический спектр непрерывен и отсутствуют интервалы запрещенных энергий. Предположим другой крайний случай. т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
