В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Сами граничные условия Бориа — Кармана (5.29) наглядно можно осуществить в одномерном случае, беря замкнутую кристаллическую цепочку. Трехмерный вариант этих условий реально предо гааить уже невозможно, но это не должно вызывать каких-либо сомнений, поскольку эти граничные условия не вносят никаких изменений в рассматриваемую физическую картину. Используя этн граничные условия (5.29) а одномерном случае при доказательстве теоремы Блоха, мы получили для разрешенных значений волнового числа выражение (5.14): 2лз ."ю'а ' (5.30) этих рассуждений является утверждение, что ясе состояния электронов в периодическом поле решетки характеризуются значениями волнового вектора й, лежащими внутри или на поверхности первой зоны Бриллюэна.
Отсюда следует, что энергия электронных состояний будет многозначной функцией волнового вектора Й. Непосредственно мы убедимся в этом, рассматривая энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле решетки. 5.1. Электронньы газ н нериодннеекан ноле конон.иеншгла 69 где з — -- 1, 2, ..., Х. Однако, выбирая обратную ячейку в виде зоны Бриллюэна, т. е. в одномерном случае в виде центрированного отрезка, необходимо взять для изменения величины з интервал — хХ<з< — Х. 1, 1,, 2 2 (5.31) --<й<-. 7Г, 7Г а а.' (5.32) Придавая величине а значения на отрезке 15.31), можно получить набор всех возможных величин й, лежащих в интервале (5.32).
Значения й распределены в этом интервале с постоянной плотностью и, поскольку величина лзГ очень велика, то монкцо сказать, что непрерывно. Эти результаты можно непосредственно перенести на трехмерный случай, считая, что выбранный макрокристалл имеет размеры М~ аы Х> а„, Лз аз и для каждого из пространственных направлений выполняются, подобно (5.8), циклические условия. Выполнение их требует справедливости для трех составляющих йы й~, йз по осям обратного пространства вектора й необходимых условий: 2пз, б 2пзз и 2пзз б у з з= у э з= у 11 з ° з здесь Ь, ==,†, есть, согласно представлению (5.22), базис обратного про- 1 странства. Таким обраюм, получаем, что значения вектора а определяются выражением 15.33) Набор всех возможных значений волнового вектора )с можно найти, беря величины з, из области зн1 'т1 Мз Хз н на Л'~ — — <л~< — ',, — — <'з< —, — — <зз< — (5.34) 2 2' 2 2' 2 ' 2' Эта область представляет собой параллелепипед с центром в начале координат.
Поскольку эта область эквивалентна объему первой зоны Бриллюэна, которую мы выбрали за основную ячейку обратной решетки, то и в Это значит, что мы из многих возможных эквивалентных вариантов вы- бора обратной ячейки выбрали центрированную ячейку, т. е, первую зону Бриллюэна. Таким образом, все возможные значения волнового числа 1 в приведенной схеме зон Бриллюэна заключены в интервале 70 8яз, тз о Отсюда можно легко найти объем обратного пространства, непосредственно связанный с данным волновым вектором Й йа 8я" Кз (5.35) Обратная этому значению величина очевидно представляет число разре- шенных значений вектора Й в единице объема Й-пространства: уз ооб 8яз (5.36) и служит весовым множителем при переходе от суммирования к интегри- рованию в обратном пространстве (3.10).
зоне Бриллюэна находится № х Кз х Лз разрешенных значений волнового вектора Й. Итак, зона Бриллюэна содержит столько допустимых значений вектора Й, сколько элементарных ячеек содержит макроьристалл. Увеличение размеров макрокристалла просто увеличивает плотность состояний в Й-пространстве. Пусть объем макрокристалла, содержащего Юз = Х~ . № . Л"~ ячеек, равен о, тогда на одну ячейку приходится обьем о„= (о/Хз) прямого пространства.
Этот объем связан с объемом ячейки обратного пространства соотношением (5.28): Лекция 6 6.1. Энергетический спектр электрона в поле с периодическим потенциалом Как и раньше, нас будет интересовать в рассматриваемой модели, главным образом, основная характеристика электронного газа .— закон дисперсии, т, е. связь энергии с квазнимпульсом. Сейчас у нас имеются все необходимые сведения, позволяющие найти явный вид этого закона.
До сих пор нам приходилось иметь дело с квадратичным по квазиимпульсу дисперснонным соотношением, вытекающем из приближения свободных электронов. Оно утверждало, что энергия является непрерывной функцией волнового вектора при всех его значениях. Итак, рассмотрим энергетический спектр электронного газа, слабо возмущенного периодическим полем решетки. Такое приближение для одноэлект1эонной модели известно как прибл1окение почти свободных электронов.
Обратимся непосредственно к одномерной модели и разберем математическую сгорону вопроса, а затем остановимся на физических предпосылках приближения. Прежде всего используем свойство периодичности потенциала решетки У~г) и разложим его в ряд Фурье по векторам обратной решетки, так же, как мы ранее разлагали в ряд функцию вь(г): У(г') =- ~' ба ех1ф Ся Р). в 16.1) здесь сÄ— Фурье-образ потенциала У(г). Выражение (6.1) показывает, что потенциал Г(г) представляет собой функцию, определенную на дискретном пространстве узлов решетки. Предположиьц что У(г) есть слабое возмущение и воспользуемся обычной теорией возмущений, беря за основнос состояние свободный элскгронный газ, з. е.
плоскис волны и энергию 72 Лекция 6 Ее = , . Для энергии возмущенного состояния получаем: ь ощ' 2 , )'е '" '"77(г)е'"'"йзг Е й й, 1 г — ь'- 7с7г) ь ° 7з 2щ / (6.2) здесь Ес = — энергия невозмущенного состояния. 2т Рассмотрим матричный элемент Л1 / г — сж г717г)еса г с)зг / ~~; б ес(ь — ь'+ссО г г1зг й' — 7с = 77„.
(6.3) Таким образом, можно переписать разложение (6.2) с учетом периодичности потенциала 777г); Е бйз,,Е77 зс, 77"~ Еь Еьч с. 76.4) Очевидно, чтобы разложение 76.4) имело смысл„необходимо потребовать, чтобы основное состояние было нсвырождснным, т, е, Ео ~ Е"„, иначе Еь — ~ со. Это значип что объем обратного пространства, занятый невозбужденными состояниями, не должен достигать зоны Бриллюэна. Однако, это не так. Поэтому, вероятно, нужно попробовать определить энергию возмущенного состояния из уравнения Шредингера, используя функцию Блоха в форме 75.27), когда периодическая часть функции разложена в ряд Фурье по векторам 1 в: цэь(т') †.. ~ сь„ ехр(1(й + сс ) т).
76.5) здесь использовано соотношение 76.1). Согласно правилу отбора ЛХс я .—. 2,' 71„, если й — й' -1- Ся — О, и Л1яь .= О, если й — й' -г С„/. О. Следов вательно, периодичность потенциала 77(г) накладывает на матричные элементы перехода жесткое требование, являющееся центральным моментом приближения: 6.й Знергеткнескок спектр эаектронп Запишем уравнение Шредингера (5.5), подставляя выражение функции (5.27): с в '-(г(г) "„с е'(ьь~")'г = Е ~~ с ецььп")'" (б б) 2ш и и Для полного решения задачи необходимо определить значение коэффици- ентов сьп. Для этого выберем из разложения (5.27) функцию сьп ехр( — К (Й Сп ) ° г), соответствующую определенному значению вектора обратной решетки и умножим ее на уравнение (б.б), интегрируя по всему объему кристалла; — ~ьз-с„) рь (ь, с„),(з + + ~ сьпсь„~ У(г)с П "' ")'Й г = и Х 'с с, ) с — (ьн.пн)т (ььп„) ~е(з, ь г сь сьп ~ е и Поскольку функции Блоха образуют ортонормированную систему, то можно предыдущее выражение переписать так: сансы, б,п Еь и„, —, ~~санса„~ (7(г)е "' " ' д' г = =Ел ~,,сь сьп бпп о сьп сьп'Ек пп.
— сьп сьп'Еь -г сьп ~~' сьп сп' — и = О. Знак суммы в первых двух членах этого выражения пропадает. ӄ— фурье- образ потенциала У(г). Итак, имеем; ст и (Еьс: сп — Еь) =- — ~~ сьп0п (6.7) 74 Лекяия 6 [6.8) Это соответствует центру и границе зоны Бриллюэна. Итак, подставляя [6.8) в систему уравнений [6.7), находим сь, о (Еь" — Еь) + сь,— д~1 =.. О сь, ([',ь — Еь) + сь а[[ „= О.
[6.9) Эта запись означает, что среди совокупности коэффициентов сь „, мы выделили только два коэффициента, соответствующие волновым функциям, описывающим электронные состояния вблизи центра зоны Бриллюэна и ее границы. Смесь этих волновых функций и будет соответствовать состояниям электрона в периодическом поле. Рассмотрим явно систему (6.9).
Условием разрешимости ее является равенство нулю детерминанта ЕО Е [г нет= "[[ Ео Е , '— — О, '--д ь — д ь,' или Ез Е (Еа,Ео ), ,ЕоЕс ~ [. О Таким образом, для энергии возмущенного периодическим полем электрон- ного состояния имеем: 1 (ЕΠ—; ЕО ) — ' ((ЕО ЕО ) 4ЕОЕ 4[[ [т ) 3 преобразуем это выражение: Е„= ~ (Ее+Ее ) + ~(ЕО ЕО )2+4[[ [г 1 [6 )О) Придавая векторам С„и [ „конкретные значения, получаем систему уравнений относительно коэффициентов сь„разложения функции Блоха.
Когда коэффициенты найдены, то все электронные состояния определены. Нас будут интересовать только те значения вектора обратной решетки, которые лежат в первой зоне Бриллюэна, т. е. всего два значения для случая одномерной решетки: бд. Энсдгетическнй снектр еиектдинп Здесь очень хорошо видно, что н результате возмущения, обусловленного периодическим потенциалом, исчезают, как самостоятельные, электронные состоЯниЯ с энеРгией Еьо, Еьо Ео =- 2пз ' (6.1 1) а вместо них возникает смешанное состояние с энергией Еь (6.10), которому соответствуют смешанные волновые функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
