В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин - Сборник задач по электродинамике (1129082), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Доказать, что совокупность величин неь является тензором П ранга. (Точнее, ееь является тензором, если а и Ь вЂ” оба полярные векторы или псевдовекторы, и псевдотензором, если один из векторов — полярный, а другой — аксиальный.) 13. Показать, что совокупность величин АднВц„где А;ы — тензор П1 ранга, а В,ь — тензор П ранга, является вектором.
14. Найти закон преобразованиа совокупности обьемных интегралов Тд, = ~хехьЛ' прн пространственных поворотах и отражениях (хе и хь — декартовы координаты). Определение шаровых функции приведено в приложении 2. 17 1 1. оеллгориал и гиепзориая алгебра 15. Составить матрицы преобразования базисных ортов: при переходе от декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе от декартовых координат к цилиндрическим и обратно.
1б. Записать матрицу преобразования компонент вектора: при отражении трех юординатных осей; при повороте декартовой системы изординат вокруг оси з на угол тт. 17. Найти матрицу преобразования компонент вектора при повороте координатных осей, определяемом углами Эйлера глг, й, глз (рис. 1), путем перемножения матриц, соозветствуюших поворотам вокруг оси з на угол аз, вокруг линии узлов ОФ на угол й и вокруг оси л' на угол гтз. 18. Найти матрицу Б(атдаз), с помощью которой преобразуются циклические компоненты вектора (см.
задачу 10е) прн повороте координатной системы, определяемом углами Эйлера ттз, д, аз (рис. 1). Рис. 1 19*. Показать, что матрица бесконечно малого поворота системы координат а может быть записана в виде ст = 1+ с, где à — антисимметричная матрица (еть = сы).
ВыЯснить геометрический смысл еы. 20. Доказать, что если Й вЂ” ортогональная матрица преобразования, то при ее транспонировании получается матрица обратного преобразования. 21. Показать, что матрица преобразования базиса координатной системы при отражении или повороте и матрица преобразования компонент вектора совпадают. 22". Доказать, что при поворотах или отражениях четного числа координатных осей определитель преобразования равен +1, а при отоажениях нечетного числа координатных осей зтот определитель равен — 1.
23. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны в любой другой системе координат. (Такие векторы называются параллельными.) ' Преобразования, определитель юторыл равен +1, называются собственными; преобразования с определителем -1 — несобственными. 18 Гиава 1 24*. Во всех декартовых системах координат задана совокупность величин е;и, обладающих следующими свойствами: при перестановке любых двух индексов еты меняет знак; етзз = 1.
Показать, что эта совокупность е,ы образует псевдотензор П1 ранга (совершенно антисимметричный единичный псевдотензор Ш ранга). 25. Доказать, что компоненты антисимметричного тензора П ранга при вращениях преобразуются как компоненты вектора. 2б. Записать выражения для компонент векторного произведения двух векторов и вихря вектора с помощью тензора ели.
Указать, как преобразуются зти величины при вращениях и отражениях. 27. Доказать равенства: а) е;ыеь = бттбьр — бшбьж' б) етыеы~ = 2бсв 28. Записать в инвариантной векторной форме: а) еьые;т,еь„ре.тра„а„6т„ст; б) еонеь„е1~ре,тра„а'„(тьб;'стет . 29. Показать, что Ттьа;Ьь — ТтьаьЬ = 2ат (а х Ь), где Ттв — произвольный тензор П ранга, а и Ь вЂ” векторы, ьт — вектор, эквивалентный антисимметричной части Ты. 30. Представить произведение ]а (Ь х с)](а' ° (Ь' х с')] в виде суммы членов, содержащих только скалярные произведения векторов. Указания. Применить теорему сб умножении определителей или воспользоваться псевлотензором Ш ранга е~ы (см.
задачу 24*). 31*. Показать, что единственным вектором, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий тензор П ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах координат, пропорционален Бть, танзер П1 ранга — е;и, тензор 1Ч ранга — (бть4 + + бт Юы + арпб~ ). 32*. Пусть п — единичный вектор, все направления которого в пространстве равнове)юатны. Найти средние значения его компонент и их произведений: й„пгпь йтпьпп птпьпглтр, пользуясь трансформациоиным свойством искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих интетралов, 33.
Найти усредненные по всем направлениям значения следующих выражений: (а ° п)з, (а ° п)(Ь ° п), (а ° п)п, (а х п)з, (а х п) (Ъ х п)„ (а ° п) (Ъ ° п) (с ° п) (т1 ° п), если п — единичный вектор, все направления которого равновероятны, а, Ъ, с и т1 — постоянные векторы. 19 З 2. Венгнорный анализ Укдзднив. Воеподьзсвзтьея результатами предыдущей задачи. 34. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов п, и' и псевдовектора 1.
35. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных векторов и, и' и одного псевдовекгора 1? Из трех полярных вектоРов зги пз, пз7 ф2. Векторный анализ В произвольной ортогональной системе жюрдинат дц 92, дз квадрат элемента длины выражается формулой = Ьг гй72 + аз ~Ч2 + 1'з гй1з (1.14) а элемент обьема — формулой <()г = йгйзйз г(яггйгзг(яз~ (1.15) где (1.16) — функции координат (коэффициенты Ламэ). Различные дифференциаль- ные операции записываются так: (я ~ж)з = г 1дз Ьз дн' йт А = ~ — (ЬзйзАз) + — (ЬзйзАз) + — (Ь1ЬзАз)1; 1 г д д д Ьзйзйз доз доз даз ез ез (1.17) Ьзйз Ь|йз Ь|йз д д д да1 доз ив ЬзАг ЬзАз йзАз гоьА = В формуле для гоь А дифференциальные операторы —, действуют на злед ди' менты нижней строки определителя.
го Глава 1 В сферической системе координат: (1.18) В цилиндрической системе координат: х = г сова, "в' = геша, в = Зг Ь„=1, Ь =т, Ь,=1; ду еа йр дса 8твг)у = е„— + — — +е,—; "дт т да *дв' йтА = — — (гАт) + — — а+ — '; 1 д 1дАа дА~. гдт " т да дз' 1дА, дА (гоСА),. = — — * — — а; гда дв' (1.19) дА„дА, (гоС А) дв дг ' (гоСА), = — — (гА ) — — — "; 1 д 1дА„ 1дг г да "= — (т — )'- " ' 1 д ду 1 д~~р д~~р При любых А и Са имеют место тождества: х = гвшдсова, у = тв1пдв!па, з = гс<жс9; Ь„=1, Ье =т, Ь =гвшд; дСа еа ду е ду бган Са = ет — + — — + "дг т дд твшада' гйт А = — — (т А,.) + .
о дд (Аа в(п д) + д 1 д, 1 дА 2 дт г гвшд дсу гв(пд да * (гоС А)т =, [ — (Аа вшд) — — ~]; тв1пд дд да 1 дА 1д(тА ) (гоСА)а = твшд да г дг 1 д(тАа) 1 дА, г дг тдд' Аар = — — (т — ) + — (вшд — ) + 1 д зду 1 д, др 1 дакар гз дт дг тз вш д дд дд гз в(пз д дав гоС 8гаг( Са ы О, 6гтгоС А = О, (КО 8гыХ |р ы Ацр.
(1.20) Следующие основные интегральные теоремы позволяют преобразовывать обьемные, поверхностные и контурные интаралы друг в друга. 21 $ 2 Векторный анализ Теорема Остроградского-Гаусса. бЬ Агй' = А ° гБ, (1.21) где 1г — некоторый объем, 8 — замкнутая яоверхность, ограничивающая этот объем. Теорема Стокса. А ° гй = гоьА бВ, где 1 — замкнутый контур, Я вЂ” произвольная ловерхность, олирающаяся на этот контур. В формулах (1.21) и (1.22) вектор А должен быть дифференцируемой функцией координат. Зб.
Записать циклические компоненты' градиента в сферических координатах. 37. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими координатами, вычислить б1тг, гоьг, атас((1 ° г), (1 ° '(У)г, где г— радиус-вектор, 1 — постоянный вектор. 38. Выполняя все вычисления в сферических (или цилиндрических) координатах, найти гоФ(ы х г), где 1о — постоянный вектор, направленный по оси з. 39. Доказать тождества: а) бгаб(рчй = укгы1Ф+Рбгоб р; б) 61т(~рА ) = ~р афпг А + А ° лгвх( 1с; в) гох(уА) = <ргоьА — А х бтабу; г) йт(А х В) = В ° гоФА — А ° гохВ; д) гос(А х В) = А бп  — В сйт А + (В ° ~7) А — (А ° ~7) В; е) бгах((А В) = Ах гохВ+В х гоьА+(В ьг)А+(А '[У)В.
Уклэлнна. Доказательство згнх тохществ следует производить с помощью оператора х, пользуясь правилами ллфференцлроаанля и перемлоиенля векторов и не переходи к проекциям на осл аоординат, 'См. закачу 1О'. гг Гипса 1 40. Доказать тождества: а) С ° ягвЦА В) = А ° (С ° 17)В + В ° (С ° %')А; б) (С ° ~7)(А х В) = А х (С ° ~7) — В х (С ° ~7)А; в) (~7 А)В = (А ° ~7)В+ВйчА; г) (А х В) ° гоС С = В ° (А ° з7)С вЂ” А ° (В ° ч )С; д) (А х Ч) х В = (А ° Ч)В + А х гос — Айч В; е) ((7 х А) х В = А йч  — (А . Ч) — А х гоС В вЂ” В х гоС А.
41. Вычислить атас(ш(з ); йч у(т)г; гоС у(т)г; (1 ° ч )ср(т)г. 42. Найти функцию р(т), удовлетворяющую условию йч ~р(т)г = О. 43. Найти дивергенции и вихри следующих векторов: (а г) Ъ, (а г)г, (а х г), фт)(а х г), г х (а х г), где а и Ъ вЂ” постоянные векторы. 44. Вычислить ягщ( А(з ) г, бган А(т) ° В(г), йч ~р(з )А(т), гоС сс(т)А(т), (1 ° т7) р(т)А(т). 45.
Вычислить ктвд — и гоС вЂ” (р — постоянный вектор), воср г рхг тз тз пользовавшись выражениами градиента и вихря в сферических координатах. Найти векторные линии для этик векторов (дать рисунок). 46. Доказать, что (А ° ~7)А = — А х гоСА при А = сопяС. 47. Записать проекции вектора ЬА на оси сферической системы координат. Укьзвиив. Воспользоваться тождеством ЬА = — гос гос А + агвгС йч А. 48. Записать проекции вектора ЬА на оси цилиндрической системы координат.
49. Интеграл по обьему Дйгщ( у гоС А) и"ч' преобразовать в интеграл по поверхности. 50. Вычислить интегралы у г(а. и) ИЯ, у(а г)п 45„где а — постоянный вектор, и — орт нормали к поверхности. 51. Интегралы по замкнутой поверхности угврг(Я, у(п х а)дЯ, у(п Ъ)ас(Я (Ъ вЂ” постоянный вектор, и — орт нормали) преобразовать в интегралы по обьему, заюпоченному внутри поверхности. Укдзяиип. Решение выполнять по образцу предыдущей задачи. 52 Векторный анализ 52. Воспользовавшись одним из тождеств, доказанных в предыдущей задаче, вывести закон Архимеда путем суммирования сил давления, приложенных к элементам поверхности погруженного в жидкость тела.
53н. Пусть г'(а, г) удовлетворяет условию )(с1 аг + сзаз, г) = сг)'(аг, г) + сзу(аз, г), где сг и сз — произвольные поспмнные, и является дифференцируемой функцией г. Доказать, что если г' — произвольный объем, Я вЂ” ограничивающая его поверхность и и — орт внешней нормали к этой поверхности„то имеет место обобщенная теорема Остроградского-Гаусса: У(п,г)си= У(су,г)ДК Оператор '7 в подынтегральной функции у(~7, г) действует на г н стоит левее всех переменных. Указания. Разложить и ло ортам декартовой системы координат к воспользоваться теоремой Остроградского -Гаусса: 54. Решить задачи 50 и 51 с помощью обобщенной теоремы Остроградского — Гаусса, доказанной в предыдущей задаче.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
