В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Замкнутость Ф выте«ает пз задачи 18.10. Ясно, что нз х ли йл следует йх ~ йл для любого й я С. Пусть х, у щ Тт'; тогда (А(х+ у), х+ р) (Ах, у) + + (Ау, х] =* 2Не(Ах, у) > О. С другой стороны, (А(х — у), х — р) = — 2Ве(Ах, у) ~ О. Поатому Бе(Ах, р) = О, (А (х+ у), х+ р) 0 и 1 х+ р лийл. 18Л2' б) А! 2 (А+А»)' Аз 2 (А Аа). 18ЛЗ.
Да. Рассмотреть оператор аадачи 18.8. 18Л4. Воспользоваться задачей 14.7 в). 18Л5. Для самосапряженнаго оператора А' воспоньзоваться задачей 18,6 а), 18Л8. Если А "х О, то 0 (А "х, А" 'х) (А"-'х, А"-'х) ЦА"-лхЦл, следовательно, А"-'х = О. 18Л9. 6) Докааать, чга последовательность п„пе убываег н ограничена сверлу. 18.20. б): в) 11усть х чь О, (Ах, х) О. Тогда (Ах, х) (]лАх, ]Ах) Ц]лАхЦл,= О, откуда ТАх = 0 и Ах = О, йл(А) чь О. 18.21.
в) л- а) Рх — Р'х О, следовательно, (7 — Р)ха>?(Р) для любого х щН, поэтому (Рх, у) (Рх, Ру+ (7 — Р)у) (Рх, Рр) для :побыв х, улиН или [Рх, р) (Рх, Ру] (х, Ру). г) а а) [!Рх[!л [Рх, х) (х, Р'х), и так как левая часть вещественна, то (х, Рьх) (Р"х, х). Таким обрааом, (Рх, х) (Р»х, х) для любого х с= Н и н силу аадачи 189 Р Р", 18.24. ((С"АС вЂ” С»ВС)х, х) = ((А — В)Сх, Сх] ) О. 18.25. Воспользоваться аадачей 18.9. 18.26. 1!ет. Рассмотреть в пространстве Е' операторы, задаваемыо матрицами 1828. Воспольаоваться задачей 18.8 а).
1829. (А-'х, у) = (А-'х, АА тр) (х, А 'у). 18.30. (А 'х, х)= (А 'х, АА 'х) (А(А-Ъ), А-'х) > О. 1831. Пусть й = сг+ Ц [3 чь 0). Тогда Ц(А — й!)хЦ» Ц(А — сс?)хЦ»+б»ЦхЦ»,и [ГлЦхЦ». 1834. Докааать, что Ц(А+?л?)хЦ ) ~ »ЦхЦ, 1835. Воспользоваться теоремой 9Л. 1836. ЦхЦ' (Тх, х)» = (Ах, х) Ц]ГАхЦг. Отсюда Гу(ТА) 0 и в силу неранеиства Г]'АхЦ ~ ЦхЦ оператор ]'.4 непрерывно обратим, а тогда существует 15и 227 и непрерывен аперзсар Л ' =. [(!Л) ')"-. Прп ртоп СЛ-О.
!)А-гсгх!г .: !г1г = (г. г). Покажем теперь. что Н-' пб Л-'. В неравенстве (Аж х) ( (Вг, х) положим .г = Л-"гц; тогда (Аы'у, Л '"у) = ~ д1г ~ (ВА '"у, А "'у) = (А "гВА "гу, д). Огсгодз, как н выше, следует, что оператор Л "гНА "' непрерывно обратим и что (А г)гНЛ о') — ' «.= с, т. с. ЛпгВ 'Л'" ( 1, откуда, согласно задаче 18.24, В ' г. Л '. 18.38. Воспольаоваться задачей 18.24с. !839. )Л = А. 18ЛО. Воспользоватьсн задачей !8,15. 184!.
[ггЛг= ("+х ) М + 2хзс . 18.47. 5) Пусть Вг = А. Ес.ш Ж(В) = О, та Н(В') = = Н(А) = О, Так как Х(В) ~ Н(Н') = Н(А), то Н(Н) — одпомер. пое надпространства, пора,кдепнае злемеи гом е«Далее, .1е, = = В'ег = е,(2, поэтому НВ'ег = Ве„'2 = О, т, е. АВег = О, откуда Вег = Лег и Аег = В!Нег) = Н(Лег) = Π— противоречие. 18Л8. Докажем едгсссствессссость. Еслп Нг, Вг гп 6(Н), Во В, рг О, !Лх)! = = ~(Нгх! = )~!СгхП, то [Нсх х)=[ В х)[~ --.
[В г(~с — — [Вг, х), откуда Вз = Вз и Вг = Вс. В качестве В возьмем оператор )'А'А. !8ЛО. Восиальзаваться задачей 14.15. 1853. [[ Л„рс[г=[А,", . А„'.г) =-[Апхс[г — » -«! Лх~! = (Ах, Ат) =.- (А«Ах, х) =()Л*х!, '. Отсюда [[А,*,х — А*х))г = =- () А„х ~~" — [Л «х, А„х) — [А,*„х, Л*х) + )~ А" х 1~ -«О при п -г. ар, 18о4. Пусть х„-г-0 (п -«ро) слабо.
Так касс А вполне непрерывен, та Ах,-г.О, но (Ах„х„) = ()Ах„)Ах„) = ЦАх,~)г. Поэтому )Ах — 0 н )Л вЂ” вполне непрерывный оператор. 1855. Пусть х„- О(п- рр] слабо. Так как В вполне непрерывен, то (Вх„, х,)-» -«О. Но 0 ( (Ах„, х„) ( (Нх„х„), поэтому (Лх, х„) -р 0 и, следовательно, )Лх„- О. Так как ТА непрерывен, то )А()Лх„) = Ах -»О. !856. а) Доказать, что (гН(Лх) — ЛОсх))г = 0 и !Н»(х+ +у) — Нх — Огу!г = О.
6) Воспользоваться равенством 1НхП (И и тем, что Н(Н) = Н, г) Если А — изометрический опера- 1 тор, то (Ах, Лу) = 2 [(А(х с-у), .4(х -(-д)) — (г1х, Ах) — (Ау, Ау)! = - 2 [~) +д(~э — 1)*!' — ~[д(~'1=(,у). 1857. 5) (Н, Нд) = = (АВ 'х, АВ 'у) = (А'ЛВ 'х, В-'д) = (ВгВ 'х, В 'у) = -(Вх, В-)у) = (х, ВВ- д) = (,, 'у), спрэведлпза равенство (Н,(А) — Н,(4)) (,1,1) (А )!) () р)! !" !СС ьг сн АВ = Вс то В(А — )1) = (А — л!)В к гпно "ая обе части по днего р' н ва на Н, справа н стева' получаем требуемое утверждение. Еслк дчя некоторого Л справедливо равенство НгВ = ВНг, то, умножая абе его части олена и справа па Л вЂ” Л1, получаем, что В(Л вЂ” ),!) = (Л вЂ” ЛПВ нли АВ= ВА. 19Л!. Восиользоаатьсл тем, что оператор А — Л1 непрерывна обратим,  — Л = ( — Л!) — (А — Л1), н теооемой 9.4, 19Л2. Воспользоваться тем, чта А — (Л вЂ” р)1 = А — Л1+ р! н теарсмай 9.4.
19Л3. Тогда н только тогда, когда Х конечномерна. 19ЛО. а(Л) состоят из собственного значения Л = ! с собстненным подпространством, порожденным функипей х(с) = с, н собственного значения Л = 0 с собственным подиростраиством (х(с) см С [О, 1) .' х(0) = х(!) = О), г,(Л) 1, д (О) су (Н су (0) Л( )У(С) Л Р(г+),(1 — Л)+Л(1— 19.!7, Спектр состоит нз собственного значения Л = 1 с собственным подпространством 31 н собственного значения Л 0 с собственным подпространством Шх.
Н (Р) = — —, !9Л8. Р (1 — Р) 1 — Л Л а(А) состоит только нв точки Л = 0 п с с 1 Г Т(г С) Нь (А) у — -- у — — ) еь у(р) Ар. а 19.20. а(А) совпадает на колсплексной плоскости с замыканием чполсества (Л,). 19.2!. Воспользоваться аадачей 1920. !9.23. Пусть Л чь О, оператор (АН вЂ” Л1) ' существует я С = (Л — Л!)-'. Убе- 1 — 1 литься, что (ВА — Л1) с =- — (! — ВСА). 19.26.
Пусть Л чп О, Л ж ев а(А-'). Тогда оператор Л-' — Л1 ие являетсл непрерывно обратимым я, следовательно, А (Л вЂ” Л!) = 1 — лА = — Л (А — — 1) 1 . ! 1 также не лвляется таловым. 19.27. Воспари,зоаатьгя задачей 18.50 в). 19.28. Пусть Л чэ О, х чь О, АА "х = Лх. Тогда А "х чп О п (.4'А) (А«т) = Л(А"х) и аналогично наоборот.
19.29, Точка Л = 0 принадлегкпт спектру, но ярк К Ф 0 не является собственным антчеппеы, 19.30. Воспользоваться задачей !8. !5, 19.32. Пусть е ) О. Нзбдетсн дч такое, чта 19.2. Нет, !9.4. а) Собственному значению Л = 1 соответствует сооственпое надпространство четных фуяссцпй, собственному значению Л = -1 — надпространство нечетных функций. б) 3г = = л, хг(с) = соэс, Лг = — и, хгсП = з!пс, собственному аначенлю Л = О соответствует собственное надпространство (пюп с+ + бсаэ с)х, где щ 6 гп  — произвольны, а ортагопальность понимается в смысле вепгествеиного пространства Ег [ — я, л].
19ей а) Л вЂ” лг, х„(с) = з1п аС (и 1, 2,,), б) Лр О, хр(с) ап 1, Л„= — п', х„(с) = соз лс (л 1, 2, ...). в) Лр О, хр(с) и» 1, Л, — 4л', х„(с) = соз2лс, з!и2пс (п = 1, 2, ...). !9.7. Пусть существует (А — Л!)-', Обе части равенства А(А — Л!) = = (А — Л!)А умножить слева на (А — 1!)-'. 198. Убедиться, что 228 аир [А" Ц' " ( г (А)-(- е, апр [,'Вп[с'" - г (В) .( л>М гг)М а Тогда длл л ) 2М п [(А+ В)п! ~Ч~ ~СаАьВз-ь ~ ~ Сь([Аь [([ Вп-з (г~ а-а а-о Н ~ы(г (.4) -'- г (Н) + 2е)" + Ъ С" [Лз [[Вг' ь [+ ь а с'„)'.!'; [' В" ' ';.= (лс Л !1-' ,л„~д! ' '-'>) й=ч — Л -(- ',~~~ С,',~> 4" [[(го1В) ф г)' " -,'- 1 г',[ Вь ~~/(г,(4) + г)" ". л:.
о л-о Отсю,"!а [[, (А -, :В)" )), (!л.»41",4< 1, (га( ) ' га(В) ' ) п прп л -» ао г,(Л -1- В) =" г„(Л) + г„(И) + 2е. Второе неравенство устапавлпвается кз справедливого Лля каымутпругощпх операторов псравепстоа 1(АВ) "1 ( ~ А" 1 1В" В 4 20 20.1. а(4) состоит на то пш непрерывного спектра Х = О. 20.2. а(А) состоит из точки Х = О, которая являетсн собственным значеппеы бесконечной кр;пностк. 20.3. о(Л) состоит нз точки Х = = Π— собственного аначения бесьонечпоп кратности н собственных акачений Ха Хв являющихся корнями уравнения 240Х'- 32Х вЂ” 1 = = О, для которых собственные подпространства одномерны.
20А. Пусть у„ш В(А — Х1), у„-» у прп л-» аа; тогда у„(А — Х1)х„, Если «„ содержит ограниченную подпоследовательность, то в силу полная непрерывности оператора Л некоторая подпоследователь! ность Ах сходится, следовательно, х = —.1Ах — у ! -л. х, зй Л ~ ай лйг о' олкуда у = (А — Х1)хз, у лн В(4 — Х1). Еслп же х, не содерлиьт ограниченной подпоследователькостп, ла '!«»!-«+со прн л-«аа н, налагая г„«»1йз»1, повторяем прелкпее докааательства. 20.6. Воспольаоватьгл утвсрждеплем задачи !8.50 б), прнменнв его к оператору г! — ХВ 20.7.
а(Л) = [О, 1), прпчгы все точки являютсл точками непрерывного спектра. 20.8. Пусть Х = и+ 16, у = (А — Л1)х. Толька («, у) — (у, х) = 2лр,'х»л, откуда Пу[~ ) [6[ з«! илл 1Ах — Лх)( л [О[.Цл). Согласно теореые О.!. Хш р(А). Если 1. -:; з, то прп 1х! = 1 5(Л вЂ” Х1) л! ~) лл — Х и снова васпользусися той же теоремой. 20ЛО. Воспользоваться аадачей !8Л4. Ю.!1. !'сзп Н(А — Х1) = 11, то 1. ле является собственным значением и тогда существует оператор (А — Х1)-Е Далее воспользаватьгл задачей 18.49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
