В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пет. В качестве 5 взять пространство С [О, 1] как подирострзнстзо врсстрапстза Хе, г,ге Х = С [О, 1] е, 4 14 14А. Так как отображение линейно, достаточно доказать его непрерывность в топ:е О. 14.6. г) Воспользоваться задачей 7.11, 1 14.9. а) Аед = ~ у (т) >Хт; б) А*у = >у (>); 1 1 в) Аеу = ~ гу П) г]г; г) Лев = ~ гу (е) г]е, о о 14ЛО. а) Ае: т-е гп, Аех (хи хи ° ° г т„, О, О, ...). б) А": т-е пг, Аех = (2>хг, йгхг, ...). в) Ае: пг-е ж, А*х = (хп хг, ...).
г) А*: т-еж, Л*х= (О, хг,хг, ...). 14Л1. Форыузы те >ке, что я в задаче 14ЛО, но операторы действуют в случае а) пз 1, в Хь б) — пз 1г в 1„в) — из 1> в пг. 14.12. 5) А„: >г -е 1т, А„х = (0,0,..., О, х, х..., ). Так как з гдехЦ=Ц>(], то А, яе стршпжся к нулю при п->-оо сильно. 14Л3. 1*: 1>-е 1>, Хех = х. ИЛ4. А*: Н-е Н, Аех = (х, г)у, 14Л5.
Пусть существует последовательность 1> ш Н такая, что Ц]лг( 1 н !]ЛХ>~] ~ М Положим (Л, Ц>г) = (Хд АХ>); тогда>у» — линейные функционалы вН, причем (Хдгре) = (НЛ. Хг), откуда последовательность (Л, гре ) ограничена при любом Л гы Н. По теореме 8.2 последовательность Цгр>Ц ЦЛХ>Ц ограничена — противоречие.
ИЛ7. з) Р(Ае) Р(А), Аее = (хг, 2гг, 3хг, ...), 14Л8. в) Ае: ш — «1, Р(Ле) = хш пг, т (х,х,...); зг' хг, < оа г, Лет=-хЛ4,19, в) Р(А"'= х (г) ги 1, [О, !]г > з' п 1 АХ< оо, А*х(г) = . 14.Ю. Р(А*) — лквейвое ыпохз П) ~, х(]г г) г / 2 'Ь~г гообрааие функций ва [О, 1], принадлежащих Н'[О, 1] А "х(г) = Чх]АХ. И.21. Р(А*) — ортогональное дополнение к функции х(г) = г, А*х = 0 для х гн Р (А "), 1422. 1»: Се [О, 1] -е И [О 1], 1еу = ~ С (>, >) у (е) г)е, где о 1 ](е' — е ')(е>+ее г) при 0 <о<1<1, С(е,г) = г г — г г г-е 2(е — 1][(ег — е «)(е'+ее ") прп 0<!я,е~1, 220 для г = 1еу рсшггтыграсву>о задачу — г" -г- г = у, г'(О) = г'(1) О.
1423. 1*: Хг [О, 1] Н' [О, 1], с сЬ>г' Аеу = ~ у (е) с!г (е — г) 1е ],.1, 1 ~ у !О зй (е — 1) Ае. о о Для г = А'у решить краезуго задачу г" — г = у', г'(0) = у(0), г'(1) = у(1). ГЛАВА 4 Ц 15 15.8, Пусть а„аг, ..., а„— е13-сеть для М. Положим гг зг>г(ае) О г!1. 15ЛО.
Восгюльзоваться задачей 1.87 и теореыой 15Л. 15.12. Если Л бккоыпактно, а Н заикнуто, то таких точек может и пе найтись, — воспользоваться задачей 1.81. 15Л4. Пусть Л1 — бякоыпфггтиое множество, 1: М Л1 — изоыетрпя, 1(М) ~ ЛХ, ха ш ги ЛХ хе Ф 1(ЛХ), х„= 1(х г) (и ш Н). Тогда х„ез 1(ЛХ) для и рз 1, при атом множество 1(М) заыкнуто, а множество А = ЛХ'>1(,11) открыто, позтоыу нрн пекотороы е Р» 0 31 (ха) 1й ЛХ. С другой стороны, из бпкоыпактпостп М следует, что найдутся номера Ь, 1 такие, что Ь < ! и Цхе — хгг~ < е.. Тогда Цхе — хе->Ц < з и хг г ав Я,(хе) — противоречие.
15.15. Рассмотреть па плоскости множество А = (сов п)>2п, з!и я)'2п) (л ш Н) н поворот атого множества вокруг начала координат па угол )'2. 15ЛО. Достаточно доказать, что отображение Ф нзоыетрпчпо; то, что оно является огображепиеы «на», вытекает из задачи 15.14. Пусть для каждого достаточно малого е ) 0 существует е-сеть 41, ывожестза М такая, что Ф(М,) таквге является з-сетью н для любых хь х, ги М, Цхг — хг,'! = ЦФ(хг) — Ф(хг) В Отсюда вытекает, что отображевпе Ф изоыетрпчио. В самом деле, если а, Ь ся ЛХ, то найдутся х, тг ш М, таквс, что Цх, — а!~ < е, Цхг — ЬЦ < е, ЦФ(хг)— — Ф(а),:~ =- е.
ЦЧ>(х>) — Ф(Ь) ] < е. То>да ]Цо — ЬЦ вЂ” ЦФ(а) — Ф(Ь)~г/ < < (Ца — Ы вЂ” Цх,— ЬЦ/ + (Цхг — Ьг~ — Цхг — х Ц( + ]ЦФ(хг)— — Ф(хг)Ц вЂ” !(>Р(хг) — Ч>(Ь) Ц / + ! ЦФ(хг) — Ф(Ь) Ц вЂ” ЦсР(е)— — Ф(Ь)Ц ~ < 4е. Пусть ЛՄ— такое ывожества, состоящее из з точек М, что вевпчикз Ла = ипп ]гх,. — хХ] 1ФХ, ыаксиыальна. Есзп таких хрхчег>з иповгеств несколыю, то зыбереы из иих то, дзя которого в„= ~ ! хе — х] 1чь], х>,х)тв Мо ыаксиыально. Тогда ЛХ отобра;кается иа Ф(Л1,:) изоыетричво.
Сущестзозазпе 31„вытекает пе бпкоыпактпостп ЛХ. Пусть е ~ 0 прозззозьпо, Аггг — е(2-сеть для Л1, содержащая Ь алеыевтов. Тогда >Х»г < е. Пусть 1 — капыепьшее иатуразьное такое, что ф < е. Тогда .11>, — яг кокая е-сеть. 15Л8. Положять А, = М, Х] Л1> () ... (] М, п воспозьзозаться задачсп 13.17, 15.20.
221 г] Нет. 15.23. Пусть И вЂ” не бпкомпактпо, х. ш су (л ш Н) и не пмеег предельных точек, причем з.шмен>ы х. па повторяются, г„= — й>1,!х — х [ Определим /; 11 -«В, 1(х) = 0 длн х ш.>1, 1 Зечлл хтй а, (х,) и н случае а] /(х) = л(! — Ех — х,![/г,], а в случае б) /(х) = (1 — 1/л] (! —,'!х — х„[/г„). Убе;ппься, по в обоих случалх /(х) непрерывна ва,У, но в а) не ограничена, а е б) пе достигает точной верю>ей грани. !5.24.
Нет. Рассмотреть в В множество натуральных чисел н определенную на аем числовую функппю. 15.26. Воспользоваться задачамп 1,85 а) н 15.25. 15.27. Нет. Рассмотреть случай Х = К, У = Й,,У = ( — я/2, я/2), /(х] = !8х. 15.29. Да, зто связано с бикомпаптностью отрезка. И.37. Нет, так как оно не аамкнуто. 1539. Воспользоваться задачами 15.38 и 15ЛО. 15АО. Воспользоваться задачей Б40 а) или 15.38. 154!. Шар Я>(0) ие явлнется бнкомпактным множеством. Рассмотреть функцию х(с) = ]С вЂ” 1/2] и существующую в силу теоремы Вейерштрасса последовательность мвогачленов Р„(с), равномерно на [О, 1] сходящуюся к х(с). !543.
Пусть [2"с при с иа [О, 1/2" 1, * (с]= у (с) = ~ х (т) >Ст. прн с си (1/2", 1], з Тогда у„компактна а С [О, 1], но не имеет предельных точек в С' [О, 1]. 15.44. а) Нет. 5) Нет, в) Да. г) Нет. д) Да. е) Нет. >к) Да. 15.45. Будет, то»ько если Е>(С) = О. 15.46. Если бы компактное мво>кество !1 пе было нигде не плотным, то его замыкание содер>кало бы некоторый шар, что противоречит теореме 15А. 15А7. Доказательства — пндунцпой по А. !5.51, а) Тогда и только тогда, когда ~~~ йз (ао.б) Тогда и только тогда, когда Х„-«0 при ил=> а .
15.52. Если Б — подпространство С [а, Ь], состоящее из непрерывно дифферанцируемых функций, п х, ш б, хч — хе по норме С' [л, Ь], то х -«х, п по варке С [х, Ъ], следовательно, хз и> С. Таким образом, па б можно ввести две нормы и получить два банзхозых пространства СС [а, Ь] н ЪС> [а, Ь]. Тождественный оператор 1; ЪС> [а, Ь] -«ЪС [а, Ь], /х = х лпнееп и непрерывен. Позточу оператор 1-' непрерывен, обе нормы на 1, эквивалентны, едиппчньш шар в БС [о, Ь] ограничен па парме ЪС> [а, Ь] и, следовательно, компактен. По теореме 15.4 надпространство С капечнамерпо. 15.5о. Воспользоваться теоремой 15.6 к задачей 13.23.
15.57, Рассмотреть последовательность х„(с) с" (л ш ЬС). 9 16 16Л. а) Нет. Рассмотреть Ах, где х = с (лшю] а] Да в) Да, г) Да. д) Нет, 16.2. Нет. Рассмотреть Ах„, где х„= с>". 16.3. Только при 9(С) =О. 16А. Васс>ользоваться теоремой 16.2. 16.5. а) Нет. Рассмотреть Ах„где х = С "/л (л ш ЬС). б) Нет.
Рассмотреть Ах„где х = С"е /(л(л+ !)) (лш Н). в) Да. Шар Ю>(0) пространства С' [О, !] оператор А переводит в множество 91, лексащее в п>аре Я = 3>(0) пространства С' [О. 1], а всякое подмно>кестао 3 компактно в С [О, 1]. 16.8. а) Нет. б) Да. Воспользоваться задачей 15.50. в) Да. Воспользоваться теоремой 16.3. 16,10. Нет, 222 16.!2 1 А >у = ] С (ю с) у (с) >Сс,Н>(А — !) =С[0,1], о ,д, С., =( с (с — 1) прп 0( х( С (1, с (с — 1) при 0~( с(~ с >л, :1. 16.!5. Только если Х копечпамерко.
16ЛО. а) Дз. 6) Нет. В этом случае А мажет не быть непрерывным. в) Да. 16.17. Нет. Рассмот- реть последовательность операторов Р„: Сг -« Сь Р„х = (х>, х,, ... ..., х„ О, О, ...) для х = [хп х>, ...] >и Сь 16Л8. Рассмотреть по- следовательность операторов А „ = АР„, где Р— оператор из пре- дыдущей задачи.
16Л9. Пусть для х = (х>, х>, ...) >и 1> Ах = = (у>, у>, ...). Рассмотреть последовательность А„х = (у>, у>, ... ..., у, О. 0,,). 16.20. Пусть Н ш Н вЂ” ограниченное множества; так как оно слабо компактно, то з нем найдетсн слабо фундамен- тальная последовательность /„ (л си .>]. Тогда ',[ А (/„ — 1м)]с —— ч Э ~Р 7 з [ (/в — /, е ) [~ = а« +Нг, где Н,.
~, Н, ~, Так А=с А-> Ю чл как Ьл -«О, то пРи достаточно большом г бУдетН,(е и [(/а— — /ю, ел)[ (~е [[/„— / ([ ° Фкксировав г, в силу слабой сходи- мас~и последовательности с„выберем такое .у, чтобы при и, л» > .У каждое слагаемое в Я, ие превышало бы еН«; тогда Я«( е, ~А( ) А(/ — / )([з( сез н А вполне непрерывен. 1621, Если Ь„не стро- А( „— ю), мится к нулю прп л-«аа, то найдется подпостедовательиость Ь А такая, что для всех А ш Н будет )Ь„) > 51> О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
