В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Доказать, что [сг(х)[ — выпуклый функционал. 32.2. Пусть Х вЂ” бапахово ирострапство, М ~ Х вЂ” выпуклое множество, сргх) — определенный иа М выпуклый функционал такси, по ср(х) > 0 для любого х сн М. Докааать, что сро(х) — выпуклый функционал. 32,3. Пусть Х вЂ” бананово пространство; для хси Х положим с[(х) = "х", Будет лп функционал ср(х): а) выпуклым; 20! б) непрерывным; в) слабо непрерывным; г) слабо полунепрерывпым снизу. 32А. Пусть Х вЂ” рсфлекспвяое бапахово пространство, М ~ Х вЂ” ограниченное загакнузое выпуклое множество. Доказать, по: а) в М найдегся злемент с наименьшей нормой; б) для любого г ю Х найдется х ю М такое, что р(з, М) =1з — 'х1, 32.5. Пусть выпуклый функционал гр(х) определен па выпуклом множестве М банахова пространства Х, вг= = ш1 ср(х).
Доказать, что множество (хю М; ср(х) = т) хны выпукло. 32.6. Пусть выпуклый функционал ~р(х) определен на выпуклом множестве М банахова пространства Х. Доказать, что всякая точка локального минимума ~?(х) является точкой его глооальиого минимума. 32,7, Пусть га(х) — выпукльш функционал, определен. иый на оанаховом пространстве Х. Доказать, что для любого вещественного числа Л множество Сг = (х ш Х: <р(х) --Л) выпукло. 32.8; Пусть ~:(х) — такой функционал в банаховом пространстве Х, что для любого вещественного числа Л множество Сг = (х ю Х: ср(х) ( Л) выпукло. Следует ли отсюда, что р(х) — выпуклый функционал? 32.9.
Доказать, что функционал гр(х) в бапаховом пространстве Х является полунеирерывным снизу (слабо полунепрерывиым снизу) тогда и только тогда, когда для любого вещегтвенпого числа Л множество С, = (х ю Х: ~[(х) ~ Л) замкнуто (слабо замкнуто) в Х. 32.10. Доказать, что выпуклый функционал в баиаховом пространстве слабо полупепрерывеп' снизу тогда и только тогда, когда ои полунеирерывеп снизу. 32.11. Доказать, что выпуклый ио.тупеирерывпый снизу функционал, заданпьп1 в рефлексивном баиаховом пространстве Х, достигает наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом мпол:егтве М ~ Х.
32Л2. В пространстве С[0, 1) рассмотрим множество М = (х(1) ьз С[0, 1): !х(Е)[ ~ 1, х(0) = О, х(1) = 1). Для х(г) ю С[0, И положим 1 гр (х) = ) х. (() Й. о 202 а) Доказать, что множество М ограничено, замкнуто я выпукло. б) Доказать, ' что гр(х) — непрерывный выпукльш функционал. в) Достигает ли г1(х) иа М своего наименьшего значения'.
32.13, Доказать, что всякий слабо полунепрерывный снизу функционал в банаховом пространстве достигает своего наименьшего значения иа каждом бпкомпактпом мно;кестве. 32.14. В пространстве Е;[О, 1) рассмотрим функционал 1 Доказать, что г(:(х) достигает своего наименьшего значения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом множество.
Аш 32,15. Пусть Л вЂ” гильбертово пространство, ю '?'(Н) — самосопряженный оператор, ср(х) = (Ах, х). Будет лп функционал ср(х): а) непрерывным; б) слаоо пепрерывпьым в) слабо полунепрерывиым сяпзу. ? 32,!6. Доказать, что функционал ~р(х) из предыдущей зада ш является выпуклым тогда и только тогда, когда 32.17. В пространстве 1, для х = (х„ х„ .. Л ~э 1, рассмотрим функционал (р (х) = х ~ ~х„.
п=г всем 1, и дпф а) Доказать, что ~р(х) определен на ференцируем. . '? б) Будет ли ~р(х) слабо полунепрерывным спизу. 32Л8. Пусть Х вЂ” рефлекспвиое баиахово пространство, А ю 2'(Х, Х"), гр(х) = (х, Лх>. а) Доказать, что функционал фх) дкфференцируем по Гати к найти его производную. б) Пусть оператор А является положительным, т. е. для люоого хш Х выполняется неравенство (х, Л (х Лх) «О. Доказать, что га (х) — монотонный оператор. в) Доказать, что при положительном операторе Л функционал ~р(х) достигает своего наименьшего значения на 203 каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве Я с К.
32.!9. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, А »н «ы2'(Н), Ь езН вЂ” фиксированный злемент. Для х«юН положим»р(х) )[Ах — Ь)~'. Докааать, что гр(х); а) дифференцируем по Гато и найти его пронаводную; б) достигает своего наименьшего аначения на каждом ограниченном замкнутом выпуклом множестве М с Н. 32.20. Пусть в условиях предыду»цей задачи П Е' и в некотором ортонорьшровааном базисе оператор А определяется матрпцей А ~1 ,'~~~, Ь=~',), В какой точке достигается наименьшее значение функционала»р(х) на шаре о,(0) при различных г) ОТВЕТЫ П УИАЗАИИН ГЛАВА $1 1.!2. Строгое зк поченпе аозмо,кно 1.13, Р«ообще гозоря, не следует.
!.!7. Во»по,кео. !.25«. Нег. По «о ьич тогда дтл г = з/2+ у/2 нарушается аксиома треугольника. 1.30. а), з), г) 2 1 1 1 — — (2 + 1) " (2о + 2) ''' (2з + о) »о Тогда зю» — 0 прп я- сс в пространстзаъ «я !ь с», но рас' одптся в пространстве 1, б) д) Тогда з»"!-«-0 прп к-» оо з пространствах с, и ю, но расходится з пространстве !и 1.32. Для с» и !«устаноаить даа противоположныт зключешш. Включение с» с !«вытекает из того, что всякий пространства с можно приблизить, заменяя»ъзост» нуимости. ля»ш. Обратное аключенпе — пз свойств раакомерной сход 1.33.
а) Да. 6) Нет 1.34. а) Да. 6) Да. 1.37. Во всех четырех случаях мо.кнъ 1.38. а), г), д) Можно. 6), е) Нельзя. 1,30. а) Нет. Допочпение к не»»у не замкнуто. 6) Пет. Оно всюду плотно з прострапстае С[а, 5). 1.40. а) Да. Доказательстзо замкнутости испольбо копечпомерность, либо предстаалепие многочленоз ннтерполяционной формулой Лагранжа. 6) Нет. Последо т аа ельность многочленоа степени о может равномерно сходиться к многочлсну меньшей степени. 1А2. а) Да. 6) Да. 1.44.
Пспользозать рааномерную непрерывность. 1.45. Доказательство — индукцией по з. Пусть Р(!) — чногочлен ганой что П',о ), ()и) ((е) ! ~Р( ),!. С[а,ь! о 205 Убедкп,ся, что /!!с>'(о,ь] < 1.46, а) Гслп С' от ) .. ~~ о";, ( оо, б) Если а„— ограниченная последовав ==> . Если существует е ш К (е ) О) такое, что для лю- тельпость. 1Л8.
Е с б . „. противном с«у- бого и ш Ы выполняе>ся варавенство о, > е. В ее дополнение к параллслешшеду не за>ткнуто, !.'О. П одержит отрезок [х, у], х — ' у. Убедатьсн, что !'х+ у(! = ! х!! + !!у!!. Обратно, если !!х+ у , '= ! х(+ !!у,,''„причем х Ф О, сущ ствует д ) 0 такого, что у = Ьх, то пола' ' . — /!',', = у, у,. едитьса, по [и, Ь] ш а>(0]. 1.51.
Строго нормирован- ными являются пространства П и Ез [О, 1]. 1.52. А (] В и А+ В. 1.53. Нет, так кек А — Л = А + ( — А) че О. 1.54. Да. 1.55. Не . ) . ), ), г), д) Да. 1.66, Пусть Ь> — канечномерно. До- казательство — пндукцпей по и = ойдо бь 1.67. а), в), д), е), ж), к) Нет. 6), г), з), и) Да. 1.68. 6) Нет. Положпы тогда прп и-«оо х -«х = (1, О, О, ...) губ. 1.69. а) Да. 6) Н сп аведливо. 1.78. " о. !.>3. Обратное утверждение, вообще говоря, > р . .
. . В задаче 1.22 несепарабелько только прастранстя, пе- 1.81. Нет. В п ост во >г, в задаче 1.23 кесепарабельны пространства 3/[а, Ь] и У[, Ь], р ранстве П рассмотрим последовательность .г„ =-(О, О, ..., О, 1 + 1/«, О, О, ...) и влемгнт х =- (О, О, ..., 0....). 1.83.
а), б) Вообще говоря, нет. Рассмотреть /: В В, /(х) = 1>'(1+ х']. 1.88. Пспользавать задачи 1,87 и 1.85. 1.89, в) Вообще говоря, нет. 19!. Нгт. Пусть х, = Ип «>>и ш Л. Тогда х„-«О прп и -«оо, но /(х ) >4 О. 1.92. Да, б) Нет, Положим х ...а) 0 при 0< с(! — 1/и', и (с — 1+1/из) прп 1 — 1/из(г(1. Тогда ' в пространстве Юг[О, 1] х„(>) ->-х = О, на х„(1) = и у ,' х(!] = О. 1.93. а) Дунет, яо не равно>>ерпо.
б) Нет. Пример— пз задачи 1.92 б), в) Будет, но пе равномерно. 1.95. ) Д,. П ет. у) — у, — гипербола ху = 1,  — прямая у = р е утверждение, вообще говоря, неверно. 2,5, б) Н 2.3. Об атно оследовательность ет. и жч с> хи(>) = ~„—, «Ш М, —.~ /о! д=а фундаментальна в об мом пространстве.
в бент нормах, по не сходптсн в рассматрп а- рве) Пополнения пзометрпчески пзоморфны со- 206 ответственно пространстваы С[а, Ь] п Е>[«, Ь]. 26. б) Нет. 27. В задаче 1.22 все пространства — банаховы. В задаче 1.23 банаховыыи являются все пространства, кроме К и бр[а, Ь] При докааательстве полноты пространства У[о, Ь] используется то абстоятеяьство, чта фундаментальная в парме У[а, Ь] последовательность х,(>) оказываетсн поточвчна на [а, Ь) сходящейся к некоторой функции х(с). Остается доказать, что х(>] >и У[а, Ь] п что х (с) -«х(г) при и-«оо, 2.11.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
