В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Рассмотрим функцию 1 а(/) =- —,. (2 — Г)о при г)2, на [1, 2[, 1 + 3 (1 — () + 3 (1 — ()г — 3 (1 — г)о на [О, 1[, а(() = а( — П прп г ~ О. Доказать, что фушшня а(о) дваж- ды непрерывно дпфферс1щпруема на ( —, + ), и нарп- совать ее график, 27.20. В условиях задачи 27.19 введем на [О, П систе- му функций а,(г) а(01о — 1), (=О, 1, ..., и; Ъ=Ни.
Доказать, что для любой функция г(г) ~н Но[0, П такой, что г(1Ы =-0 (/ = О, 1,, и), выполняется соотношетгпе ортогональности ~ а," (() г" (г) о[1 = О, о и, следовательно, согласно задаче 27.2, а,(г) является ку- бическим сплайном, отвечающим вектору входных дан- ных х с коордннатамп х,= 2/3, х~, хиы = 1/6, х,= О прп й ~ ( — 1, (, г + 1 (при 1 = 0 х, = 2/3, х, = 1/6, х, = О, если й ) 1, а при 1= и х, О, если й ( и — 1, х„-, 1/6, х„= 2/3).
27.21. П . Проверить, что в условиях задачи 27.20 система а,(г) ((=0 1 — , ..., и) образует базис в пространстве ку- бических сплайнов в случае равномерной сетки етки, причем и г,(г) = ~"„$оа;(г), 1=-о ь определяется пз системы линейных где вектор уравнений 27.22. Пусть Х = Н'[О, )), Х. — пространство (л + 1)- мерных столбцов с нормой [и „[, '"- пых ~хо [+ т шзх [г — х„[, оио ю ою <и — т Рих =- ~ х ((:,) ы, (1), 1=.о где ы,(Е) (1= О, 1, ..., 27.8; б) доказать, что х — Р х = и) — система функций из аадачи п о = а~~о а;(о) о х (() — (1, ,) — [х ((;) — х(1 — )), ~о о-ц в) с помощью формулы Тейлора доказать, что при И- оо [[х — Рих [[я,(, „— — О ~- ~, если х я Н' [О, 1), [ — Рих) о, == Π—,1, еели Я Но [О, )). [ о/ 27.25.
Пусть Х = /о[0, (), Ли — евклидова пространство столбцов х = (х,)";=о с норман и ~х.()г =- ~ х~(г; — 1;,), 16о (о = йт "т = 1 7 '-- (х((о))о;-о ПУсть Яи — опеРатоР кУ- сочно-линейной ингерполнцпп, ставящий в соответствие вектору входных данных (х((о))) „линейный сплайн аю,((), Доказать, что; а) Яи а 2'(Хи, Х) и ~'3„1 < 2)'[; б) оператор Би является правым обратным к оператору Т„. 27.23.
Пусть даны банаховы пространства Х, Л'. (и ш гч) п операторы сум енин Т. ~ У(Х, Х„), Т„Х = Х„. Доказать, что если операгор Яи ш 2'(Л'„, Х) является правым обратным к оператору Ти (ион г[), то операторга Р„= 5„7и являоотся огрзппченпымп проекторами па Х„= Я„Х„(и ~ [ч), 27.24.
В условиях задач 27.22 н 27.23: а) доказать, 'гто проектор Ри моаопо задать в виде Пусть, далее 170 171 с, ч Т,х = — х (г) ()г с,— с с 1-1 (=1 Доказаттч что: к а) (Т, 1)-сплайны име)от вид Я„х„= ~ х,6,(С); б) ш(п (х(ь,(г,() = (~ х„()х . 27.26. В условиях предыдущей задачи доказать, что Т„~ Я(Х, Х„), Ит„(~1, д„~ Ы'(Х„, Х), Бл = (Т,), ', Р„Я,Тч — проекторы, и (Р„х — х( = 0(11п) (и — ) при хеи Н(г (). в 8. Приближенные схемы Галеркииа в 28. П усть Х, У вЂ” банаховы прост аиства А— оператор с ИА) (=Х ИА) ~ лишенного решения уравнения Ах у (у ш 17(А)) д е последовательности надпространств Х„~ %А), за- У„ = У и двг последовательности проекторов Р„ и и ч„, оследовательность п рпбли,кенпых уравнений (схема Галгркина) задается в виде <)„Ах„= <).у, х„ы Х . Ого частный сл ~чай боле об го в 1 е общего подхода, рассмотреиноТеорема 28.1, П ст ь а) ч.у =Ж „АР,) у ь в сполнены следующие угловая: решимы; ) Ч вЂ” <) ...
г. в. 1)риближенныг уравнения рагб) Р„х- х (п- -) и ) на каждол( точном решении х в) 9 у у (и- ); г) ((<)„Ах — СС„АР„х() — О (п - АА) на кажд решении х, т. г. выло на каж ом точном т. г. Выполнено условие аппроксимации( д) Ц„Ах„((> 7)(х„!( для каждого х (нХ д ого х„(н „ и каждого дв т — положительная постоянная т. в. вы по условие устойчивости. , т.
в. вь(полнгТогда точное и п риближвнныг решения единственны галеркинская схема сходится и д. оправе лива оценка ) ()х„— х() < 1Р„х — х((+ 7 '((<)„Ах — Я„АР„х(). Пусть надпространства Х„, ӄ— п-мерные, (ц'~ ) =.— А) у( )(=1 — биортогональная к нему система линейных функционалов. (огда оператор Р„мошно задать в виде а 1'„х = ~, <х, ",")> ц, ~=1 Аналогично, пусть (г,',"')А. „— базис в )'„, ()))ф," ))",-=1 — биортогональпая к нему система линейных функционалов; тогда <)»у =Х <у, |4"'> г'»'. Разыскивая галершшское приближение х„в виде и ч~~~ Ь(ю (а) з=1 и подставляя его в прнблииченпое .уравнение, получаем (а) (а) для определения ь(,..., ь„систему линейных уравнений Х <А р", ()А"'> ~',а) =- <у, )Р(,')>, й = 1, 2, ..., и.
(=1 Отметим важный частный случай, когда Х и У„являются соответственно линейными оболочками первых )1 векторов систем ((р,),=1 и (гА)А=(. Тогда системы (у,),, и ()()А)1=1 также мошно выбрать пе зависящими от п, 28.1. Пусть х„~ Х„(п ы )ч). Запись х„— >х(п - ) означает, что ()х. — Р„х(( — О при и — . Доказать, что если х„— ~х, у„— у (п- ), то для л(ооых скаляров а, () будет их„+ ()у„- ах + Оу. 28.2. Точка х ы Х называется Р-предельной точкой последовательности надпространств Х, Х„= Р„Х (п ы )ч), если Р„х — х ири и — „Пусть х — Р-предельная точка последовательности Х„. Доказать, что для того чтобы последовательность х„Р-сходилась к х, необходимо и достаточно, чтобы х„сходилась к х в пространстве Х. 28.3. Если всяка(й злемент х(н Х являешься Р-предельной точкой последовательности Х, то последовательность надпространств Х„ называют предельно плотной в пространстве Х.
Доказать, что если последовательность Х. предельно плотна в Х, то понятия Р-сходимости н сходпмости в Х совпадают. 28А. Пусть и а (н) (' ) (и) ьа) Ра = Х <х, у > цч' Ч.у = л <у ф. > ° 1=1 1=1 в Р„х = ~ (х, Лвгр,) г(г, г — 1 в Ру =Х(у Ф>Лг(!г. д„х = Р„х = ~ (х гР1) г(1 1=1 173 Гдг СИСТЕМЫ )гг) ), И )уг!! )~ ) а! )в ) гв )в т01анальны, Доказать, что Рв — ' 1' в ()!7 = ()в. 28.5. Пусть ы. > О, 1ф„') ~ аг„, А ю х'(Х, У), а х есть Р-пРезельпаи точка послеДовагельпостп иоДиРосгРанств Хгн причем ))х — Рвх))= а(аг,') при и — . Доказать, что иа элементе х йыполнено условие аппроксимации. 28,6. Пусть существуют линейно независимые системы гр, св г)(А), г(г,ш й(А*) (г, / ш гт) такие, что <Лг) н 11,> = б„ (1,7 ы й)).
Положим (Полученная схема называется схелай наиленыних квадратов,) Доказать, что в этом случае 1()„Лх — С),ЛР„х(' =. 0 длл люоого х ш.01Л), т. е. условие аппроксимации выполнено точно. 28.7. Пусть Л = А!+ Аз, причем для каждого из операторов Аа л1, условие аппроксимации выполнено. Дока- вать, что оно выполнено и длн оператора А. 28.8. Пусгь для любого хгнП(Л) выполняется неравенство !!Лх!1! ~ а)х1, а для любой последовательности у. !и ЛХ. выполняется неравенство 11).у ' ~ ))!!у„)!, где а, )1-- положптельяые постоянные. Доказать, что галеркипская аппроксимация устойчива с постоянной 7 = ар.
28,9. 1(усть оператор А действует в вещественном гильбертавам пространстве Н и для любого х гл П(А) выиолнлется неравенство (Ах, х) ~ 7(х, х), где 7 ~ 0 — постонпиая. Доказать, чго (Р„.4х„, х.) ~ (!х„'" для:побой иоследавательиосгп х„ ~ Х„. Вывести отсюда устойчивость галеркипской аипрокспмацпи. 28.10. Пусть в схеме напмепьишх квадратов (задача 28.6) В(х!) плотна в Х и для люоого х гн ХИЛ) выполняется неравенство )~Ах!~ ~ 7~)х~', где 7 — положительная настоянная, Доказать устойчивость этой схемы. 28.11. Доказать, что в условиях задачи 28.10 для схемы наименьших квадратов справедлива оценка ))х„— х1 ~ 7 !1()„у — у~! и, следовательно, схема сходится прп ()„у у (гг — ), 28.12. Пусть Н вЂ” пшьбертово пространство, Л: Н— П вЂ” линейный оператор с %Л), плотной в Н, Прове- 172 рить чго на Решешш УравиаипЯ Лх — У Р У еачиз ется гшнимум цгу~нггцпаиагга гу (х) = ~.1х — у' .
,, (1 !и М) — Ли- 28.13. В условиях задачи 8.!' пусть гр, пейна независиман система в Н Прпбчптсепное решение в х, = ~ с г(! будем разыскивать из требования в с с Доказать Выписать систему уравнений дчя сг, ! что этот метод лето и д Р тг(а) приводит к схеме наимень- ших квадратов, Х У„вЂ” и-мериые. До- 28.14. Пусть подпростраиства Х, . е кипа вытекает из стаи швосгп схемы алерк назать, что из у . азрешимость приолия.синь ур гх ° авиений.
Ос листва 28.15. Пусть Х, У вЂ” гильбертовы пр р операторы оргагоиалыюго р 1 и оектироваиия в устойчивости можно записать в виде в в в ,~~ ~„с„";,Лг) У 2, Ьгю !=11=1 а=1 ( '=1 2, ..., 11). зффпцпеиты с„(г ) = ,твепиом пшьбертовом иростраис-е,„' (А",'х'", .;) ~ 7,(~х!Р, (А г г) ~ 7-"'х" ' г"е "" ' словпе устойчиказать, что дчя оператора Л выполнено условие П= 1, (О 1) ассмо пм о е а- 28.17. В пространстве тор Лх =- — —, с областью оп еде. тор х =- — —. ' определения Р(Л), состоящей гг ге ио ифференцируемых на,, у 1 нк- (0)— овлегворяющих граничным условя — в П систему эчементов г(, = гав= х(1) = О.
Выаерем в 72 в!п)гя( (й !и 1), одновременно координатную и проекционную; тогда в Доказать, что: а) ]Р„!)= 1; п б) РтАх = Х ь«я~ (х,1у«) 1г» АР,х, откуда Р„ЛР„х— «=1 — Р Ах=Π— для всех х1и1)(А), т. е. выполняется условие галеркинской аппроксимации. 28А8. В п т рос ранстве 1,[0, 1] рассмотрим оператор Ах(С) с(С)х(С), где с(С) — непрерывная на [О, П функ- ция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
