В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 27

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 27)

На [О, 1) аада- ется равномернал сетка с шагом т =- йг . 11з теорнп обыкновенных дпфферепцпальных уравнений известно, что задача Ах = у, где у = (), Ы, пмеет едпнственное классическое решенно. 26.39. Рассмотрнм разкоспгуго схему б) Доказать неравенство !(1 + )»т) — е'! ( 2 )'те' и семейство разностных схем (т1С[[(1, т) О) е(»+т) — е (О = Сх(1), х(0) а. (7+ тС)'"а — е н а) Проверить, что хИ) =ее'а — точное реше, (1) ние, х т а — единственное решение разностной схемы. б) Доказать, что в Ы(Х) при т - + 0 [7 -(.

ХС)и' - ее», в) Дать оценку для ~[х(1) — х(»)1 прн т - + О. 26.42. Ра ссмотрим на [О, Л задачу коши для д»г»„'.ференциального уравнения 2-го порядка ܻ— 2 + ( ) — + с (») х (1) = у (»), х (0) = а, х' (0) = 6. Запишем ее в виде системы »»е — „— и(г) =О, йг ии —, + Ь(1)и+ с(Е)х(Г) = у(1), х(0)= а, и(0)-[3. а) Доказать, схема » — «» 1 что при равномерной сетке разностная и» 1 = О, 1 1, 2, ..., ю; х = сс, и — и. »-1 — + Ь(С»,) и;, + с (»» 1) х; 1 = у (»» 1), 1= 1,2, ...,и; и -(3 сходптся, причем У.

аппраксимирует х(1) а й„ап мирует х'[»). , а й. аппроксив) Привести соответствующие оценки. »62 и с его помощью оценить [[х„— Т„х~— и 26.41. Рассмотрим на [О, + ) задачу Коши с постоянной матрицей С (х ш Е'): »»е З- — Сх, х (0) а 26.43. Доказать, что в условиях задачи 26.42 разпостная схема е»+1 — 2и»+ е» е» вЂ” е» + Ь(Г»,) — »+с(1»,)х» 1 у(Г,,), х хе 1 й т 1=1,2,...,и — 1; х,=а, однозначно разрешима н сходится, причем х = (хЛ»=, ап- проксимнруетхИ),ах,='[ ' [ аппроксимируетх П). В . задачах 26.44 — 26.47 рассматривается краевая аадача 62 — —., + е(г)х(») =у(»), ген[0,1), х(0) = — х(») =-.О. А аппроксимирует исходную задачу со 2-м порядком, если точнов решение имеет на [О, Л ограниченную четвертую производную.

26.45. Доказать неравенства (х, = х„О): и 1 и а) — ~ (х,+1 — 2Х, + х, ) х = ~ (хй — хй 1)2; ° 1 й-1 П-1 и б) 0хи6'-,3',[х.)2( —,* ","У; (хй — „,)', ° 1 й=1 26.46. Пусть сИ) ~ 0 на [О, Л. а) Записать разностную схему задачу 26.44 в матричной форме А„х„-у„. 112 163 З Х у — С[0 Л, е(»), уОЛ С[0, Л, Ах + с (1) х, ЖА) — множество дважды непрерывно дифференцпруемых на [О, Л функций хИ), удовлетворяющих граничным условиям х[0) х(Л О. Для равномерной на [О, Л сетки Х„- У. — пространства столбцов высоты и — 1 и-1 и-1 х„= (х„)й 1 с нормой зх„[ье=т с„[хй[, операторы суже- .1- 22 ч2 г й-1 ния Тих = Тих = (х (»й))й -,'.

26.44, Доказать, что разностная схема " '+е(»„)х„=у(»„), й 1,2,...,и — 1; хе-— -хи=О б) Пользуясь неравенствамсг задачи 26.45, доказать априорную оценку (.1„.к„, х„) ) 2>Г»[» «с,;», откуда, согласно задаче 26.19, следует устойчивость разностной схемы. 26.47. Пусть точное решение хОЛ имеет на [О, Л ограниченную четвертую пропзводнусо, у, = гор ~ х ' (!) ~, се(».>1 х — решение разпостпой схемы задачи 26А4. а) Доказать, что справедлива оценка т,>' )/Т ~!х„— Т„х;;„ь ( з »> б) Пользуясь задачей 26,16, док;>вязь, что 1 х« — Т„х ,'>, тг .=- >пах [ х„— х (с, ) [ ..

1«»л» >1 3>» и 27. Интерполяция сплайнами Пусть Х, Х вЂ” п>льбертовы пространства, причем Х = = ТХ, где Тш:х"(Х, Л) — оператор суженпл в тергпшах $26. Пусть У вЂ” гиги осртово пространство и оператор Л сп.х'(Х, У).

Элемент г >и Х называется сспгерпо.ся>!ссо>спьыс сплайпогс ((Т, А)-сплайпо.и), соответствующсси «вектору входных данных» х Х, если [>Аг~,:~' = ий (Ах/(' «пс->(«) Через Т '(х) здесь обозначено множество проооразов элемента х прп отображении Т, т. е. множество решении уравнения Тх = х. Паиболее часто Т вЂ” оператор сужения функции иа сеточное мпоя'ество. Таким образом, ннтериоляционпый сила!ш г осуществляет в определенном смысле оптимальное продолл еппе (интерполяцию) алемевта х в элемент пространства Х.

Теорема 27.1. Если линейное ячпогообрагие Ас«>(Т) газ>кнута и М(Л) 0 М(Т) = О, то для каждого х ш Х существует еди>сствекпый интер>голяйиоииый (Т, А)-сплассп г. Теорема 27.2. Пусть оператор А нор>иально рагреишлй гго ядро >У(А) коиечполер>со и >>'(А) 0 )У(Т) = О. Тогда линейное счпогообрагив ЛТ«(Т) замкнуто, 1С'> 27Л. Пусть г — пнтсрполяппонньш (Т, Л)-сплайн.

До- казать, что для лю>ых аж Х таких, что Тз= О, выполня- ется соотношение ортогопальпосы> (Лг, Лг) = О, 27.2. Пусть элемент гш-Х ш>терполирует х, т. е. удов- летворяет соотиошешпо Тг = х, так что для любы:с г >и !»'(Т) выполняется соотношение ортогональпости (Аг, Лх) = О, Доказать, что г — интериоляциоипьш (Т, А)- сплайп.

27.3. Пусть Х = Г[0, Л, У = Е„[0, Л, Х = Е"+>-- се- точное пространство функций, зад>тп»мх па сетке 0 г, ( (, =... ( г„= 1, Т вЂ” оператор сужения функции х(!)ш П>[0, Л па эту сетку. Пусть.4х ==- — „, А гн.х'(П' [О, ![, ьг[0, !)). Доказать, что кусочно линейная функция г (!) = х + (" ы — ' ), ' ' с>+с — с,' !~[!с,ссе>[, 1=0,[,,п — 1, интерполнрует вектор х= (х;);=-«, удовлетворяет соотно- шению ортогональиости и, следовательно, согласно задаче 27.2, является иптерполяцпоипым сплайном (такие сплай- вы называсотся лсм>ейпыли). 27.4. Пусть О,(!) — характеристическая функция отрсз- ка [(„-„!«) с 0„(!) = 1 иа [!« „г,) и 0„(!) = 0 впе [!«-и с,[, Проверить, что п ,(!) =Х'"-"" '+'"' 'ь-'О.(!).

»=с с — с ь «-с 27.5. Пусть г, У вЂ” два (Т, Л)-сплайна, соответствую- щих одному и тому же вектору х. а) Пользуясь соотношением ортогональностп, доказать, что (Аг, Лг) = [~АгР=СА»(-'. б) Используя аадачу 3.10, доказать, что А(г — г) = О, т. е. что г — г ш с'>>(А). 27.6. Пусть !У(А) О Ж(Т) = О. Доказать, что каждому х ж Х соответствует ие более одного (Т, Л)-силайна, 27.7. Используя задачи 27.4, 27.5, доказать, что ку- сочно линейная функция является единственным интер- поляциопным линейным сплайном, 27.8. Расс»сотрсгхг на отрезке [О, Л систему функцнй- «шапочек»: 1 — !(сс на [О, гс), ~»( ) 0 на [(„г„[; н 1 !Сб г — г,, 'г "г-г аг, (/) '!+г — г, 0 вне [/г-!, /,, г[, / = 1, 2... и 1; а 0 ы„(/) = Г й па [О, /а ,(/) =~» — — '16,(/), а(/) = ' "-' Еа(/) и а-! ! — г, ы!(/) =- ' ' 6,(/) + — 6!,г(/), 1= 1,2,..., и — 1.

! — г-1 27ЛО. Проверить, что аг(/) =- ~ х,ы,(/), т. е, что си!==а стема ы,(/) (г 0 ) (' О, 1, ..., и) образует базис в пространстве линейных сплайнов. 27Л1. Для случая равпомерной сетки й = //г, и)г = 1 П О, 1,..., и) доказать, что па [О, П /г !а, (/) = аг ( —, — /), г =- О, 1, ..., и, где 1+ а на [ — 1,0), ы(а) = 1 — г на [О, 1), 0 вне [ — 1, 1!. 27Л2.

Пусть Х На[0, [), У Е„[0, [), У =Е"+' и> 1, Отт) Ои Тх (/)= (х(/,))!-а Ах(С) = х" И). Доказать что /г/(А) О и, следовательпо, задача отыскания (Т, А)- сплайнов имеет не более одного решения. 27.13. Д А/г/( Т . Доказать, что если линейное многооб а р зне ) аамкнуто, то аффипное многообразие АТ '(х) тактке замкнуто. 166 а) Нарисовать графшгп зтпх функций. б) Доказать, что в условиях задачи 27.3 аг,(/) является сплаином, отвечающим вектору входных данных х' с координатами х, 1, ха 0 (й 1, 2, ..., 1 — 1, /+ 1 ..., и). усть 6,(/) — характеристическая функция отрезка [/г-г, гг! (г 1, 2, ..., и), Проверить, что ка [О, П т 'а т, т, х„— *гг г ~а — ! *з-а 167 27Л4.

С помощью теоремы 15.4 докааать, что в усло- виях аадачи 27.13 существует единственный злемент у, реализующий в пространстве У расстояние от 0 до аф- финного многообразия АТ '(х). Доказать, что существует сплайн а, интерполирующий х, и он является общим ре- шением уравнений Аа - у, Та = т. 27.15.

С помощью задач 27.13 и 27.14 доказать, что в условиях аадачи 27.12 (Т, А)-сплайн существует, 27Л6. Назовем функцию зг(/) кубцческпм сплайном, интерполирующпм сеточную функцию х = (х!);„а, если: 1) а,(/) ы С![О, [[; 2) па ках'дом отрезке [/ь /,~г! гг(/) явтяется многочле- ном не выше третьей степени; 3) Та, х; 4) аа (О) = аа (/) =- О Пусть ка [/, йаг) (г = О, 1,..., /г — 1) '-г где р = [). = 0 согласно и. 4). Доказать, что на [/„ /,.гг! (!=О, 1,..., п — 1) (/~г ! — ')' (' — ',)' 'з(/) — (! „+ 1 „+ "г-г !+1 + х' 6 т + хгг-! — 6 где т„, = /и, — /г. 27,17. В условиях зада!п 27.16: а) вычислить а,г(/), б) прправппзая за (/, — 0) и аа (/, + 0), дг качать, что постоянные рг, рг, .

„р.-! удовлетворяют системе урав- нений о " о о о о . 6 "",з к'о о .. о ~~,'( йо 1 е ъз ( о ." о о о о .. ъз~~й„[ (о) г (Л) гр) е ) доказать, что эта система имеет единственное решеппе, и, таким ооразом, для каждого х существует един- ственный кубический сплайн о,(Г). 27.18. Проверить, что для кубического сплайпа г,(г) выполняется соотношение ортогопальпостп и, следова- тельно, согласно задаче 27.2 го(г) есть (Т, А)-сплайн в угловкях задачи 27.')2. 27 19.

Характеристики

Список файлов книги