В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 23
Текст из файла (страница 23)
В каких случаях оператор Г(и,) непрерывно ооратпм) 23.22. Пусть функции )(х, я, и) непрерывна по совокупности переменных прп а - х ( Ь, — < и ( о вместе с частной производной ).(х, я, и), Доказать, что интегральный оператор Г: С[а, Ь1 — С[а, Ь) ь Г (и) = и (х) — 1 1 (х, я, и (я)) г)я а дпфференцируем в любой точке и„(х) ы С[а, Ь) и ь Г' (и,) Ь = й (х) — [ )„,(х, я, и,(я)) Ь (я) й.
а 23.23. Найти производную Фреше по и в точке ия — = 0 интегрального оператора Г; С[0, п1- С[0, л1 с параметром ), Г (й) = и (х) — 3, ) соз (х + и (я)) й. о Найтл все решения уравнения Г'(0)Ь = созх. 23.24. Пусть оператор Г: Х- У непрерывно дифференцнруем в каждой точке отрезка [х„х.1 <= Х. Доказать формулу конечных приращений 1 Г(х,) — Г(х,) = ) Г'(х, + 6(хя — х,))(х, — х,) ь)6. ь 23.25. Доказать, что если оператор Г: Х- У непрерывно дпфференцпруем на отрезке [х„х ) ~ Х, то он удовлетворнет условию Лппшпца )Т(х,) — Г(х,)1 ~ ~1)х, — х,'), где 1 = зир ![Г'(х) 1. т [~и хя) 23.26.
Пусть оператор Г: Х- У непрерывно дпфференцируем на отрезке [х„х,.) ~='Х и Г(х) 0 на [хо х,). Доказать, что Г(х) постоянен на [х„х,). 133 23.27. Пусть оператор Г: Х У непрерывно дпффереицнруем на выпуклом множестве Й ~ Х н Г(х) = О на Й. Доказагь. ыо Г(г) постоянен па Й. 23.28. Пусть опера~ар Г: Х У дифференцируем на выпуклом множестве Й с Х, причем для любых х„х,ы ш Й выполняется неравенство ЗГ'(х,) — Г'(х,)!~ Ь х, — х,1, т, е. Г удовлетворяет на Й условию Лппшпца с постоянной 1. Доказать, что для любых хп х„~ Й справедливо неравенство [[Г(,)-Г(,)-Г (,)(.,-.я); а-,'1)х,—.,[. 23.29, Пусть оператор Г; Х- У дифференцируем на выпуклом множестве Й с Х и производная Г'(х) непрерывна в точке х,. Доказать, что для любого е ) 0 найдется б = Ь,е, х,) > О такое, что ~Г(х) — Г( у) — Г'(х,) (х — р) ~! ( е ')х — у) для всех х.
у и Й 0 Я,(х,). 23.30. Пусть 1„(х) (и ~.ч) — последовательность функ- ций, дпфференцпруемых на ( —, ). Пусть, далее, функ- ции )„(х) п пх первые производные равномерно ограни- чены п равностепенно непрерывны на каждом отрезке [а, Ь1. На пространстве и ограниченных последователь- ностей определим оператор Г; Г(х„х„..., х„...) = (г,(х,), Дх,), ..., 1,(х ), ...). Доказать, что область значений Г лежит в пространстве вь, что оператор Г дпфференцпруем в смысле Фреше, и найти оператор Г.
- 23.31. Найти производную Фреше функционала ь гр(х) = ) Ф(1, х(1), х'(1)) ь)1, а о определенного на банаховом пространстве С'[а, Ь) непре- рывно дпфференцпруемых на [а, Ь) функций х(1), обра- щающихся в нуль на концах [а, Ь1, Функция Ф(х, у, з) предполагается дважды непрерывно дпфференцируемой. 23.32. Пусть Г,х' — й-степенной ограниченный опера- тор. Доказать формулу бинома Ньютона Г,(х+ Ь) = ~~ С~ьГьх 'Л'.
г о 133 23.33. С помощью формулы бннома Ньютона пз пре- дыдущей задачп доказать, что всякий й-степенной огра- ппченпьш оператор Г„х" дпфферепцируем в смысле тре- ше в любой точке х и (Г,х")' = йГ,х' ', г[(Гах', й) = йГ„х" 01, 23.34. Доказать, что всякий й-линейный ограниченный оператор непрерывен в любой точке х = (х„ха,, х„). 23.35. В пространстве са' ш-мерных столбцов х,=(х, ),.„хг=(х, ); „)Е=(уэ); — 1 рассмотрим оператор у =Г(х1, х,), определяемьш форму- ламп Доказать, что Г~хо ха) является бплпнейным огранпчен- пым оператором, Пайтп оценку его нормы. Нак выглядит соответствующпй квадратичный оператор? Ногда оператор Г(х„ха) спмметрпческпй.' 23.36.
В пространстве С[0, 1) рассмотрим квадратпч- ный интегральный оператор 1 (Ггх') (Е) = х (Е) ) К (Е, г) х (г) й, а где фуннцпя К(Е, г) кепрерывна в квадрате 0 < Е, г < 1. а) Найтп соответствующпй ему бплпнейный спммет- рлческпй оператор. б) Вычпслпть производные Гаха люоого порядка. 23.37.
Пусть Сг[0, Е! — бенахово пространство дважды непрерывно длфференцпруемых на [О, Е! функций хИ), удовлетворяющкх транпчным условиям х(0) = х(!) О. Рассмотрим оператор Г: С-[0, Й вЂ” С[0, Е), Г(х) =х' + + Е'Е, х), где функцпя Е(Е, х) непрерывна вместе с част- ной пронзводной Е'„(Е, х) по совокупностп переменных в прямоугольнпке 0 < Е < Е, (х( < г. Пусть х.(Е) ш С [О, Л н Ехаг < г, Доказать, что Г'(х,)г = га + Е„(Е, х,(Е))г. 23.38. Рассмотрпм нелинейный дифференциальный оператор Ег Г(.е) = —, + а[ох(Е), е11 действуюп1дгй пт пространства С'[О, 1] в пространство С[0, 1). а) Вычислить г('Г(ха; й) Й ш К), где х,(Н = Е. б) Разложить Г(х) в ряд' Тейлора в точке х,(Е) = Е.
23.39. Пусть ~ Гах — степенной ряд пз Х в У. Дог=а казать, что область его сходпностп П является С-звездой вокруг точкп О, т. е. как только х 1н О, то ),х ш 1) прн ().[ <1. 23ЛО. Доказать, что радиус сходямостя р. степенного ряда может быть определен по формуле Пошл — Адамара Р а аа 23.41. Пусть р. > О.
Доказать, что прн любом р ан ш (О, р„) степенной рлд сходится в шаре ла(0) абсолютно и равномерно. 23.42. Пусть Х = К', 1' = В, Для степенного ряда ,2а (хгхг) найтп область сходнмостп (э н радиус схода- 1 а МОСТИ Еэа, 23.43. Пусть р >О, Доказать, что разложенпе Г(х) в степенной ряд едянствепно. 23.44. Пусть ядро К(Е, г) непрерывно в квадрате а < ~ Е, г < Ь. Рассмогрпм действующий в пространстве С[л, е) нелинейный ннтегральпый оператор ь Г(х) = х(Е) + ~ К (Е, г) е™лг.
а Доказать, что Г(х) разлагается в ряд Тейлора с р„+ и выппсать его разложение. 23.45. В пространстве С[0, Т) рассмотрпм оператор Г(х) = Доказать, что Г(х) определен на шаре [х) < Т ', аналптпчен в точке х, = 0 н р. = Т '. '123.46. В пространстве С, (см.
задачу 7.31) рассгштрпм оператор Г() =, "" Доказаттч ыо Г(х) определен в шаре ':х~', <еа, апалптнчен в точке х,=О и р.=ел. 135 $24. Прпнцпп сжпмаюшпк отображений, итерационный процесс Ньютона, принцип неподвижной точки Шаудера Нелш»ейный оператор Ф(х), отображающий лежащее в банановом прас»рано»ве Х мнон,ес»во ц) в себя, назы- вается сз»гилаюи(ил, если рущсствует число ц ы (О, 1)»а- кое, что для люоыя х, у ~по) выполняется неравенство "Ф(т) — Ф(у)'! ( ц~]х — у]], 'Хпсло ц па:»ывается коэффициентом сжатия. Точка х" называетсн неподвижной точкой оператора Ф х), Ф: Х- Х, если Ф(х") = хе.
Те о р е и а 21.1, Пусть Ф(х) является сжилпющшч операгорол на залкнутол лножестве С). Тогдп существует и единственна в С) неподвижная точка .т" оперптора Ф(х). Последовательность итераций .т„=Ф(х,,), п -1,2, ..., где х, »и() произвольно, лежит в () и х„хь при и = Справедлива оценка скорости сходилости ]]х„— х' ,'! (1 " ]] Ф (тв) †.та], Следствие.
Пусть оператор Ф(х) отображает замк- нутый шар Я,(п) в Х, является сжатиел на этом»паре с козффициенточ сжатия ч. прочел ]Ф(а) — а(]((1 — д)г, Тогда Ф отображает Я,(а) в себя и на С) = Я,(п) справед- ливо утверждение тсорнчы 24.1. Теорема 24.2, Пусть в шоре Я,(х,) выпорхня»отся следуюи»ие предпололсения: 1) оператор Е; Х вЂ” У д»»фференцируе,ч и его произ- водная удовлетворяет услови»о Липшица, т. е, для люо»ях х„х, ы 5,(х,) выполняется неравенство !г (х,) — Г (х,)~(-- 2) оператор Г(х) непрерывно обратил и для любого х»н Я,(х,) выполняется неравенство )1]Е (х)) ':] (»и; 3) точка х, такова, что ]]Е(хч)1] ( О (!, т, ») — посто- янные).
Тогда, ес.т д ==- — тН»), »' = т») г у (зч то 2 ~=о уравнение Г(х) = О имеет решение х* ы о, (х,), к котора- лу сходится с.»едующий итерационный процесс Ньютона» х.=х,,— (Е (х„,)] гр(х„,), псе ч], начатый с х„. Ско/юсть сход»с»»ости х„к хь .кажет бь»ть 124 оценена из неравенства » — » »] х„— хч 1 — ч Теорема 24.3, Пусть выполняются предположения 1), 2), 8) творе.ны 24.2. Если 2тЧ») ( 1 и 1 — 1~1 — 2ю' О) » »' <г, зн» то уравнение Г(х) =О илеет в шаре Я, (х,) единственное решение х*, к которолу сходится начатый с х, модифицированный процесс Ньютона —, — (Р'(х,)] 'Е(х„,), и и ч.
Справедливп оценка скорости сходилост»» (1 — ~1 — 2т'"'1э)) 'г' 1 — 2ттгб Т е о р е м а 24.4, Пусть оператор Ф(х) отображпвт замкнутое ограниченное выпуклое лножество Р банахова пространствп Х в себя, Тогда, если Ф вполне непрерывен на Р, то он илеет на Р неподвижную»очку. С л е д с т в и е. Если непрерывный оператор Ф отобрпжает залкнутое выпуклое лножество Р банахова пространства Х в козтпктное лнозсество Р„~=.Р, то он имеет нп Р неподв»»гену»о точ»гу.
24.1. Доказать, что оператор Ф: В В, Ф(1) =1' является сжпмающлм на шаре 5,(О) = (1»нК: 11] (г), где г(1/)3, но не является сжпмающпм вблпзп неподвнжнык точек 1=1 и 1= — 1. 24.2. Пусть функцпя х=/(П задана и днфференцпруема нз (а, Ы и отображает этот о~резок в себя, причем тая ] /' (1) ] с- !. (а,ь» Доказать, что уравненпе /(1) =1 имеет на (а, Ы едннственное решение. 24.3.
Пусть фуньцпя х =/(1) определена и дпфференцнруема на всей веществешюй осн и для любого 1ыВ выполняется неравенство: а) ]/'Н)] (), ( 1; б) ]/'(1)! ~).) 1. Доказать, что уравпенне /(1) -1 имеет, и притом единственное, решение. 24,4. Расс»»отри»» уравнение 2(е' = 1 (»ы В), 137 а) Доказать, что это уравнение пмеет едппствеппое решеш!е п что это решеппе ле'кит иа интервале (О, 1). о) Привести уравнение к виду, пригодному для составления итераций, и определить число птерацнй, необходимых для того, чтобы приближенное решение отличалось от точного не более чем на 0,01, если в качестве начального прпблпженпя прннято г„= О.
в) Составить и реализовать па ЭВ5! программу для нахождения приблшкеипого решения, выводя па печать результат ьюкдой итерацпи, г) Решпть зто же уравнение с помощью стандартной программы и сравнить результаты. 24.5. Доказать, что всякое непрерывное отоора:кенпе отрезка в себя имеет неподвижную точи). 24.6. Пусть задано уравнение Е(!) = О, где у = Е(!)— непрерывно дифференцируемая на [а, 61 функция. Рассмотрим равносильное уравненпе à — ).ЕН) = Г, где ). — й.
Всегда лп значение параметра ), мол;по выбрать так, чтобы оператор г — ! — 7.Е(!) был сжитзазоип!зз на [а, 61 24.7. Рассмотрпм уравнение С."+ Г+ 1 =0 (( — В). а) Доказать, что зто уравнение пмеет единственный вещественный корень, и найтп отрезок, на котором он лежит. б) Привести уравненпе к такому виду, чтобы езо можно было решать итерационным методом. в) Найти чпсло итераций, необходимьгс для нахождения корня с погрешностью, не превышающей 0,01. г) Составить н реализовать на ЭВ5! программу для нахождення приближенного решения, выводя на печать результат каждой нтерацпи.
д) Решить зто же уравненпе с помощью стандартной программы и сравнить результаты. 24.8. Прп движенип планеты вокруг Солнца по эллиптической орбите ее положение в момент времени отсчитываемым от момента прохождения перигелня, определяется уравнением Кеплера Š— ез!пЕ = 2л — ', ' у' где Š— определяющая положение планеты зксцентрпческая аномалия, е — зксцентриситет орбиты (О < е < 1), Т вЂ” период обращения по орбите. а) Доказать, что уравненпе Кеплера имеет для любого ! единственное решение, которое определяет функцию Е(1) ж С[0, Т1. б) Прпнпзз, я с = ОЛ, ! ~ [О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
