В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Т1, опрелелпть число итерацпй, пеооходпмых для нахождения Е(!) с погреш- ностью, пе превышаюощей 0,01, если в качестве нулевого ирнблп;кения взято Е, = О. в) Составить программу для ЭВ5! нахождения при- ближенного решения и реализовать ее, выводя на печать резулыат каждом итерации. Постропть график Е(!) па !О, Т) при е = 0,5, придавая ! звачсппя с шагом Т712з. г) Составить программу для ЭВ5!, позволязощую оп- ределить завпснмость Е(ТМ от е, у штывая, что с из- менешшм е меняется и число птерацпп,' нсобходпмыч для достпжения погрешпостп, не превышающей 0,0!.
С помощью агой программы построить график Г(Т) П прп е ж [0,25, 0,751 с шагом 0,05. 24.9. Рассмотрим уравнение х(!) = г+ ехН'), где О« 1, )г>1. а) Доказагь, что зто уравиезщс имеет едппствеппое решенио х(() ж С[0, 11. б) Полагая х„=О, е =0,5, определить число итера- цпй, необходпмых для нахождеппя х(г) на [О, !1 с по- грешностью, не превышающей 0,01. в) Составпть программу для ЭВ5! и с ее помощью построить график хОЭ па [О, 11, придавая ! зпаченпя с шагом О,! нрп с = 0,5 и А, пзмеияющемся от 2 до 7 с шагом 1.
24.10. Доказать, что при 0 < а < 1 птерацпп хзег = х„— — (ха — а), х = О, л ~ ь(, сходятся к ) а. 24.11. Доказап, что последовательность лепны т дробен ! .), ! !' 2 —, 2 имеет предел, п найти его. 24.!2. Доказать, что в пространстве Е" линейное отобран'ение Л: Е" — Е" с матрпцен 'за„'~ ((, ) =-1, 2, ..., и) будет сжпмающпм, еслп Н Х [ап[з < 1. ! 24.13. Дока;ыть, что в пространстве с" лппейиое ото- бран!ерше Л: с" - с" с матрпцей га„9 ((, ) = '1, 2, ..., и) 139 будет сжпмаюшпм, есзн я шах з [аг,~(1.
г з~ зя г=г 24.14. Доказать, что в пространстве !" линейное отображение А: !'- !" с тгатрггцегг",а,," ((, ! = 1, 2, ..., и) будет сжимающим, если я пьях ~~Э~ ~ по[(1. гзгся г=-г 24.15. Следующие системы линейных алгеоранческпх уравнений преобразовать так, чтобы пх мо'кпо было решать итерационным методом: а) 2х+у 2, б) Зх+у=гг, х — Зу 1; х+2у=3. Исследовать характер прпблия;еггия итераций и точному решению. 24А6. Рассмотрим в пространстве Е" систему линейных алгебраических уравнений Сх = Ь, где х, Ь ш Е", С ~~с„'з ((, ! 1, 2, ... и). Рассмотрим равиоспльнуго систему х = ОС+/)х — Л!ц где ). гн!г, ! — единичная матрица.
Положим А = ЛС+ / н составим итерации х„- .4х„, — ЛЬ, и гн Х, где х„г-= Е" — произвольно. Предположим, что выполняется следующее условие: с я 'ге В ~ сгг) )(и — 1) ~ с„. г =-1 -1 Доказать, что существует ). гн Й, прп котором птер, цпоппый процесс сходится к решешио исходной сис~етгьг. 24г.17. Рассмотрим оператор А: С[0, 11 — С[0, 1] Ах(!) = Л ~х(т) г[т+ 1. о а) Доказать, что прп ().[ (1 атот оператор является' сжизгающим н пространстве С[0, 1!.
б) Найти пеподвпл иую точку этого оператора прп Л= О,,ь в) Составить итерации, выбрав в ггачестве начального приближения х, — О, и убедиться, что оип являются частичнызш суммами ряда Тейлора длн неподвижной точки, г) Найти оценку погрешности, допускаемой на и-м шаге итерационного процесса, исходя из оценки остаточ- 140 ного члена в формуле Теилоря и пз оцсншг в теоред) 11меет ли р,гссматривяемьш оператор неподвижные точки ири ~)А ) 1! 24,18. Пусть Ф: Х- Х вЂ” такой непрерывный операто, иереводящпя гбггггахово пространство Х в своя, что некоторая его итерация являешься сжпмагощим па Х оператором. Доказать, что оператор Ф пмоет в Х неподвижную точку. 24.19.
Привести пример оператора Ф;,Х вЂ” Х, переводящего бягг;гхово просцыиство Х в себя. удовлетяорякгщего прп х, у гп Х х ч" у) условию !г!цх) — Ф(у)", ( ([~х — ус и ие имеющего в Х неподвп'кпой точки. 24.20. Пусть (/ — бпкомияктпое мяо;кество в баияхоп гост>аггстве Х, Ф: () ь) — оператор, удовлетяорягощий ирп хчь у условшо ~Ф(т) — (у,, х — у, „ зать, что опе), т, га ор Ф имеет в !/ единственную иеиодвпж- Т ную тоги) и чго пте)запои х„=Ф(х„,) (ггшЪ) сх~дятся к пей пргг лгггбгозг х„ш ~г.
Является ли оператор Ф сгг.иьгагогггггтгу 24.21. 1'зссгпмрпм уравнение х() — ).,[К(, ) (!) ! =-!(з) или (! — Л-1)х = Л где Л ш С, [(з) г= С[а, Ь[, К(г, !) непрерыв =... = ' ~К(з, !),'. а) С помощью теоремы 24.1 доказать, что прп и ~)А ( (1/(М(Ь вЂ” и)) дяииое уравнение имеет, и притом едияствеппое, решение .т(з) ш С[сц Ь!. б) Доказать, чзо ирп ~гА ( 1/(41(Ь вЂ” а)) х = (! — ) А)-'! = (!+ ЛА+ Л-'.1-'+...) ! я что А" — интегральный оператор с ядром ь К„(з, !) --.
) Л'(з, т) Л'„.,(т, !) г(т, и = 2, 3. и К, (т, !) == К (т, !). в) Доказать, что ряд Иегйггагга ~з Л' К„(з. !) .=г сходится равномерно в круге ~Л~ 1 (1/(11([г — а)) и его 141 сумма Л(г, г , ?.) (резольвента ядра) знал«тпчна по ). атом кпуге. чна по .в г) Доказать, что прн ~),'( «11(М(Ь вЂ” )) данного уравнения нмеет внд — а решенпе ь х(в) =((в)+ ).
[ Н(в, 1,2) Г(Г) (11 О вента в 24.22. Доказать, что прп (Ь[ «1НМ(Ь вЂ” )) а В(в, 1, Ь) непрерывного ядра К(в Н,' — а резольуравненням: в, удовлетворяет ь а) Л (в, Г, ),) =- ). ~ К (в, т) Л (т, 1, ),) г(т + К (в, 1); а ь б) Л (в, 1, Ь) = ), ~ К (т, 1) Л (г, т, 2) г(т + К (в, 1); ВВ(ь,ь).) ) а) — Л (е, т ) ) Н (т, 1, ) ) ()т. а 24,23. Рассыотрпьг уравнение х() — ),) в)хН)б1= г(в), ь где 1(е) ы С[0, 1). а) Докааать, что я нпя сходятся прп ~)ь[ «3. р д Неймана для данного уравнеб) Найти птерпроваппые ядра К„(г, Р ) 1 пеняя. р д Неймана и записать решен (ение данного урвав) Имеет лп анно 24 р д Неймана для уравненкя .24. Доказать что я ольтерра 2-го о 2- р да с непрерывным ядром сходится и и любом значепп~ параметра Х . ' .
, и а , и, следовательно, решение этого уравпення существует и и прп люооп ((ег(рерывпоп 24.25. Доказ . Д ' ать, что уравпенпе Вольтерра 2-го о а не имеет характерпстпческпх чнсел. -го рода 24.26. Оператор К: Х У р ': у оудем называть не асглеиваюи)иш на выпуклом множестве Р = Х, Р выполняется неравенство Ч'(х,) — Г(хь)(~ -; - ' х — х:)(.
Доказать, что непрерывно дпфферепцпруемый на выпуклом множестве Р опера Г( ) 142 тор х является нерасгягнва(ощпм тогда п только тогда, когда епр (, Гх (х)([~~1. енп 24.27. Пусть оператор Ф(х) отображает замкнутое выпуклое ь(ножество Р с Х в себя н непрерывно днфференцпруьм на Р, Доказать, что оператор Ф(х) является сл((гмзюпгп(( ка Р ьогда и толы;о тогда, когда в« р (( Ф (х) (([:.=- 4 ( 1. ево 24.28. Пусть оператор Ф(х) отображает замкнутое мно кество 0 =.
Х в себя н прп некотором натуральном т оператор Доьазтгь что а) последовательность х„ не убывает, ограничена сверху и сходптся к хь; б) справедлпво неравенство У„«х* «х,, (и ы Н); 1(" ) в) справедливы оценки [х„— хь [а.. — ', х* — хьв. ~)(х,)[ 143 Ь"'(г( = Ф(%...РО(*((...(( га гьэ является сжимающим на 4). Доказать, что в () существует единственная неподвижная точка оператора Ф(х) и что птерацпп х,, Ф(х,,) (и ~.=ь) сходятся к ней прп любой х„ш О. 24.29. Г[)сть фуккцпя у=)(х) дважды днфференцяруема на [а, Ь), 5(а) «О, )(Ь) > О, причем )'(х) ~ т ) О, )" (х) ~0 на [а, Ь).
а) Доказать, что последовательные прполпження х„ итерационного процесса Ньютона, начатые с х, = Ь, не возрасгают, ограппчепы скпзу и сходятся к точке х*— корню уравнения Дх) . О. б) Сформулировать аналогичные утвержденкя в случаях; 1) )'(х) ~т)0, )" (х) «О на [а, Ь); 2) )'(х) « — т «О, )" (х) ~0 на [а, Ь); 3) )'(х) « — т -О, )" (х) «О на [а, Ь). 24.30. В условпях предыдущей задачн рассмотрим последовательные прпблпженпя метода хорд ( —..—,))(*.) аь = а, х, = х„д —, иы[ь[.
— 1(ь) -) (-.) 24.31. Пусть в условиях задачи 24.20 а) при хо< Ь пыполпяегсп перэаенксво ] ?(хо)] ( —,, сде ? =- шпл ?'(о). ос С ]о,с] Доказать, что для скорости сходно]ости х„к х* спрнэедллва оценка, приведенная в теореме 24.2. 24.32. Составить формулы последовательных приближений для лтерацпонного и модифицированного итерацлонного процессов Ньютона, когда Х В и Х=Е'. 24.33. В пространстве ?о рассмотрим оператор Г(х), определенный на шаре 8,(0) и переводящий элемент х (т„х„...) ~?с в Е(х) =(]1 — ]]х]]', х„х„...).
Доказать, что Г(х): а) переводсст шар 5,(0) в себя; б) непрерывен на псаре К,(0); в) не имеет неподвижных точек на шаре Л,(0); г) не является вполне непрерывным. 24.34. Пусть функция ?(ц х) непрерывна по совокупности переменных в области ]à — Го] ~ а, ]х — х„] ~ Ь, М вЂ” максимум ]?(?, т)] в этой области, Ь = пни(а, Ь?]?]. Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка а.с а- = ~(?') х(?о) =" а) Доказать, чтс эта задача эквивалентна интеграль- ному уравнению с х(?) = х, + ( ? (т,.т (т)) с?т, 'о б) Докааать, что оператор Г(х) = х, + (?'(т, х(т)) с?г, со определенный на шаре ]]х — х,]] ( Ь в пространстве С(г, — 6, Г,+ Ь], переводит этот шар в себя и является вполне непрерывным на нем. в) Доказать, что рассматриваемая задача ]хаши илсеет на отрезке [Го — Ь, Г, + Ь] хотя бы одно решение.
г) Привести пример непрерывной функции ?(г, х) и точки (]н х„) таких, что рассматриваемая аадача Еошсс имеет на некотором отрезке, содержащем точку г„более одного решения. 24.35. В пространстве С'(О, 1] рассмотрим следующую краевую задачу для обыкновенного кваэилинейного диф- 144 фере]и(палс,ного уравнения 3-го порядка (лсодельпая за- дача теорсш слог]с,ссссс сссого слои): х +хх" =О, О<?<1, х(0) = а, х'(0) = Ь, х(1) = с. а) Доказать, что ата аадача эквивалентна следующему нелинейному интегральному уравнению в пространстве С(0, 1]: с с ( о ( (.*~]-] *с+. о х(Г) = а + Ь?+ (с — а — Ь) о о о ]]-]-] +" о о ! о б) Пусть хотя бы одно из чисел а, Ь, с — а — Ь отлично от нуля.
Доказать, что оператор Ф(х), задаваемый правой частью интегрального уравнения, отображает шар Я,(0] радиуса г = ]а] + ] Ь] + ]с — а — Ь] в себя. в) С помощью теоремы 15.3 доказать, что Ф(х) вполне непрерывен в этом шаре. Таким образом, согласно принципу Шаудера, установлено существование решения исходной краевой задачи. 24.36. Пусть функция К(?, х) ~ 0 непрерывна прп а < д о < Ь, функция у(?) ~ 0 непрерывна на (а, Ь], причем выполняется неравенство ]]К]сс(,"]у]] — ) (1, где ]-К!' = шах 1 ] К (?, 8) ] с?х,",, с/']] = и]ах ] У (])! Со с,] 'со,л] а и > 1 — натуральное. Пусть, далее, го ( г* — неотрицательные решения уравнения 1К с" +]]у]] г, Рассмотрим в пространстве С(а, Ь] интегральный оператор о Ф( ') = ~ К (г, х) '( ) с?х+ у(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
