В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 26
Текст из файла (страница 26)
26.10. Е . !!, — Т, . О. Еслн!!,хл — Тлх(,~;т ((рл — «0(п с ), то говорят, что х "тохл хсо скоРостью (1 . Если (Е.) 0 и ((хл — Тлх('; —,„ к» =о(ф„) (п — » ), то говорят, что х„- х со скоростью о((р»). Доказать, что: т а) еслн хл - х равномерно со скоростью (р, то хл- х в среднем с той же скоростью; б 1 ) если х„—.х в среднем со скоростью о =, то мой )~и() =- тпах (и(т, Е)(. (л,о=я Разобьем (О, 1) на п равных частей точкаътн х, = (lп (1 О, 1, ..., и), а отрезок [О, 6) — на т равных частей точками Е, =16/и () = О, 1,, т). Пусть С(.„— сеточное множество ()»,.
= ((х» Е,), ( = О, 1, ..., и; 1 = О, 1, ..., т). Рассмотрнм сеточное пространство С(С)„„) с нормой )1и, )(= шаг (и(х, Е)(. (»,оно» Доказать, что нормы в С(С)„.) согласованы с нормой в С(С)). 26.13. Говорят, что последовательность А. аиироксихп(рует А на злетпенте хюР(А), еслн Т»хснР(А») (п1н(л), н прн и— '~ А»Т»х — Т„Ах'~ ~—,, -«О, Пусть А» аппрокспмпрует А на точном решении х~, у. аппрокспмпрует у. Доказать, что тогда уравнеяне Ах=у аппрокспмпруется па х* прнблнженной схемой А»т.=у». 26.14.
Пусть Մ— Х, ӻ— = У, Т„п ҄— токдест- венные операторы, Доказать, что условие аппроксимации оператора А последовательностью о(тераторов А„на неко- - тором мно,кестве Ы ~ Р(А) означает сильную сходпмость А„кА наЫ. 26.15. Пусть Х= У=С(0, 1), Хл = У, = с", Тлх = 21 ы» ве = Т„х = (х( — )), Ах =- — с Р(.4)1 состоящей пз не'(.Лб.
„=- Н( прерывно дпфференцпруемыт на (О, 1) функций х(Е), удовлетворяющих условпю х(О) =О. Доказать, что опе- ратор А на Р(А) аппрокснмтгруется последовательностью операторов ! и 00... 00" ,— л ло... 00() Ал=~ 0 — л к... 00/(. 000...— »к'„ 26.16.
Еслк выполняетсн неравенство ((А»Т»х — Т„Ах)1р (с(х)'и', ил то говорят, что последовательность .4. ацпрокснмнрует 155 А па зле аспте х с порядком 1. Пусть з условиях предыЛ1щей задачи х(1) ш//(А) и имеет па [О, 1) ограниченную вгору1о орогпзодпувг. Докаыпп 'по Л„аипрокспмпрует А на х с порядком 1, приче11 справедлива оценка (( АпТпх — Т„Ах()у ( у,,/(2п), где уз = зпр (х" (1)(. 17 Го,г/ 26.17. Пусть последовательность А„аппраксимирует А на точном решении х* с порядком (, а последовательность у„аппрокспмпрует у с порядком /л Доказать, что приближенная схема аппраксимирует точное решение с порядком ппп (1, й).
26А8. Пусть гг. /1(А.) — подпространства в У., на г/„ определены операторы А,,' и (( ~„((у(й„,х„) (~у ', где 7 )0 — постояннан, Доказать, что для последовательности А. выполнено условие устойчивости, Доказать, что если выполнено условие устойчпвоспг, то ЖЛ„) замкнуты и, следовательно, являются подпространстзами в г „, 26.19, Пусть 1'и = Х„. Доказать, что для Л, выполнено условие устойчивости, если для любой последовательности х„ги Р(Л.) выполняется неравенство От А„х,> э 7~[х„111 где 7 > 0 — постоянная. 26.20. Доказать, что в условпят аадачп 26.15 -11 (-4,, ~(~~2, н, следовательно, условие устойчивости выполнено.
26.21. Пусть Х„ и г „ конечномерны, пх размерности равны п выполнено условие устойчивости, Доказать, что /1'[А.) = О, т. е. А. отображает Х. на Р„ взаимно однозначно. 26.22. Пусть для всех возмо,нных решешш х. приолпжениой схемы Л„.1 „= у,. получена оценка [~х.~) ~ ~ 7 'зу„З, где 7 — постоянная (таьпе оценки называются априорнылги). Докаашь, что в агом случае условие устойчивости выполняется. 26.23. Пусть приближенная схема А„х„= у„прп у гя юЛ(.4„) имеет единственное решение х„. Говорят, что решение зл, непрерывно зависит от правых частей у, равномерно по и, если для любого е ~ 0 существует 156 б б(г) =-0 такое, что для псах у„, у„я Л(А„) ты их, что ((у„— 1/„1((Ь, для соотзетсгвуюшпх решений х„, х„ выоолилс1ся пср1нсис1зо )х„— х„1( е,,«оказатго д.
— Го Чга тЯ устойчивости приближенной схемы необходима и достаточна непрерывная зависимость ее решений от правых частей равномерно по и. 26.24. Пусть выполнено условие устойчивости. Доказать, что каждое приблпя;енное уравнение имеет не более одного решения. 26.25. Пусгь х„х,— точные решения, 'т. е. Ах, у, 'Ах, у и выполнено условие устойчивости. Доказать, что справедливо неравенство 7((Т„(х, — х,)(; « . 'А„Т„х, — Т„Ат,(р + ((А„Т„х, — Т,Ахар . 26.26.
Пусть последовательность Л. аппраксимирует А на каждом точном решении, нормы в Х, невырождены (см. задачу 26.3) и выполнено условие устойчивости. Пользуясь неравенством предыдущей задачи, доказать, что точное уравнение имеет не более одного решения. т 26.27. Пусть в условиях предыдущей задачи уп- у при п — ««.
Доказать; а) справедливость оценки ((х~ — Тдх(~т «71 ((у„7«у«((у + ((ТлАх ЧлТвх((~ ' л где х — точное решение; б) сходимость приближенной схемы. В задачах 26.28 — 26.34 на отрезке [О, П рассматривается задача Воши — + а (1) х = 1 (1), х (0) = а. 1Ыл П„л, „м Х С[0, 1), у - С[О, 1) + В, А = (т + '(') х *(0)~, //(А) еи Сг [0,1[, аП), /(Г) ы С[0, П. На [О, 11 « зададим равномерную сетку Х = (11(1=" 1, 2...,, и), где т =1п ' — шаг сетки. Пусть Х и-мерное пространство столбцов х„= (х,), 1, ((х«(( гпах (х,(, У„Х„(- К, операторы сужения имеют вид 1«1«« Т«х = (х(1 ))" „Т;у = (Т„/, сг). 157 26.28. Рассмотрим разпостную схему т х,=а, (/,)":, г = Т„1, (аг);"=,= Т„а.
а) Записать схему в г;анонпческом влде: х,=К(т)х,, + т/„1=1,.2, ..., и; х,=а, где !Л,(т) ! < 1+ ст, с = ~,'а" агг б) Доказать, что схема ггыеет едпнственное решение х„=(х;);" г, п)гпчем для г=1, 2, ..., и справедлцва оценка (х !<(1+ ст)г! !+ ~З (1+ ст)лт'(У.((, л=о в) Получить априорную оценку ~г 1 !х„,'!(с г (а ! + — !~у„~!. г) Доказать устойчивость разностной схемы. 26.29. Запишем разностпую схему предыдущей задачн в сеточной форме (Х вЂ” сетка): + а(т) х(1 — т) = е(г), 1 я Х, х(0) а, а) Пользуясь формулой Тейлора, доказать, что на точном решении в каждом узле Г, сетка Х разностная схема аппраксимирует исходную задачу Боши.
б) Доказать, что справедлива оценка Ь„~л А„Т„х — у,') -„ 11 зпр — а(1) х (Š— т) — г'(1) ( — у,т, .с (г) — х (г — т) !ЯХ тле Уз зпР !,'х" (1)!~, гмюш 26.30. Рассмотрим разностную схему — ' + (ага(1г,) г- ага (1,)! ((гггх, г + ()гх,! = у,1(1,,)+ у,,1(1,), 1=1,2,,и;х,-а. Бак надо выбрать постоянные а„ам б„р„у„у„чтобы она аппрокспмпровала точную задачу со 2-м порядколг) 158 26.31. Гассмстрпгг рззгс сную с:е г прелы;тущен задач , =- . = = " = ' — , = 112.
и пргг а, =- сг = ~г = рг = '(, - уг = 112. а) Доказать, что зта схема имеет единственно р е ешенне, если от<,2, с = (',а "сюлг о) Запнсать схему в каноническом виде х, = Л,(т)х,, + т)г„г = 1, 2, ..., гм х, а. в) Доказать, что справедливы неравенства )Л,(т) ! < 1+ 2ст, !)г,! < 21)'„1. г) Пользуясь неравенствами пз пункта в), доказать устойчивость ревностной схемы.
26,32. Пусть точное решение х(1) пмеет на (О, П ог- раннченную третью производную. а) Доказатгч что разностная схема задачи 6. 0 нлеет 2-й порядок точности. б) Оценить (!х„— Т,,х:1-, 26.33. Доказать, что разностная схема ' '+а,х; 1г,(аг)"; г Т„а, 2т ((г)," г=Т„~, г=1,2,,и — 1, хе=а, — ' = ) (О) — а (О) а где и, задано; и, = („), и, = ', Л,(т) -.=)',1 2„т! '~о -г.г ). !) — а+ т(1(0) + а(0)а! В возникшем двумерном пространстве фиксируем парму: для и — ($о Ьг) полагаем ',~и5 = шах ()вг)г !Ц 15',г однозначно разрешпма.
Заппсать ее в сеточной форме и оказать, что она аппрокснмнрует нсходную задачу с доказать, порядком 2, если точное решенпе пасет на (О П огранпченную третью производную, 26.34. Запишем разносгпую схему предыдущей задачн в матрпчно-каноническом впде: и,=Л(т)и,,+тйь 1=1, 2, ..., и-1, а) Доказать, что справедливы опенкн ) В;(т)1(1+ 2ст, с =)',а~[с~а,ц, [[)г,',)(»2)/А 1[- 6) Пользуясь оценкамп па пункта а), доказать устойчявость разностной схемы.
в) Доказать, что разностная схема задачп 26,33 имеет порядок точпостп 2. г) Оценить (~хн — 7'нх~[Х „ 26.3 к Доказать, что разностнал схема г - 1, 2, ...,гг — 1; х„ = 1, х, = 1 + тг'. т = 1 и, аппрокспмврует задачу 1~ошгг — „, - О, х(0) = 1, )ен [О, Ц, на ее точном решенпп. 26.36. Доказать, что: а) ревностная схема предыдущей задачн имеет решенне х, 1+т"(2' — 1), 1 О, 1, ..., 11 — 1; б) если х — точное решенно, то [~х„— Т„х~) — прн и — и, следовательно, разносгная схема расходятся. Объяснить, почему нз пункта б) вьмскает неустойчпвость схе"мы. 26.37. Доказать, чго разностпая схема 1 1,2,...,и — 1; х,=1; .г,=1+т', т=1и, прп с Аь а, а чьб аппрокспмпрует задачу 1(ошп х'Й) = О, т(О) = 1 (г ~ [О, 1) ) на ее ~очном решения.
26.38. Доказать, ч го разностпая схема предыдущей задачи слодигсн, если [с/а[ с 1 нлп с = — а, и расходгпся, если ~с/а~ ) 1. В задачах 26.39 — 26Аг1 рассматрнваетсл задача 11оппг для системы й днфференцпальных -уравнений с й непзвестнылмг функцнялш переменного г ~ [О, )!; — + В())х=/(г), х(0) а, Здесь неизвестная функция разыскпваетсн в Х вЂ” прост1бо ранстве непрерывных пе«тор-функций х', ) = (, ( )),=1 с нормой '-г ~- В(г г) х;, = /(г,), 1 = 1, 2,...
и' хе = и а) Заппсать разностную схему в сеточной Форлге н оказать, что если точное решение имеет на [О, р- 0 ))оганпченную вторую производную, то разностная схема аппрокспмнрует исходную задачу на точном решении с 1-м порядком. б) Заппсать разностную схему в каноническом впде: хг В(т)хг,+т/„1=1, 2, ..., и; х,=гх и доказать устойчввость разностной схемы. в) Доказать, что разностная схема сходится, и дать оценку [[х„— Унх ~х . 26.40, Пусть )(1) = О, А(1) = — Л вЂ” постоянная на [О, 1) матрица, имею р а имеющая Й линейно незавпспмых собственных ов ('=1, 2, ..., й), отвечающих собственным значениям ).1 () =1, 2, ..., )[).
Рассмотрнм разностную схему — '' -)- Ах;, = О, . г = 1, 2, ..., и; хе — — а, т точной задачи и разностной схемы собственным векторам матрицы А: А х; =.- ~ чгггр„1 = 1, 2, . „и, 1' -1 а) Найтя решения в впче разложений по А х()) = Хн;(1)пп 1 — —.1 И В. Л. трнногнн н Аа [.г'г = гпах плах [.г,(г;[, . ю гнркгг ВО) — квадрагная мггрнца порядка й с непрерывными злемснтамп )г„(г) (г, 1= 1, 2, ..., )1). )()) ю Х, а~я с', У = Х -: '. Введем олерагор А: пусть В(А) состоит пз функций х, непрерывно днффсрспцпруемых на [О, Лх=(х'(1)+В(г)х, х(О)) для х~В(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
