В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 22
Текст из файла (страница 22)
22.18. Док . . Д азать, что в предположениях задачи 22А6: а) квадратичная форма (и'х, х) достигает своего ми- нимума на множестве Р = Р(Р) О о,(0); б) ш[п (Рх х) = (Рх т ) = г, й где 1 — наиьгеньшее собственное значение Гг, а х, — нормпрованная б со ственя функция с собственным значением ),. 22.19. Исп л о. ьзуя предыдущую аадачу, доказать, что наименьшее значение функционала 1 гр(х) ~ [х'(г))'аг, в рассматриваемого на множестве дважды непрерывно днф- ференцируемых на (О, 1) функций х(г), удовлетворяющих условиям 1 х(0) х(Ц = О, ~ г (1) г)1 в равно и' и найти функцию х,(1), на которой оно реа чуется.
лп- Глана 6 НЕЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И УРАВНЕНИИ В БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ $ 23. Дифференцирование нелинейных операторов Пусть Х, У вЂ” бвнаховы пространства, Г: Х- У вЂ” нелинейный оператор с областью определения Р(Г) ~ Х. Он называется: нвпрерьгвггым в точке х, ж Р(Г), если из х ги Р(Г), 1х — х„О прл и ' следует, что 1Г(х ) — Г(х,)()-г 0 прн гг непрерывным на множестве М~Р(Г), если он непрерывен в каждой точке х, ж Р(Г); вполне непрерывным, если он непрерывен на Р(Г) и переводит каждое ограниченное множество, лежащее в Р(Г), в компактное в пространстве У множесгво; озранггчвнныч на множестве М ~Р(Г), если епр зГ(х)(( '- вам Нелинейный оператор Г(х), определенный в окрестности 8 точки х, банахова пространства Х, и со значениями в банаховом пространстве У называется дггФ(дервнг(ируе.чы,и в точке хг в смысле Фрешв, если существует линейный оператор А ж Ы(Х, У) такой, что для всех х гид Г(х) — Г(х,) А(х — х,) + ю(х — х,), где ~)оэ(х — х,)() = о(('х — х,1) при х- х,.
Пря атом оператор А называется производной Фрегив оператора Г в точке х, и обозначается Г'(х,), а выражение Г'(х,)й = =ггГ(х,; )г) называется дггд54вренг(ггалом Фрегие оператора Г в точке х, при приращении )г, Пусть 1'",(хи ..., х,) — оператор, зависящий от )г переменных х„..., х,жХ, со значениями в У. Оператор Г,(х„..., .т,) называется й-линейным, если он лпнеен по каждому своему аргументу хг прп фиксированных остальных аргументах. /г-лггггейныг) оператор Г,(х„..., х„) называется ограничвнггьыг, если существует постолпная тпжИ, т >О такая, что 1!Г,(х„..., х,)(~ ( гггг~х,1...
((х,1. Напмгньшал яа такпт постоянных лг называется нара ай !', н обоаначастся 1Г,':, Л-линейный оператор Г,(х„...,хо) нааынается сишлетричаылг, еслп его впачення не меля>отел прп любой перестановке его аргументов, Пусть Г„(х„..., .тъ) — Ь-лппсйпый спммезрпчпый оператор. Оператор Г,(х,,, х) паоываетсл Ь-степенны.гг оператором п ооозначается Гъх', Далее Ь-лннейпг,гй оператор аапнсываетсл в впде Гъх> ~ ~ хъ Пусть оператор Г(х) дпфференцпруем в оггрестпостп Я, а дифференциал г(Г(х1 Ы такяге днфферепцпруем в точке х г Г'(х, + х)Ь вЂ” Г'(х,)Ь (Вл)Ь+ р(л)Ь, гдо 1)р(д)1!=о(1'у1) прп д- О.
Прп атом оператор В Г '(х,) ш 'с'(Х, .хо(Х, т')) называется второй прог>ввод><ой оператора Г(х) в точке х,. Иа определеппя Г" (х,) следует, что Г *' (х,)Ь| есть ограниченный бплпнейньш снмметрнчпый> оператор. Далее УГ(х,( Ы - Йг(Г(х( Ь)1 х„й>)1о м откуда >Л>Г(х„Ь) Г" (х,)Ьо — квадратячный плп 2-степенной оператор, получающийся на билинейного прп д-Ь, Еслп а"Г(х; Ь) = Гг"'(х)!ъ" уже определен, то в продположошш его дпфферепцпруемости в точке х, полшагот г)"+'Г(хо; !г) гУ(г("Г(х; Ы; хо у)1о „ откУда г)'"'Г(.г;, Ы Гг"+"(х,)Ьъог. ОпеРагоР Гг"'(х,)!ги ..., )г„явллется и-лннейным снмметрпчпым оператором, а г! "Г(а.о; )г) — и-степенныъг онератороъг.
Пусть Г,х' — Ь-степенные опораторыпзХ в У ((о-Х), а Г, ш У. Обраауем формальный степенной ряд Х Гъ ъ (Го.' -- Го). ъ=.о Прсдположпм, что числовой ряд И.-о мажорпрующнй рассматрпваеъгый степенной, имеет радиус схадгг.>гост>> р„) О. Тогда в любом шаре Яо(0), где ров ~ (О, р,), исходный степенной ряд сходптся абсолюпго и равномерно. Пусть р„) О, а Г(х) — сумма походного 1г8 степенного ряда, т, е. ~~ Гъхо- Г(х) >=-о прн >г . Тогда оператор Г(х) называется аналитически>а оператора>я в точке х = О. Еслп дап бесконечно дифференцнруемый оператор Г(х), то степенной ряд ъ=-о нааывается рлдаи Тейлора, Г(х) в точке х = О. Поскольку рааложенпе операгора Г(х) в степенной ряд единственно, то всяшш степенной ряд апалптпческого оператора явлл- ется его рядом Тейлора.
23.1. Доказать, что оператор А: !>-г-1„Ах = (хг, х,', о х„...) для х (х„х„...) гв 1, определен для всех х иа Е„непрерывен в каждан точке пространства (м но не ограппчен ни на каком шаре Б,(0) прп т) 1, 23.2. Пусть Х вЂ” бесконечномерное банахово простран- ство, е гн К, 0 < е с 1, х„гн Х (и ш М) — такая последова- тельность, что 1'х„1г = 1 (л гн )ъ) и 11х,— х„(1) е прп Ь т-л (существоваппе х„вьмекаст гго теоремы 15А). Рассъгоз- рим функционал 1, определенный следугощпмн условнямп: 1) <х„, !) — Ь (!ош%; '>>, „ 2) г',х,Л„'> =-Ь вЂ” "— '1~(х — хг,',г в шаре Я, о(хъ) (!оый(); с 31 вне шаров Я, г(хъ) (х,!) =-О. Доказать, чго ! непрерывен па Х, по пе ограннчен па шаре (хг(( 1+ еЛ2.
23.3, Пусть Х, 1' — копечпомсрные банаховы простран- сзва. Докааазь, 'гзо любой непрерывный оператор !'г Х- У является вполне непрерывным. 23А. 11усть Х, У, Я вЂ” баиаховы пространства, Г. Х У вЂ” ограниченный на !)(Г) непрерывиьш операгор, А: У вЂ” 2 — линейный вполне непрерывный опера>ой. Доказать, что оператор А! вполне непрерывен. 23.5. Доказать, что всякий вполне непрерывный опе- ратор !': Х У лвляезся ограшшепным па лгобом огра- ниченном мпо;кесгве М'=!Э(Г).
23.6. Пусть функция Х(г, в, х) непрерывна по совокуп- носзи переменных в об>гас>>г О -1, в - 1, 1х(о г, го г ев л тг югиоолг. Рассмотрим оператор 1 Г (х) = ] К (1, з, х (е)) г(г, о определенный на шаре о,(О) пространства С(О, 1]. Дока- аать, что область зпаченпй й(Г) ле,кпт в пространстве С(0, 1] и что оператор Г вполне непрерывен на шаре 5,(О). 23.7. Пусть функция )(1, х) определена прп 0 <1( 1, — (х( и непрерывна по совокупности переменных.
Рассмотрпм оператор Г(х) - ~(1, х(1) ), определенный на пространстве С(О, 1]. Доказать, что оо- ласть значений Л(Г) ле;к|п в пространстве С(О, 1], что оператор непрерывен и огранпчен на каждом шаре. Яв- ляется лн оператор Г вполне непрерывным'. 23.8. Пусть оператор Г: Х вЂ” У дпфференцпруем в точ- ке х, )и Х. Доказать, что Г непрерывен в точке хо. 23.9, Пусть оператор Г: Х вЂ” У постоянен на откры- том множестве тт )= Х. Доказать, что Г (х) = О на П, 23.10. Пусть Г(х) =Ах, где А ш2'1Х, У).
Доказать, что Г'(х) А. 23.11. Пусть Г: Х- У к 6: Х- У вЂ” операторы, диф- ференцнруемые в точке х,. Доказать, что оператор аГ + + 1)6, где а и )) — скаляры, также дпфференцпруем в точ- ке х, и ЪГ) + рС) '(х,) = аГ'(х,) + ])С'(х„). 23А2. Пусть оператор у =Г(х), Г: Х вЂ” У дпффереп- цпруем в точке х„а оператор х=С(г), 6: 2 Х дпф- ференцнруем в точке г„прячем С(г,) = х,, Доказать, что в окрестностн точки г, определена суперпозиция у (Г «6)(г) = Г(С(г)), оператор Г « 6 дпфференцпруем в точке .", и (Г" 6) ( ю) = Г (ха)6 ( о). 23.13. Найти производные Фреше функционалов Г(х) (х, х) и 6(х) = Ы в вещественном полъбертовом про- странстве. 23.14.
Пусть функция у = ](х), )': Р В определена в окрестностн точки х,, Доказать, что ее обычная произ- водная ) (х,) совпадает с ее производной Фреше в точ- ке х,. 23А5. Пусть отображеппе Г: Е" — Е', задаваемое в декартовых прямоугольны; координатах формуламп и=. и(х, у), е=п(г, у), 130 определено в окрестности точки (х„ у,). Доказать, что если Г дпфферевцпруемо в точке (х„ у,), то его производпан Фреше задаеося матрпцей Якоби ', ди (.) . у ) ди (г, у ) ~) ) д~(~о' оо) д) («о' "о) / до ду 23.16.
Пусть отображеппе комплексной плоскости в себя Г: С вЂ” С задается формулой ш = Г(г), где г = х + (у, и~= и+(е. Доказать, что если Г дпфференцпруемо в точке г, в смысле Фреше, то в точке го = хо + (уо выполняются условна Ноши — римана до(», о ) дг(е,д ) й (ео'до) да(е,у ) де дд ) дд 23.17. Пусть отображение Г: Е" — Е", задаваемое в де- картовых прямоуголыгых коорднпатах формулами у,=],(хо хо, ..., х,), 1=1, 2,, и, днфференцпруемо по Фреше в точке х'=(хт, ...,х„'), Доказать, что Г(хо) задается матрнцей Якоби ( о)] 23.18.
Вычпслнть пропзводную Фреше следующнх ото- бражений: а) Г: Е' — В, у = х, + х + хо в точке (1, 1, 1); б) Г; В- Е', у,=з1плг, у =созл(, у, Г в точке 1=1; в) Г: Е'-» Е', у, = е з1п лх„у, = е соз лх„у,= е в точке (1, 1); г) Г: Е -»Е-', у, = ') 4 — х'„+ х.'— х,', уо = хтхгхо в точке (1, 1, 1). 23.19. Пусть отображешое Г: Е" - Е" дифференцн- руемо в точке х„а х„= СП,), где 6: Е" Е" днфферен- цнруемо в точке 1,.
Найти (Г» 6)'(1,). 23.20. Пусть функции )(х, и) п )„(х, и) непрерывны по совокупностп переменных прп х ы (а, Ь), — ( и ( Рассмотрим оператор Г; С(а, Ь] — С(а, Ь], Г(и) ](х, и(х)). Доказать, что производная Г в точке и,(х) ы С(а, Ь] и ее днфференцпал в этой точке прн приращении Ь(х) ш ы С]а, Ь] соответственно равны Г'(и,) 1„(х, и„(х)); г(Г(и,; Ь) = ~„(х, и,(х))Ь!г), а« 131 23.21. Найти производные следующих операторог, в точке и,,: а) Г(и) =- з)и и(х) в прос ~раис ~во С[0, п1, и„( г) = =- соя х; б) Г(и) = соз и(х) в пространстве С[0, л1, и,(х) = = я[их; в) Г(и)= и(х) — е™ в пространстве С[0, 11, и„(х) ° О; г) Г(и) =х'и(х) + зй и(х) в пространстве С[0, 11, и„(х) =- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
