В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Пусть е„(п ш й)) — ортонормированныи базис в гильбертовом пространстве Н. Оп р р . Опе ато Аш2'(Л) назы- вается операторол ол Гипьбсрта — Шмидта, если величина 1) А)г = ~ 11Ае„((' конечна. Доказать, что: а) величина 11А1', не зависит от выбора ортонормированного базиса в Н; б) 1'А1', = 1)А*11,; в) 1~А11 < 11А1!,; г) величина 11А11и определенная на классе операторов Гильберта — Шмидта, является норман; ) в пространстве Ы'(Н) операторы Гильберта — Шмидта образуют линейное многообраапе; е) равенство (А, В) = ~~ (Ае„, Ве„) п=з аадает на классе опер атаров Гпльберта — Шмидта скаля ное произвегенпе -) Г . борта — Шмидта образуют банахож) операторы пль орт во пространство относительно 11Л11; а) всякий оператор втор Гпльберта — 1Пмпдта вполне не- 1 Лх(г) = ~ Г1(г () х(() д( о где К(в, 1) ~ Ев(0, 11>С (О, 1), есть оператор Гпльберта— Шмидта; к) если А — оператор !'нльберта — Шмидта и В ш ~ 2'(Н), то АВ п ВЛ вЂ” операторы Гпльоерта — (Импдта и прп этом вь(И, ( (51(АВэ, 1ВЛ ', ~ '~Ап,вВ~ л) Прп каком условия па последовательность Л„~в П оператор Л: 1, — 1,, Ах = (Л,х„Л,х„...) для х = (х„ хв, ...) ~ 1п будет оператором Гпльбертч — Шмидта? м) В пространстве Ц построить вполне непрерывный оператор, не явллющпйся оператором Гпльберта — !Пмлдта.
16.50. Оператор А ~2'(Н) называется ядерным, если он представнм в виде Л = ВС, где В, С вЂ” операторы Гпльберта — Шмидта. Доказать, что если А — ядерный оператор, то: а) Л вЂ” оператор Гильберта — П1мидта н, следовательно, вполне непрерывный оператор; б) ЛВ и 1>А, где Й ~м 2'(П), — ядерные операторы; в) А" — ядерный оператор; г) для любого ортонормярованного базиса е„(п~н 5() В Н ряд ~ (Аеп~ еп) абсолютно сходятся. 0=1 16.51.
В пространстве (в привести пример ядерного оператора и оператора Гпльберта — Шмидта, не являющегося ядерным, 6 17. Нормально разрешимые операторы Пусть Х, У вЂ” бакаховы пространства, оба вещественные плп оба комплексные, А: Х- У вЂ” лппейкьш оператор с й(А) =Х и А*: У*- Х" — сопрягкепвый к А оператор. Оператор А называется нормвльно раэрешимььц если для разрешимости уравненпя Лх = у необходимо н достаточно, чтобы (у, З > = 0 длл любого решения 0 уравненпл А пз1 = О. Нормально разреппгмый оператор А называется нетеровылд еслн многообразия Дв(А) и Н(Л") конечномерны.
При этом число п=дппЛ'(А) называется числом нулей оператора А, число т = д(ш Н(А") называется дефентнын числом оператора А, а число й = и — т называется индексом оператора Л. Петеров оператор пулевого индекса называется фредеольмовым оператором. 17Л. Доказать, что если уравнение Ах = у имеет хотн бы одно решение, то (у, 3:> =0 для любого фшН(Ав), 96 17.2. Пусть  — лппейпоо многообразие в прост(дпст'- ве ! ' . Рведем мпошгшпо хЕ (у ш У; Ь, 1> =- О для любого (еа П. Проверпггн что утвсрл:дпн:ю прсдыд щв5 зп,;гчп раепоспльпо вк, ю'пнтпо В(Л) с'Н(Ав), 17,3.
Д л;и и; ч ч~о в обозна ве пвях зада ~ 17.! и 17.2 В(А) с хН(Ав) 17А. П>сгь у, ФВ(Л). Пользуяс ь с тдсэгпем 1 теоремы 12.1, доказать, что найдется такое 1(~'м дчЛэ), что <у„4„,> =О, 17.5, Вывести из задач 17.3 и 17.4, что В(А) — хН(с)в), Сравппть с задачей 14,7, 17.6. Проверить, что Я(А) У, т.
е. что уравнение Ах = у разрешимо длл всех у из плотного в У линейного многоооразпя, тогда и только тогда, когда дефектное число оператора Л равно пулю. 17.7. Доказать, что длл нормальной разрепвнмостп оператора Л вгеобходнмо и достаточпо, чтобы выполнялось равенство 11С1) В(А), т. е. чтобы область апаченлй оператора А была замкнута. 17.8. Пусть А нормально разрептим и пмеет нулевоо дефектное число. Проверпть, что уравнеппе Ах у нмеет хотл бы одно решение для любого у ш У, т. е, что В(Л)— У 17Я. Пусть для оператора А его область значеппй В(Л) конечномерна.
Следует ли отс1ода, что Л нормально разрешпм? 17.10. Доказать, что оператор Л ш 2'(Е', Е ) является петеровым оператором индекса й — и. 17Л1. Доказать, что оператор А ш 2'(Е', Е') явллотся фродгольмовым оператором. 17.12. Пусть Л ~ 2'(Е', Е ), Вш 2'(Е", Е'), Доказать, что й(АВ) й(Л) + у(В). 17.13. Доказать, что если оператор .1 ю 2'(Х, У) непрерывно обратпм, то он фредголь:1оп. 17.14. Рассмотрпм оператор Л: 1,— 1н определяемый равенством Лх= (х, х„..д длл х (х„х,, ...) ~я!,. а) Пайтп оператор Л'". б) Доказать, что опера-оры Л и Ле пегеровы п найти нх индексы. 7 в. л трпппгвп и др.
в) Доказать, что прн уши операторы Л' и <Аа)' нбтероэы и найти нх яндексы, 17.15. Пусть А — петеров оператор. Проверить справедливость следующих утверждений (теорем Петера): а) плп уравнение Лх = у имеет хотя бы одно решение при люоой нравов части у, пли уравнение А*2 = 0 имеет нетривиальное решекпе; б) каждое из уравнений Ах = 0 и Лэф =0 имеет ко. нечномерное надпространство релтений; в) еслпураэненпе А*2 =Опмеет нетрпвиальныерешения, то уравнение Лх = у имеет хотя бы одно решение для тех и только тех правых частей у, которые ортогональны любому репгению уравнения Л*ч' = О. 17.16. Пусть А — фредгольмов оператор. Проверить справедливость следующих утверждений (теорем Фредгольма): а) или уравнение э1х = у имеет единственное решение при любой правой части у, или уравнение Ах 0 имеет нетривиальные решения; б) уравнения Лх = 0 п А "9 = 0 пли ооа имеют только тривиальные решения, или оба имеют очинаковое число линейно независимых решений: в) если число нулей оператора Л не равно нулю, то уравнение Ах = у имеет решения для тех и только тех у, которые ортогональны любым решениям уравнения 1 "~р = О.
17.17. Пусть оператор А вполне непрерывен и его область значений 1?(А) бесконечномерна, Будет ли .4 нормально раарешим? 17.18. Пусть оператор Тша(Х) (т. е. вполне непрерывен). Доказатгь что оператор .4 =1 — Т фредгольмоз, 17.19. Будет лп оператор А: 1.,(0, 1) - 1г(0, 1), ! Ах(1) = ) х(з) Аа о нормально раарешим? 17,20. Пусть оператор А: Х- У замкнут и существует такое т ) О, что для люоого х ш Р(Л) выполняется неравенство 1Лх1) т',~х)). Доказать, что Л нормальнораарешим. 17.21. Пусть (р),"=,— линейно неаавпспмая система элементов в бапаховом пространстве Х. Доказать, что в сопряженном пространстве Х* существует такая система 98 алсмептов (7;),", „что )1 прп <9 О>=-ба=~ 0 прп 1 чь! (?, 1 =- 1, 2, ., л). а) Доказать, что Р ш 2'(Х).
б) Используя задачи 8.35, 8.36, доказать, что Р является оператором проектирования в Х, в) Проверить, что оператор Р порождает разложение пространства Х в прямую сумму надпространств Х=Х„~Х где Х„-1?<Р), Х .=1?(1-Р), 17.23. Пусть (фД~=г — линейно независимая система в пространстве Уа, сопряженном к банахову пространству У. Введем надпространства в У и в Уа~ У=(уепУ: (у,ф,>=0 1=1 2 ...,и) Уь ° )~ы Уа~ (у, ~> =0 для любого у ел У). Доказать что существует ровно л линейно независимых элементов у, Ф Р П 1, 2, ..., л) и такие элементы 1; ш ш Уа П 1, 2,, и), что системы (у )~, и (Я";-, биортогональны. 17.24. Пусть (фг);=, — линейно неаависимая система в банаховом пространстве Уа, сопряженном к банахову пространству У, Докааать, что: а) в пространстве У существует такая линейно неаависимая система элементов(з,))=м что систеьцл (И)=м (з,);=гбиортогональвы; б) оператор ():'У вЂ” У, определяемый формулой я И=.>'<у )>з 1=1 тв (Системы (<р~)? ., и (у,),"=г называются биоргоголальныхи.) Доказать, что система (уД,=г также линейно незавпслма.
17.22. Пусть системы ( р,)";=, ~ Х, (у,)~=, еп Хе биортогональны, Рассмотрим оператор Р: Х- Х, Рх- 1<х,у > р; $-1 ограничен, яп'гястся опсраторот! просггтыропэыыя и У и коро,сдаст ра!та,ьс «и' пр и (, !!,! 1 в ы! я !) г ~ с! чу по,!пространств У - 1 " '-"' 1' , где 1'" — 1г(г',)), Л(1 — () ), 17.25. Пуггп сьс ! !., ',, ),:=- 'г', ("„),', гы Х ", а так- же спето !ы ( г,г,', =1, (с,),' г:- Г бпоргсгоиальпы.
Образуем коыс !!го.гср,гыг! оые,к!гор К; Х вЂ” 1, з К '=- Х (.с,у,)г! 1-! а) Док,!зать, что К / — Х <."„Тг у!, !=1 гдо черта означает котшлскспое сопряжение в слу гас ьо!гплексньгх пространств Х, 1'. б) Провергпь, что 1бг(,===, К"), 7! П=1, 2, ..., и). 17.26. Пусть оые!.атер Л; Х- 1 фрсдгольмов с число~! пу.гей п>0. Пусть (г(,),' !еыХ, Щ,'=ген1" — базисы соответственно в К(А) и 1!'(Л"'), а (уг)г=! еп Х', (г,)";=ген е- =У вЂ” биортогональные к нпч спстетгы.
Образуем оператор Л А+К, гдо оператор К определен в предыдущей задаче. Доказать, по операторы П ы ( !) г ымогот ы) лепые числа пулей. 17.27. В условиях предыдущей задачи дока~а~ь, гыо Л(П) У. 17.28. Проверить, что в условиях задачи 17.26 оператор я непрерывно обратим (это утпсрнгдеггые яазыв,!ется лсччоы 1Пчпдга). 17.29. Проверять, что в условиях задачи 17 26: а) сырапед ппы прямые разложения падач 17.22, 17.2'о прпчсч Х,. = Л'Ь1), У"-" Л(А); б) Л =А па 1)(А) и оператор А отображает Х„., П 61)(А) па У" " взаимно однозначно; в) ~Т отображает Х„на У" взаимно однозначно. 17.30. Доказать, что ес.ш оператор А фредгольмов, то оы представим в виде Л В+Р, где В непрерывно обратит!, а область вначениб Л(Р) копечномерыа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
