В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказать, что суще- 74 ствует едппстзеппоо продолжение / па зсе ш с сохрапе- нпем нормы. 12.21, Доказать, чзо прп р ) 1 (!„)* =?„1/р+ 1/6 = '1, т. е. что всякий непрерывный линейный функционал з пространстве?, прп р. 1 имеет впд <х, /> =- Х х,,у„, и =.а где х =- (г„а и ...) ы („, у = (у, ум ...) ы (,„1/р+ 1/а = 1 [[ угч' 12.22. Доказать, что (с„)*=(о т. е. что всякий непре- рывный линейпьш функционал в пространстве с„имеет вид (х /) Х хьу и=1 где х = (хо.те...) ~ си у = (уь у, ...) е 1 п [)/[[= [)у[~ 12.23. Используя задачу 12.13, доказать, что (т)*Ф(о 12.24.
Доказать, что П,)* = т, т. е, что всякий непрерывный линейный функционал в пространстве 1, имеет вид (х,// = ~ х„у„, в=т где х = (х„хь Л ~и?о у = (у„у„...) ыги и Ц1 =)'у)) . 12.25. В пространстве Н'[ — 1, 1) положим 1 (х, /) = ) [х(Е) з[п ( + х' (г) сов () Ю. -г Доказать, что / — непрерывнып линейный функционал и найти его нормч. 12.26. Задает лп равенство 1 (х,?? = ) [х(() соз(+ х'(() гйп Цо( -г непрерывный линейный функционал в пространстве Н'[ — 1, 1)? Если да, то какая функция у(/) ыН'[ — 1,1) удовлетворяет условию (х, /) (х, у)? 6 13.
Слабая сходпмость. Рефлексивность Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство. Последовательность х„ыХ (иш г)) называют слабо сходящейся к элементу х~вХ и записывают х„- х (и — ») 7з слабо, если <х„, /> — <х, /> для любого /1н Х*. Последова- тельность /„1п Х" (и ы чг) называют -слабо сходящейся к элементу /~н Х н записывают /„- / (п — )»-сзабо, если (х,/.> — <х, /> для любого х 1пХ, Теорема 13.1. Для того чтобь1 х.
х (п- ) сла- бо, необходимо и достаточно, чтобы последовательность 1х„1 была ограничена и <х„/> <х,/> для любого / иг всюду плотного в Х" линейного иногообразня, Теорема 13.2. Для того чтобы /„- / (п- ) -слабо, необходимо и досга~очно, чтобы последователь- ность )/„ф была ограничена и (х, /и> — (х, /> для л1ойого х иг всюду плотного в Х линейного многообразия. Те о р е м а 13 3. Пусгь Х вЂ” банахово пространство. При каждол1 фиксированнол1 х ы Х равенство (/, /„> = = <х,/> определяет ограниченный линейный функциог(а.л г„на пространстве Х«и при этом г/'э'; =- «хч', Таким образом, имеет место изометрическое влоэ~гение Х =.
Х"". Если прп этом Х= Х**, то пространство Х на- зывается рефлекывнььи. Последовательность э „, принадлежащая банахову пространству Х, называется слабо ограниченнойч если для любого /1н Х* многкество <хи, /> ограничено, п сла- бо фундаментальной, если для любого /1и Х* последова- тельность <х„, /) фундаментальна. Теорема 13.4. Всякое слабо ограниченное чноже- ство в банаховом ггространсгве ограничено. Теорема 135, Если хи-«х (п- ») слабо в бана- ховом пространстве Х, то существует такая последова- тельность выпуклых линейных комбинаций точек х, и чч Хи =,~, а»„ХЮ ~ иие = 1, и»1~~0, 1=1 1=1 что хи - х (и- »). 13Л.
Пусть Х вЂ” банахово пространство, х., х ю Х, /и, /~и Х«(п ш.ч) п; 1) х, — х, /. - / йрп и -1- »»; 2) х„- х прп и- ~ слабо, /„- / прп и- 3) хи- х при п-,/и- /прп и- » «-слабо. Доказать, что <х., /»> — <х, /> прп и 13.2. Пусть Х вЂ” линейное норхшрованное простран- ство, /», /~Х«(и~и)з) п /и-+/ (и — ), Доказать, что / (п — ) '-слабо. 13.3. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, хи, х, уи, уыН (п 1н Гз). Что можно утверждать о сходимости по- следовательности (х., у.), если: 14 а) х„- х (и — ) слабо, у„- у~ б) х„ — х (и-~ ) слабо, у„ - у (и -~ ) слабо"г 13.4.
Пусть П вЂ” гильбертово пространство, х., х 1и Еи Н (п1н)з'), х„- х (и-+ ) слабо и 1х„(~- 1х(!. Дока- зать, что х„ — х (п — ). 13.5. Пусть Х вЂ” линейное нормированное простран- ство, х„ю Х (и 1м )ч). Доказать, что последовательность х. сходится в Х тогда и только тогда, когда х, слабо сходится равномерно в шаре (/ ~ Х*: Ц1 < 1). 13.6. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, х„ ~ Н (и ш М) — ортогональная система элементов, Доказать, что следующие утверждения эквивалентны: Ю а) ~ х„сходится; и=1 0 б) ~чз~ хи слабо сходитсЯ; и=1 в) ~~~ (( хи )(~ сходится «=1 13.7. Пусть Х вЂ” линейное нормированное простран- ство, /„, /, ш Х* (и я Х), /„- /, (и — ) «-слабо. Верно ли, что /. ~ Ь, где Š— линейная оболочка последователь- ности /„'г 13.8. В пространстве (1 для х= (хь х„...) ы /, поло- жим <х, /„> =э„.
Доказать, что /„- 0 (и- «) «-слабо Верно лп, что /и - О? 13.9. Для хП) 1н ЬЛ вЂ” 1, 1) положим 1 (Х, /и) ~ Х (Г) СО5 ПЛ( 111, -1 а) Доказать, что /. — ограниченный линейный функционал, и найти 1/,ф. б) Доказать, что / — 0 (п-«)»-слабо. в) Верно ли, что /„- 0 (и — )) 13.10. Для х(() ~и С'( — 1, 1) положим (х, /е) = — „(х (е) — х ( — е)), (х, /«) = х (0), 1 хе ГдЕ Е 1и В, (Е) < 1. а) Доказать, что /, и /, — непрерывные линейные функционалы п найти 1ф(,~ф(. б) Доказать, что /, /, (е - 0) »-слабо. в) Верно ли, что /, — /, (е — 0)? (х„х,, ...).
Доказать, что х'"'- х (п- ) слабо тог() о«) )' («) да и только тогда, когда апр))х )) < оо и хи -«-х«при и — для уж 5[. 13.!2. В пространстве С(0, 11 привести пример слабо сходящейся последовательности, которая не сходится по норме пространства С(0, 11. 13.13. Доказать, что в пространстве !« слабая сходи. мость совпадает со сходпмостью по норме. 13.14. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, А„ю «и2'(Х, У) и для любого х ы Х и любого 1«и У» последо- вательность <Л „х, 1> ограничена. Доказать, что после- довательность ))А )) ограничена. 13.15.
Пусть Х вЂ” рефлекснвное банахово простран- ство, М а Х вЂ” надпространство, Л1» = (!(в Х»: <х, 1> 0 для любого х(в М). Доказать, что (Мх)х = 31. 13А6. Пусть Х вЂ” рефлекснвное банахово пространст во, 1е Х». Доказать, что существует хе Х, х т. 0 такое, что <х, 1> =1х() !((). 13,17. Используя задачи 11.9, 11.10, 13.16, доказать, что пространства С(0, 11, )о с, нерефлекснвны, 13.!8. Доказать, что множество в банаховом прост- ранстве является слабо ограниченным тогда и только тогда, когда оно ограничено. 13Л9. Доказать, что всякая слабо фундаментальная последовательность в банаховом пространстве ограни- чена.
13.26, Доказать, что всякая слаоо сходящаяся после- довательность в банаховом пространстве слабо фунда- ментальна. 13.21. Нааовем множество М в банаховом простран- стве Х слабо замкнутып, если пз того, что х„«м М, х„-, х(п -«) слабо, следует х ю М. а) Доказать, что всякое слабо замкнутое множество замкнуто. б) Привести пример замкнутого множества в банахо- вом пространстве, не являющегося слабо замкнутым. 13.22. Доказать, что всякое подпространство банахова пространства слабо замкнуто.
13.23. Доказать, что всякое выпуклое замкнутое мно- жество в бапаховом пространстве слаоо замкнуто. 13.24. Будет лп пространство С(0, 11 слабо полным? !3.25. Пусть Х вЂ” сепарабельпое линейное нормиро- ванное пространство. Доказать, что в пространстве Х» существует счетное множество, всюду плотное в смысле «-слабой сходимости. 13.26.
Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство. Верно лп, что для венного подпространства 1.~ Х» существует надпространство М «= Х такое, что Ь = Мх (ортогопальность понимается в смысле аадачи 12.10)7 4 14. Сопряженные операторы Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные. пространства, А: Х - У вЂ” линейный оператор с областью определения Р(А ), плотной в Х, возможно, неограниченный, Введем множество Р»«= У» таких 1 ~ У», для которых прн (р(и (и Х» имеет место равенство <Ах, 1> = <х, (р>. Оператор А»! = (р с областью определения Р(А*) Р»«= У» и со значениями в Х» называется сопряженным к оператору А. Таким образом, <Лх, 1> <х, А»1> для любого х из Р(А) и любого 1 из Р(Л*). Т е о р е и а 14.1.
А* — замкнутый линейный оператор. Теорема 14.2, Равенство Р(А*) = У» имеет место тогда и только тогда, когда Л ограничен на Р(А). В атом случае Л» ж 2'(У», Х*), ))Л»! =))А(1. Из теоремы 14.2 вытекает, что дчя А (и 2«(Х, У), А* ы 2" (У*, Х*), 1А»! = !Л!. (4.1. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, а, р(и С, А, В(в 2'(Х, У). Доказать, что (аА+ + 5В)» = аА»+ 5В (черта означает комплексное сопряжение). 14.2.
Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, А, В(н 2'(Х). Доказать, что (АВ)» = В"А*. 14.3. Пусть А ю 2'(Х, У) и непрерывно обратны. Доказать, что А» непрерывно обратим- и (Л») '=(А ')". 14.4. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, Доказать, что отображение Ф: 2'(Х, У)— 2'(У», Х»), Ф(Л) = Л» непрерывно. 14.5. Пусть Х вЂ” рефлексивпое банахово пространство, У вЂ” линейное нормированное, Л ю2'[Х, У), Доказать, что (А»)»Х = У п (Л»)» =Л как оператор пз Х в У. 14.6.
Пусть  — гильбертово пространство, А (и 2'(В). Докааать, что: а) М(ЛЛ*) =1«'(Л»); б) 5«(Л»Л) = М[Л); в) В[ЛА») В(Л). г) [)ЛЛ»! = ,')Л)Р, 14В. Пусть Н вЂ” гпльбертово пространство, Л ю.'х>(Н). Доказать, что: а) (В(А))г- = й>(Ао); б) (В(Ао))а=%А); в) (й>(Л))'- = Н(.4*); г) (й>(А*))г-=В(Л), 14.8. Пусть Х +- банахово пространство, Л >н .х'(Х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
