В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть хч ~ Х вЂ” его приолпжепное решение, Доказать, что его опсосптельная пот!" шность может быть оценена по формула ! '!л — у[! '!у — «,! !Ай — сс! Г [сс1 „ч~! 9.8, Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, А: Х- Х вЂ” линейный оператор и в Х существует саная последовательность х„ш й(А) (л сн л), что )!х„(! = 1 н Ах„- 0 прп и — . Доказссть, что у оператора А не существует ограниченного обратного.
9.9. В пространстве 1, рассмотрпы оператор А, переводящий элемент х = (х„х„...) в элемент Ах О.,х„ й х...,.), где Х«ы В, (я ыс"с), зпр !).„! < о . Прп какссл! М условиял на последовательность г.«существует обратныйг оператор А '? Будет лп он ограсспчесс! 9.10. В пространстве 1, рассмотрим операторы А, В, переводящие элеыепт х =- (х„х„...) ы1, соответственно в Ах = (О, х„хс, ), Вх = (х, х„.. ).
Пакле пз операторов 9.11. Доказать, что оператор А: С'[О, 11 -С[0, 11, Ах(Е) =— «С« лс ссэгеет правый ооратнып, но не имеет левого обратного. 9,12. В пространстве С'10, 1! рассмотрим надпространство Е = (хП) ы С'(О, 1): х(0) = 0) п оператор А; ЕС[0, 1), Ах00 = сЪ?с?1+ и(1)х(1), лП) ез С[0, 1!. Доказать, что А непрерывно обратим. 9АЗ. Рассмотрим оператор А: С(0, '1! — С[0, 11, с Ах (1) = 1 х (т)бт. э а) Что представляет собой его область значений??(А)? б) Существует лп на В(.4) об)затпый оператор А-' и ограничен ли он? 9.14.
Рассмотрим оператор А: С[0, 11 — С[0, 1), Ах(1) = Г х (т) с?т+э(1), о 6О а) Доказать, что сс'(А) =О, так что прп любом у си ~С[0, 11 уравнение Ах у не может иметь более одного решспи . ешспия. б) Доказать, что А непрерывно ооратим и иаГпи опе- 1 С[0 1! 9.1й. Доказать, что оператор А: С[0, 11- с Ах (1) =- х (1) + ~ е'" х (а) с?з о А непрерывно обратны п найти оператор 9.18.
Рассмотрим оператор А: С[0, '1) С[, - С[0 1) '4х (1) с + х (1) «Сс с о ччстгю оп б... пре теления ?)(А ) — линейным многообразием [О, 11 ф нк- дван;ды не с непрерывно дпфференцпруеыых на [, функх'0 О. ций х(1), удовлетворяющих условиям х(0) х ( ) а) Доказать, что А — неограниченный линейный опе- ратор. б) Доказать, что А непрерывно ооратпм и найти о пе- рагор А '.
с 9,17. Рассмотрим оператор А: С[0, '11- С'[О, 11, с Ах(1) = ~ е ' 'х(з)с?з, о Существует ли оператор А '? 9. 8. П Х вЂ” линейное нормированное простран- ство А: Х вЂ” Х вЂ” такой лппейньш оператор с . что ряд ~ А"х сходится для любого хсн Х. з-о (7 —.4' ' а) Доказать, что существует оператор (?в б) Пусть, кроме того, А ы Ы(Х), Доказать, что для любого х ы Х (г А) 'х= ~', А"х. 9.19. Пусть Х вЂ” баналово пространство, А сн х'(Х) и Ц вЂ” А!! (1. Доказать, что А непрерывно обратссэс. 9.20.
Пусть Х вЂ” комплексное бананово пространства, А ы '?'(Х) ?. я С и !).! ) ?А!!. Доказать, что оператор А — ).? непрерывно оарапсм. 9.21. Пусть Х, У вЂ” баналовы пространства, А ~ си У(Х, У) и оператор А ' существует п ограничен на 6! 11( (), Док, ютгч ч1о 1((г!) явллетсл подпросгранством в крош ракс гве У. 9.12.
Пусть Х, 1 — озлахоиы прост!ьшсзва, А„, Л = ы 2'(Х, ) ) (а с Х) 1! Л. сходптсл прн и -~. Оо к Л сильнО, А „' ~ 5.'(1, Х) п 11(Л) = У. Доказать, что решения уравнеяля Л„х„= у ссодлтся к решенню уравнения Л.г у для:нооого у ы 1' тогда и только тогда, когда аир) Л „'!'( оо, 9.23. Пусть Х, У вЂ” бана:совы пространства, г(„, А с ыЫ(Х, У) (пыМ) н А„- Л прп и, Доказать, что длл того чтобы оператор А был непрерывно об!згтп», необходи»о и достаточно, чтобы: а) операторы А„былп непрерывно обратимы, начиная с некоторого номера )г; б) последовательность Л„' для и -,'т' бьша ограшгчена. 9.24. Пусть ГТ вЂ” гпльбертово пространство, Л ю.х'(11), Л(А) =Н и оператор А п»еот едпиствеяный ограниченный правый обратный оператор Л „'.
Доказать, что Л непрерывно обратшк 9.25. 1!усть Х вЂ” оапахово пространство. Доказзть, что в пространстве 2'(Х) »ножество всех непрерывно обратн»ых операторов является открытым. 10. Замкнутые операторы Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства. Их пря.чой суммой называется балаково пространство Я = Х+ 1' пар з=(х,у), где хыХ, у~У, с операция»п а,з,+а,:,= =(ах,+охь ау,+ау), где,=(х„у), з =(х, у), ао а, — сьаллры, п с нормой (зз = )х ~л + зу~ т. Графика.ч линейного оператора А с областью определения 17(Л) с Х н областью значенпй 11(Л) с У называется совокупность пар (х, Ах) с Я = Х-[-У„Лпнейный оператор А: Х )" называется за.чкнугым, если его график нвляется замкнутым мпогкеством в пространства Л = Х+ 4- У, Иначе говоря, Л аамкнут,еслн из х ы1)(А) (п ш 5[), х„- х и Лх„- у вытекает, что хы1)(А) н Ах=у.
Теорема 10.1. Если А — 2'(Х, У), то А заглянут. Теорема 10 2. Если А за:тнут и оператор А ' существует, то А ' загяннут. Теорема 10 3. 11усть А — заччнутый линейный оператор е 1)(А) Х, Тогда А ограничен, дд 10,1. Рассмотр~гзг оператор Л: С[О, 1) - С[О, 11, Ахй) х(П11 с областью определения )г(г)) = [х(() ы С[О, 1): 1(ш( 'х(() г-а существует). Доказать, что Л вЂ” замкнутый оператор. 10.2. Рассмотрнм оператор Л; С[О, 11 — С[0, 11, Ах(() = е(хя( с областью определения б(Л) — линейны» многообразнем непрерывно лпфферснщгруемых на [О,!) фугпцпй х(г), удовлегворягощих условплм х(0) =х(1) О.
Доказать, что Л вЂ” замкнутый опер,сор. 10.3. Рассзго~риз1 опера гор А: С[О, 1! С10, П, Лх(() = г('х(г(Р + х(г) с оолзстыо оиределелпл 1)( !) — линейным многообразнем два кдгл нснрерывпо тифферепцируемых па [О, 1) функшш х((), удоалетворгпощпх условплм х(0) х (0) О. Доказать. чго г! — неограниченный замкнутый оператор. 10А. Докюыгь, ыо оператор лроектпрованпя Р на надпространство 1, банахова прос~равсзва Х параллельно подпространству 91 (с», задачу (!.35) замкнут и, следовательно, огравпчен.
10.5. Доказать, *по в пространстве С[а, Б) оператор Ах(() =Ихйй определенный на лпнейпом многообразии непрерывно дифференцируеиыч на [а, Б) функцяй, замкнут. 10.6. Доказать, что в прлмой сумме банаховых пространств ьюгкно ввести норму следующпмн способами: зз ~ ~,",~хР + гу~(г гз(! ()хзР + гу)г)~гг р ~ 1 ~)з,~ =шах(зх", ~)у~). Доказать, что все зтп нормы зквпвалентны.
10.7. Доказать, что график лппейного операторз А: Х У являотсл линейным многоооразпем в пространстве 2 =Х+ У, 10.8. Всякое ля линейное многообразие в пространстве Я = Х-1- У мол'ет являться графиком некоторого линейного оператора'. 10.9. Доказать, что огранпченный линейный оператор А: Х - У замкнут тогда и только тогда, когда Р(А) замкнуто в Х.
10ЛО. Пусть А: Х У вЂ” аамкпутьш линейный оператор. Верно лп, что: а) 1)(А) заьп;нута в Х; б) 1((А) замкнуто в 1'7 10.11. Доказать. что множество нулей замкнутого оператора является замкнутым множеством, 10.12. Пусть А: Х вЂ” У вЂ” такой линейный оператор, что В(А) замкнуто в У п существует такое ты Н (тл.
) О), что для лгобого х ю/)(А) вьпюлняется неравенство ~А«1~ т~!х~й Доказать, что А — замкнутый оператор. 10.13. Пусть А,В: Х- У вЂ” линейные операторы, причем А замкнут, В ограничен н 0(А) ~/)(В). Доказать, что А+ — замкнутый оператор. 10.14. Пусть А: Х- У вЂ” замкнутый линейный оператор, В(А) - У и оператор А ' существует. Доказать, что А ' ж.х.(У, Х). 1035.
11усть А: Х вЂ” У вЂ” ллнейный оператор. Доказать, что А является замкнутым тогда п только тогда, когда В(А) в норме (Щ =(~х)1х+ )Ах1г, является банаховым пространством. Глава 3 СОПРЯЖЕННЫЕ П1'ОСТРАНСТВА П СОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ в 11. Непрерывные линейные функционалы Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство. Всякий оператор /: Х вЂ” У, где У = Н плп У =- С, называется функц(пеналом, при этом значение функционала / на элементе х ж Х обозначается <х, /).
В этой главе рассматриваются только линейные функционалы. Поскольку линейный функционал является частным случаем линейного оператора, для пего остаются в силе понятия непрерывности, ограниченности и нормы, а также теоремы нз зз 7, 8. Пространство непрерывных линейных функционалов Ы(Х, У), где У = В или У = С, называется сопряхеенным к Х и обозначается Х*. Гиперплоскосгью называется множество (х ж Х: <х, /> =М, где / — линейный функционал, ) жН йжС). 11А.
Пусть Х вЂ” комплексное линейное пространство, / — определенный на Х и не равный тождественно нулю линейный функционал. Доказать, что область значений / есть все С. 11.2. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, /ы Х*. Докааать, что: а) ',(/~ = зир ~и«лаз б) ()/'1 = эор ((х,/) (; х «лм=т в) )! /(! = аир (х, /), если пространство Х вЂ” вещехк«лп=г ственное.
11.3. Доказать, что следующие функционалы в пространстве С(-1,1) являются линейными непрерывными и найти их нормы: а) (х, /) =- —. (х ( — 1) + х (1И; б) (х,/) = 2(х(1) — х(0)); 5 В. а. треаогав в др, в) (х,)) = ~ иьх(11), где набор чисел п11иК и 1=1 11 11,..., 1 'и [ — 1, 1[ — фиксированные; г) (х, Я вЂ” — [х(е) + х( — е) — 2х(0)[, е~ [ — 1, Ц; 1 д) (х, 1') = ~ х (1) 1[1; о 1 е) (х,?) = ) х(1) 1[1 — х(0); -1 о 1 -) <.,1)=5 ()~-1.()И; -1 о ) <,)> = а[ (1)а1 — 2 ',,~,,— ). 2 /А -1 11.4.
Будут лп ограниченными в пространстве С[0, 1) следующие линейные функционалы: 1 а) <х, 1> = ~ х ( 'тг7) Ж; о 1 б) (х, 1) = ) х (11) 1[1; о 1 в) (х,1) = 1пп ) х(1")Ж? о 11.5. Доказать, что следующие функционалы являются лпненнымп непрерывнымп, и найти нх нормы: 1 а) (х, 1) = ~ 1Х(1)аьц хек С[ — 1, Ц; -1 1 б) (х,?) = ) 1Х(1) 1?1, хек С'[ — 1, Ц; о в) (х, 1) = [ <х (1) аь, х ен С1 [ — 1, Ц; -1 1 г) (х, 1) =- 1 1Х (г) г[1, х ен Со [ — 1, Ц; -1 1 д) (х, 1) = — ~ 1 ' 'х (1) г[Ф, х ~ Со[0, Ц; о е) (х,?) = х, + х„х = (х„х.„... ) ~ 1,; ) < 1>=-Х7 =-(х".1 1=1 'К1 хо з) (х,?>= ~, —,, х=-(х„хо,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
