В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 9
Текст из файла (страница 9)
— линейным многообразием непрерывно дифференцпруемых на [О, 1] функций? 7.14. Будет лп ограниченным оператор А: Н'[О, 11- Х о[0, 1], А хОО = г]хаас]Е? 7.15. Для каких функций ге(Е) оператор Ах(Е) = р(Е)х(Е) будет ограничен, еслп он рассматривается как действующий: а) из С[0, 11 в С[0, 11; б) из ГЛО, 1! в Юг[О, 11? 7Л6. Доказать, что оператор А; С"!а, Ь1- С[а, Ы, А (Е) = ~ ~ (Е) '"(Е), г о где функцпп гг,(е) для Е = О, 1,..., й непрерывны на [а, Ы, является ограяпченнызг.
7Л7. Пусть е„(и ~ Л) — ортопормированный базис гильбертова пространства Н, й„ги В (гг ги Н). Доказать, что если последовательность ?.о ограничена, то равенства Ае„='?.,е„(гг ги.'ч) определяют ограниченный ллнейный оператор А: Н вЂ” Н с 1)(А) = Н и )А)~ = зир 12„1. и 7Л8, Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства А: Х вЂ” У вЂ” непрерывный линейный оператор с В(А ) = Х. Всегда ли существует х ы Х, х ~ 0 такое, что ]Ах[[ = [~А'[1х['? 7.19. Пусть Х, У вЂ” ллнейпые нормированные пространства, причем Х ьонечномерно.
Доказать, что всякий линейныгг оператор А: Х- У с 1)(А) =Х ограничен и существует хыХ, хчеО такое, что [[Ах'[=~[А] '[х[[, 7.20. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, А: Х вЂ” У вЂ” линейный оператор. а) Доказать, что Н(А) — линейное многообразие в У.
б) Всегда ли Н(А) — подпространство в У? 7.21. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, А: Х вЂ” У вЂ” такой линейный оператор, что многообраапе Н(А) = У конечиомерно. Следует ли отсюда, что А — ограниченный оператор? 7.22. Доказать, что ядро ]т'(А) ограниченного линейного оператора А; Х вЂ” У является подпространством пространства Х. 7.23.
Пусть Х, У вЂ” линейные норггированные пространства, А: Х вЂ” У вЂ” такой линейный оператор, что Л'(А) является подпространством в Х, Следует ли отсюда, что А — ограниченный оператор? 7.24. Пусть А: Х- У вЂ” линейный оператор с ]?(А) = Х, причем Н(А) конечномерно, а МА) замкнуто в Х. Доказать, что А — ограниченный оператор. 7.25.
Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, А: Х -«Х — ограниченный линейный оператор с Е?(А) =Х. Верно лн, что Х=Н(А) ю ]т'(А)? 7.26. Пусть Х вЂ” бапахово пространство, А: Х- Х— изометрический линейный оператор с Е)(А) = Х.
Доказать, что Н(А) — надпространство в Х. 7.27. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А: Х вЂ” Х— такой ограниченный линейный оператор с О(А) Х, что 4 В А троиогии и др. ггя существует с ее В, с > 0 такое, что для лаойого хи Х выполняется неравенство 'Лха ~ сах)~, Доказать, что Й(.1)— надпространство в Х. 7.28. Рассмотрим оиерааор Л: С(а, 6! С(а, 6), ЛхП) =- = а((г)хП), где ар(г) аи С(а, 6!.
Прп каких успев)акт на функцию ар Ф 0 мно,ьество Н(Л) является подпространством С(а, 6)? 7.29. Пусть Х, У вЂ” баяаховы пространства, Л: Х— Х вЂ” ограниченный линейный оператор с г)(А ) = Х Всегда лп равенсгва: а) ))х)), ))Ах!); б) ()х))а ))х!)+()Ах)! задают в Х норъау? Будет ли в атой норме Х банаховым пРостранствомо 7.30. В пространстве 1 рассмотрим оператор А, перевотящий элемент х = (х„х„...) ю ), в злемент Ах = (л,х„бох„...), где )..„ю В (п ы М).
а) Доказать, что прп любых ).„оператор А — линейный, б) При каких условиях на последовательность?.. ШЛ) совпадает со всем пространством 1? в) Прп каких условиях на последовательность 6„оператор А будет ограничен и какова будет пря атом его норма? г) Если А — ограниченный оператор, то всегда лн найдется х ав 1„х чь 0 такое, что !'Ах)! - [)А)))!х))? д) Прп каких условиях на последовательность ).„множество В(А) является подпростракством 1,? 7.31. Пусть а ~ 0 фпкспровапо, С вЂ” банахово пространство непрерывных на (О, + ) функций хП), удовлетворяющих условию зпр е"! х(г)! ( оо, [о,, ) с нормой ()ха)„= зпр е (х([) (, [оч .) Доказать, что: а) ф)уньцпя х(Г) Г'е "аиС„праа 7)сс, о~0 и б) непрерывная функция х([) принадлежит пространству С„ тогда н только тогда, когда существует такая постоянная йр) О, что для любого [ех [О, + ) выполняется неравенство !х00! ~ 3?е "'; оо в) оператор В умно кения: Вх'г) = 6([)х(г), где 6([) ю аи С„р > О, являеася пенрерывным лппепным оператором, действу)ощип п) простраааства С„в пространство С„„причем !'В)а = ' 6'„: г) интегральный оа" рааор а Лх(Г) = ~ е "" ел (в) де о является прп р > и > ( непрерывным линейным оператором, действующим пз просграпства С в просгранство С„ причем а)А)! = 1П)) — а) при 7 = а, а прп 7 ( и $8.
Пространство ограниченных линейных операторов Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, оба вещественные илп оба комплексные, Л,  — ограниченные линейные операторы, определенные на всем Х, со значениями в У. Полагая, по определению, (Л + В) х ° Ах + Вх, ?А (х) =? Ах, ~ Л Ц - зар Ц Ах ~, омл,!) ",)=а получаем линейное нормированное пространство Я(Х, У) ограниченных линейных операторов, В пространстве 2'(Х, Х) = Ы (Х) полагаем, по определенпю, (АВ)х А(Вх), тем сазаках),У(Х) становится алгеброй с единицей, где едпницейт является тождественный оператор 1: Х- Х, 1х=х. Последовательность А „аи ~х'(Х, У) (и ~ % называют равномерно сходяаа[ейся к оператору А е У(Х, У) и записывают Л вЂ” А (п — ), если ))А„— А)! — 0 (и — ).
Последовательность А„ю м""(Х, У) (паи М) называют сильно сходщуейся к оператору А ~2'(Х, У) п записывают А„- А (и — ) сильно, если для люоого х~Х ))Л„х— — Лх)! 0 (и ~о). Те о р е и а 8.1, Еслаа У вЂ” банахово пространство, то 2'(Х, У) — банахово просграааство. Теорема 82. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, А ам У(Х, У) (пар)) и для любого хы Х последовательность А„х ограничена.
Тогда последовательность ))А„)! ограничена, Теорема 8.3. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, Л, ы К(Х, У) ()г ан?ч). Для того чтобы последователь- ность Л„при п — сильно сходилась и оператору А ы ~ 2'(Х, У), необходимо и достаточно, чтобы 1) пос,тедовательность !!А„(! была ограничена; 2) А„- А (и — ) сильно на некоторогя линейноьч .нногообраэив, вс>оду плотном в пространстве Х, Т е о р е и а 8.4. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, У вЂ” банахоео пространство, А; Х вЂ” У— линейный оператор, причем В(.4) = Х и но 0(Л) оператор А ограничен. Тогда суи)ествует такой ограниченный линейный оператор Л ~я 2'(Х, У), что Ах = Ах для лгобого хе 0(А) и 1А!! = !!А!!.
При атом оператор А называется продолгсениегч оператора Л на все пространство Х. 8.1. Привести пример линейного нормпроваяного пространства Х и таких операторов А, В ~ 2(Х), что АВ т'- М ВА. 8.2. Пусть Л, В ~ 5.'(Х, У) — ненулевые операторы и В(А) О В(В) О. Доказать, что А, В линейно независимы. 8.3. Пусть А, Вы2'(Х, У) п Н(А) =Н(В), М(А) = )У(В). Следует ли отсюда, что А = В? 8.4. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, (т с Х вЂ” открытое множество, Г~ Х вЂ” замкнутое множество, А ы 2'(Х, У). Будут ли образы зтпх множеств соответственно открытым и замкнутым множеством в У? 8.5. Пусть  — надпространство линейного нормпровапного пространства Х и М = (А ~ 2'(Х, У); М(А) = ХЗ. Является ли М подпространством в пространстве 2'(Х, У)? 8.6. Пусть  — надпространство линейного нортнцгованного пространства Х и М = С1 ы2'(Х, У): Ж(А) ~ Ц.
Является лп М подпространством в 2(Х, У)? 8.7. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Л ы 2'(Х) — произвольный оператор, йг„= Ж(А') (й = О, 1,2, ...). а) Доказать, что Мг ~ М, =... =)У„= М„., с... б) Пусть для некоторого натурального пг впервые т:,. йг ь Доказать, что М .„=)т,„дли люоого натУРальиого р. 8.8. Докааать, что отображение Ф: Ы(Х, У) — В, Ф(А) = !'А!( непрерывно.
8.9. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, А ы 2'(Х) — фиксированный оператор. Образуют ли в пространстве 2'(Х) надпространство всевозможные операторы В ~н 2'(Х), удовлетворяюгппе условию: а) ЛВ =-О; б) ЛВ =В.(? 8.10. Доказать, что прп замене норм в линейных нормированных пространствах Х и У на зквивалентные новая норма в пространстве х'(Х, У) будет эквивалентна старой. 8Л1. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, А, А гн ю 2'(Х, У) (п ы Н) и А„А (п ) сильно на некотором линейном многообразии, всюду плотном в пространстве Х, Следует ли отсюда, что Л„- А (и - ) сильно? 8Л2. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, А„ы 2'(Н) (пюН) п впр!(Л.х, у)! <- для любых х,.
у~Н. Дока» вать, что впр (А„! ( о . 8ЛЗ. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, множество М е 2»(Х, У) таково, что вир (!Ах(! ср(х) < оо янга для любого х ы Х. Доказать, что вир )! 4)! < оо Аем 8Л4. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, А„гн е.сГ(Х, У) (пю)ч() и для любого хеХ последовательность А„х фундаментальна. Доказать, что существует такой оператор А ю2'(Х, У), что А — А (и- с») сильно. 8.15. В пространстве С( — л, л] рассмотрим надпространство М функций х((), удовлетворяющих условию х( — л) х(л).
Для хОП юМ положим а„сч ув (?) = Авх(т) = —." +,7„аь спейс + Ь„а(п?с?, где аь =- — ) х(г)соей(с((, Ь„= — ) х(г)в(пйта(; л тем самым каждой функции х(г) ы М сопоставлена частичная сумма ее ряда Фурье. а) Доказать, что в б) Доказать, что А„ы Ы(М) я что л в) Пусть В ~ С[ — л, л) — подпространство тригонометрпческпл многочленов. Доггатагь, что на С последовательность А„прп л - сильно слодпгся к тождественному оператору. г) Предположим, что '[А,х — х? — О для любои х(г)гн М прп и- .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
