Главная » Просмотр файлов » В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу

В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 6

Файл №1128568 В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу) 6 страницаВ.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568) страница 62019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

в) Выполняется лн в пространстве Ег [ — 1, !] утверждение теоремы 3.3? 3.37. В пространстве 1, рассмотрим последовательность хь = (1, —, — — ...~, А. е= Ы, 1 ' он ' Зго Зон' Доказать, что линейная оболочка этой последовательпоспг всюду плотна в пространстве !г. 3.38. Пусть х„(л ~ Ь]) — фикспрованпая последовательность элементов гильбертова пространства П, (и ~ ]э[). — фнкснрованяая последовательность вещественных (комплексных) чисел.

Рассмотрим множество М = = (х гя Н: (х, хг) = Ль). Доказать, что если М непусто, то ЛХ = х„+ Х, где х„гн Н, Х вЂ” подпространство Н. 3.39. Пусть х, (Хо= 1, 2, ..., >г] — фикснрованная последовательность элементов гпльбертова пространства П, ).„()г 1, 2, ..., п) — фпксированная иоследовательносп, вещественных чисел. Доказать, что множество М = (х ю П: 1!е(х, хн) «).„)« = 1, 2, ..., и) замкнуто и выпукло в П. 3.40.

Пусть М вЂ” замкнутое выпуклое множество в тпльбертовом пространстве Н. Доказать, что в М существует и едннствен элемент с паяменьшей нормой. 3.41. В пространстве !о постропть замкнутое мпожество, в котором нет элемента с папмекьшей нормой. 3.42. Пусть М вЂ” замкнутое выпуклое множество в вещественном пгльбертовом пространстве П. Доказать, что элемент уяМ удовлетворяет условию р(х, М) =Ьх — у) тогда н только тогда, когда для любого гон М выполняет«я неравенство (х — у, у — з) > О.

3йгЗ. В гпльбертовом пространство П рассмотрим замкнутое выпуклое множество М = д, (х,). Пусть х ю Н, од хФ,)Х. Доказать, что элемент у И такой, что р(х, М) "х — уо, имеет впд у=хо+т о 3,44. Доказать, что в пшьбертовои пространстве любая последовательность непустых вложенных выпуклых замкнутых ограниченных множеств пмеет непустое пересечелпе. 3 бгб. В пространстве С[О, 1] построить последовательность пепустых вложенных замкнутых выпуклых ограниченных множеств, имеющую пустое пересеченпе, й 4.

Пространства Лебега н Соболева Ь[погкество М ~ [а, Ь] пмеет херу нуль, еслп для любого с ) О существует такая конечная нлп счетная скоте иа отрезков [а, р 1, что М~ Ц [ан,[т,],~(])„— а,)(е, п н Если длл последовательности х„(!), (и ~ Х) всюду на [а, Ы за исключением, быль может, множества меры нуль, существует предел, равный хП), то говорят, что х„(1) сходптся и х(1) погти всюду на [а, Ь], и записывают !!шх„(1)""= х(!). т !Тусть Г,[а, Ы вЂ” пространство непрерывных на [а, Ь] фунйщпй с нормой ь ~]хг = 1 ] х(!) ] г]1; а сходпиость по этой норме называется сходимостью в сред- нвм. Пространство Е,[а, Ь] — не полное; его пополнение называется пространством гуебвга п обозна гается Х,[а, Ы, Фупкцпю хИ) называют интегрируемой гго Лвбегу на отрезке [а, Ы, еслп существует такая фундаггентадьная в среднеи последователышсть непрерывных функцпй х,,(г), (и гя гэ), что Игп хн(!)н"х(г).

Тогда интегралом,7еи бега по [а, Ь] от функцпп хИ) называется чпсло Ь ь (.с ) ~ х (1) ЯК! = 1пп ~ хо (!) дг, н н-\ н Элементы пространства Х„[а, Ы вЂ” это функппн х(!),для которых Ь (х ) ] ( х (!) ] «И «. с и нн В. ж тронотнн и нр. Пусть Ге[а, Ы вЂ” пространство непрерывных на [а, Ы функций с нормой [ь ~1 р )1.) )) =- ~ ( [ х (т) ', р /]г ~, р ) 1.

а Пространство Е„[а, 61 — пе полное: его пополнение ооозначаетея Е,[а, Ы. Элементы Е.„[а, 61 — зто фуякцпп х(г), для которых (2') ] [х ('г) [" /]г( со. / Пространство Ее[а. 61, как пополнение евклидова простРзнства Хо[а, Ь1, ЯвлЯетсЯ гнльбеРтовыхк скалпРпое нРоизведение в нем имеет нид (.г, у)=(2') ( х(г) у(() ((г. а Пусть П'[а, 61 — пространство непрерывно дяфференцпруемых на [а, 61 функций со скалярным произведением ь (х, у) = ( [х (г) у (г) + х (г) у (г)1/[г. а Это пространство — не полное; его пополнение — гильбертово пространство, называемое пространством Соболева и ооозначаемое Н"а, Ы . Элементы, присоединяемые к Н'[//, Ь1 при его пополнении, могут быть отождегтнлепы с функциями х(г) пз пространства Е,[а, Ы, пмеющпмп абоба(енные производ//ые х'((). Теорема 4.1.

Пространство Н'[а, 6) вложено в пространство С[а, Ь1. 4Л. Доказать, что в пространстве Е.,[а, Ы нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой, 4.2. Доказать, что если х(г), уООеа Ео[а, Ы, то х(()у(()ез е Е,[а, Ы. 4.3. Привести пр)имер функции: а) хП) ы Ег[0/ 1] такой, что х'(г) Ф Ео[0, 1]; о) хО) ~ Е,[0, 11 такой, что хкО Ф Ег[0, 11.

4.4. Доказать, что всякая последовательность х.(П (н(н Х), сходящаяся н пространстве С[а, Ь], будет сходнщейся и в пространстве Е,[а, 6] (р зн 1). 4.5. Привести пример последовательности нспрерынпых на [О, 11 функций х„(!) (и ~ ]ь/), сходящейся в пространствах Е.,[0, 11 и Ео[0, 11, но не сходящейсн в пространстве С[0, 11. 34 4.0. Д/казать, что после чопате;пжость х„(П = ноге "' (и ы.ь) сходи)ся по)оче п)о к фуньцпи х(г) = 0 для лгобо)о ( = О, гю не сходится в пространстве Ег[0, 11. 4.7. Доказать, что множество непрерывных на [д, 61 о])ункип(г является всюду плотным в пространстве Е„[а,61 (р >!). 4.8. Доказать, что пространство Е„[а, Ы (р Р: 1) сепарнбсльпо.

4.9. Пгб!гп угол /р мен ду элементамп х(П = оп) т и у(г) = ( в пространстве ЕЛО, л1. 4.10. Иайтп углы треугольника, оорзаонаиного в прострапс/ве Ег[ — 1, 11 злеь)ептатш х,(т) =- О, х,(() — = 1, хг(() = =Е 4.11. Найти норму Ц)упкцпп х(1) = 1" в тех пространствах Е,„(О, 11 (р ~ 1), которым эта функции принадлежит. 4Л 2. Провести ортогопализацпю элемеггтов хоОО = — 1, х,(г) = г, хг(() = 1, х,(() =- Р н пространствах: а) Е, [ — 1, 11; б) Ег[О, 11. 4.13. В пространстве Е,[0, 11 рассмотрим ъ)но;кество Л функций, оораща)ощпхся в пуль на некотором интервале, содер;кицем топ(у 1= 0,5 (и зависящем, вообще говоря, ог функции). Будет ли А замкнутым множеством? 4.14.

Доказать, что множество функций пз прострапстна Е. [О, 11 таких, что почти все пх значения лежат па [ — 1, 11, выпукло. Является ли это множество замкнутым'. 4.15. В пространстве Е, [ — 1, 11 для произвольного 6 ~ В обозначим через М, множество всех непрерывныт функппй х(г), для которых х(0) = /.. Доказать, что каждое '!Е выпукло и всюду плотно в пространстве Е, [ — 1, 1].

4.10. Доказать, что множество мпогочленон РВ) такпт, что Р(1) = О, является выпуклым и всюду плотным в пространстве Е, [О, 11. 4,17. Доказать, что множество ступенчатых функций является выпуклым и всюду плотным в пространстве Ег(а, Ы. 4,18. Пусть [с, /Л ~ [а, 61. Доказать, что множество ]/Х = (х(П ы Ео[а, 61: х(() = 0 почти всючу на [с, о]1) является подпространством г)ространства Е,[а, Ь1. Описать надпространство М '. 4.19, Доказать, что в пространстве Е,[0, 11 множество 1 г/- (*(/) г) (о, (г 1*(/)г/-о(.

является подпросьгранствоьт. Описать надпространство М-'. 3 33 4.20, Доказать, что тождественное отобран'ение Ух = х осуществляет вложение пространства С[а, 61 в простран- ство Ет[а, Ы при любом р > 1. 4.21. Доказать, что тождественное отобра кение 7х = х осуществляет вложение пространства Л„[а, Ы в простран- ство Е.[а, Ь], если 1 "- э ( р. 4.22. Доказать, что множество многочлеиов вск2ду плот- но в пространстве Н'[а, 61. 4.23. Пусть х(С) ~ Н'[а, Ы, у(С] ~ С'[а, Ь]. Доказать, что хИ)уОП ы Н'[», 6]. 4,24. Найти угол 2[ ме кду злементамп х'С) = з1п С и уОП = С в пространстве !!'[О, и). 4.25, Провести ортогопалпзацию системы элементов х,(С) = 1, х,(С) = С, хг(С) = С', х,(С) = С' в пространстве Н'[ — 1, 11. 4.26.

Доказать, что система функций йлу ( — а) алз (С вЂ” а) 1, алп, соз ', Ь вЂ” а Ь вЂ” а ортогональна в пространстве Н'[а, 61. 4,27. Доказать, что множество Й'[а, Ь] (х(С) ы Н'[а, 6]; х(а) = х(Ы = 0) и! 1 является подпространством в пространстве Н [а, Ы. о Описать подпространство (П'[а, 61), 4,28. Доказать, что множество Ь! = (х(С) ы Н'[а, Ы: х(а) = х(Ы1 пп является подпространством в пространстве Н [а, Ы, Описать надпространство 3! . 4.29. Доказать, что множество ь 31-(*(ч г'ь.ч:[*р>а-о( а является подпространством в простраислве П'[а, 61.

Описать подпространство тт!". 4.30. Доказать, что для того чтобы функция хОП из пространства Ел[0, л1 принадлежала подпространству Й'[О, л1 = (х(С)2п Н'[О, л1: х(0) = х(л) 01, пеобход1гмо .2 и достаточно, чтобы сходился ряд т Ь Ьы где Ьл Л 1 2 — ( х(С) э1п ЬС 2]С (Ь 'и чч). Прп атом а 1 ~*„=0 ---~[.2(С]+'-(С)]дС='"-,,'~ (Ь + ЦЬ',.

а " 1=-1 4.31. Некие пз функций х(С) аап С, у(С) — [С~ принадлежат пространству Н'[ — и, л]? 4.32. Доказать, что вложение пространства Н'[О, п] в пространство С[0, и) является строгим, т. е. существует непрерывная на [О, л] функция х(С) Ф Н'[О, л1. $ 5. Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, !в подпространство Х, х ы Х. Если существует такои элемепт иа с Еч что Р(х, И = ~х — паС, то иа называетсЯ элене»тон наи.гучшего прибжгэкения х злементамп !..

Теорема 5.1, Если Е коне 2номерно, то для люоого х 2п Х существует эле.чент >тилучшего приоплижения х элегзентажи Е. Теорема 5.". В строго нормированнога пространстве Х для каждого х ы Х зчозает сущегтвов»ть не болев одного эле.чента наилучи1его 21риолиэкения х элезченто ни Е, В гпльбертовом пространстве Н построение элемента наилучшего приолп;кения для ковечномерпого подпространства Е ~ Н основано на теореме 3.3. Пусть Ь,, 62..,, ,... ܄— базис Е; тогда каждый элемент па 2и Е имеет вид и и* — 2, "ЬЬЛ,О.,2п В плп 61 и С для Ь- 1, 2, ..., и) и сок=! гласно теореме 3.3. отыскание элемента наилучшего приближения сводится к решешпо (относительно 6„62..., .... )..) системы линейных алгебраических уравнений с а х — з,', Ьлйл, 11, =О, !'=1,2...п, (1) л=ч л.'петена (1) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель есть Г(Ьп Ьп ..., Ь„) »а О.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее