В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 6
Текст из файла (страница 6)
в) Выполняется лн в пространстве Ег [ — 1, !] утверждение теоремы 3.3? 3.37. В пространстве 1, рассмотрим последовательность хь = (1, —, — — ...~, А. е= Ы, 1 ' он ' Зго Зон' Доказать, что линейная оболочка этой последовательпоспг всюду плотна в пространстве !г. 3.38. Пусть х„(л ~ Ь]) — фикспрованпая последовательность элементов гильбертова пространства П, (и ~ ]э[). — фнкснрованяая последовательность вещественных (комплексных) чисел.
Рассмотрим множество М = = (х гя Н: (х, хг) = Ль). Доказать, что если М непусто, то ЛХ = х„+ Х, где х„гн Н, Х вЂ” подпространство Н. 3.39. Пусть х, (Хо= 1, 2, ..., >г] — фикснрованная последовательность элементов гпльбертова пространства П, ).„()г 1, 2, ..., п) — фпксированная иоследовательносп, вещественных чисел. Доказать, что множество М = (х ю П: 1!е(х, хн) «).„)« = 1, 2, ..., и) замкнуто и выпукло в П. 3.40.
Пусть М вЂ” замкнутое выпуклое множество в тпльбертовом пространстве Н. Доказать, что в М существует и едннствен элемент с паяменьшей нормой. 3.41. В пространстве !о постропть замкнутое мпожество, в котором нет элемента с папмекьшей нормой. 3.42. Пусть М вЂ” замкнутое выпуклое множество в вещественном пгльбертовом пространстве П. Доказать, что элемент уяМ удовлетворяет условию р(х, М) =Ьх — у) тогда н только тогда, когда для любого гон М выполняет«я неравенство (х — у, у — з) > О.
3йгЗ. В гпльбертовом пространство П рассмотрим замкнутое выпуклое множество М = д, (х,). Пусть х ю Н, од хФ,)Х. Доказать, что элемент у И такой, что р(х, М) "х — уо, имеет впд у=хо+т о 3,44. Доказать, что в пшьбертовои пространстве любая последовательность непустых вложенных выпуклых замкнутых ограниченных множеств пмеет непустое пересечелпе. 3 бгб. В пространстве С[О, 1] построить последовательность пепустых вложенных замкнутых выпуклых ограниченных множеств, имеющую пустое пересеченпе, й 4.
Пространства Лебега н Соболева Ь[погкество М ~ [а, Ь] пмеет херу нуль, еслп для любого с ) О существует такая конечная нлп счетная скоте иа отрезков [а, р 1, что М~ Ц [ан,[т,],~(])„— а,)(е, п н Если длл последовательности х„(!), (и ~ Х) всюду на [а, Ы за исключением, быль может, множества меры нуль, существует предел, равный хП), то говорят, что х„(1) сходптся и х(1) погти всюду на [а, Ь], и записывают !!шх„(1)""= х(!). т !Тусть Г,[а, Ы вЂ” пространство непрерывных на [а, Ь] фунйщпй с нормой ь ~]хг = 1 ] х(!) ] г]1; а сходпиость по этой норме называется сходимостью в сред- нвм. Пространство Е,[а, Ь] — не полное; его пополнение называется пространством гуебвга п обозна гается Х,[а, Ы, Фупкцпю хИ) называют интегрируемой гго Лвбегу на отрезке [а, Ы, еслп существует такая фундаггентадьная в среднеи последователышсть непрерывных функцпй х,,(г), (и гя гэ), что Игп хн(!)н"х(г).
Тогда интегралом,7еи бега по [а, Ь] от функцпп хИ) называется чпсло Ь ь (.с ) ~ х (1) ЯК! = 1пп ~ хо (!) дг, н н-\ н Элементы пространства Х„[а, Ы вЂ” это функппн х(!),для которых Ь (х ) ] ( х (!) ] «И «. с и нн В. ж тронотнн и нр. Пусть Ге[а, Ы вЂ” пространство непрерывных на [а, Ы функций с нормой [ь ~1 р )1.) )) =- ~ ( [ х (т) ', р /]г ~, р ) 1.
а Пространство Е„[а, 61 — пе полное: его пополнение ооозначаетея Е,[а, Ы. Элементы Е.„[а, 61 — зто фуякцпп х(г), для которых (2') ] [х ('г) [" /]г( со. / Пространство Ее[а. 61, как пополнение евклидова простРзнства Хо[а, Ь1, ЯвлЯетсЯ гнльбеРтовыхк скалпРпое нРоизведение в нем имеет нид (.г, у)=(2') ( х(г) у(() ((г. а Пусть П'[а, 61 — пространство непрерывно дяфференцпруемых на [а, 61 функций со скалярным произведением ь (х, у) = ( [х (г) у (г) + х (г) у (г)1/[г. а Это пространство — не полное; его пополнение — гильбертово пространство, называемое пространством Соболева и ооозначаемое Н"а, Ы . Элементы, присоединяемые к Н'[//, Ь1 при его пополнении, могут быть отождегтнлепы с функциями х(г) пз пространства Е,[а, Ы, пмеющпмп абоба(енные производ//ые х'((). Теорема 4.1.
Пространство Н'[а, 6) вложено в пространство С[а, Ь1. 4Л. Доказать, что в пространстве Е.,[а, Ы нельзя ввести скалярное произведение, согласующееся с нормой, 4.2. Доказать, что если х(г), уООеа Ео[а, Ы, то х(()у(()ез е Е,[а, Ы. 4.3. Привести пр)имер функции: а) хП) ы Ег[0/ 1] такой, что х'(г) Ф Ео[0, 1]; о) хО) ~ Е,[0, 11 такой, что хкО Ф Ег[0, 11.
4.4. Доказать, что всякая последовательность х.(П (н(н Х), сходящаяся н пространстве С[а, Ь], будет сходнщейся и в пространстве Е,[а, 6] (р зн 1). 4.5. Привести пример последовательности нспрерынпых на [О, 11 функций х„(!) (и ~ ]ь/), сходящейся в пространствах Е.,[0, 11 и Ео[0, 11, но не сходящейсн в пространстве С[0, 11. 34 4.0. Д/казать, что после чопате;пжость х„(П = ноге "' (и ы.ь) сходи)ся по)оче п)о к фуньцпи х(г) = 0 для лгобо)о ( = О, гю не сходится в пространстве Ег[0, 11. 4.7. Доказать, что множество непрерывных на [д, 61 о])ункип(г является всюду плотным в пространстве Е„[а,61 (р >!). 4.8. Доказать, что пространство Е„[а, Ы (р Р: 1) сепарнбсльпо.
4.9. Пгб!гп угол /р мен ду элементамп х(П = оп) т и у(г) = ( в пространстве ЕЛО, л1. 4.10. Иайтп углы треугольника, оорзаонаиного в прострапс/ве Ег[ — 1, 11 злеь)ептатш х,(т) =- О, х,(() — = 1, хг(() = =Е 4.11. Найти норму Ц)упкцпп х(1) = 1" в тех пространствах Е,„(О, 11 (р ~ 1), которым эта функции принадлежит. 4Л 2. Провести ортогопализацпю элемеггтов хоОО = — 1, х,(г) = г, хг(() = 1, х,(() =- Р н пространствах: а) Е, [ — 1, 11; б) Ег[О, 11. 4.13. В пространстве Е,[0, 11 рассмотрим ъ)но;кество Л функций, оораща)ощпхся в пуль на некотором интервале, содер;кицем топ(у 1= 0,5 (и зависящем, вообще говоря, ог функции). Будет ли А замкнутым множеством? 4.14.
Доказать, что множество функций пз прострапстна Е. [О, 11 таких, что почти все пх значения лежат па [ — 1, 11, выпукло. Является ли это множество замкнутым'. 4.15. В пространстве Е, [ — 1, 11 для произвольного 6 ~ В обозначим через М, множество всех непрерывныт функппй х(г), для которых х(0) = /.. Доказать, что каждое '!Е выпукло и всюду плотно в пространстве Е, [ — 1, 1].
4.10. Доказать, что множество мпогочленон РВ) такпт, что Р(1) = О, является выпуклым и всюду плотным в пространстве Е, [О, 11. 4,17. Доказать, что множество ступенчатых функций является выпуклым и всюду плотным в пространстве Ег(а, Ы. 4,18. Пусть [с, /Л ~ [а, 61. Доказать, что множество ]/Х = (х(П ы Ео[а, 61: х(() = 0 почти всючу на [с, о]1) является подпространством г)ространства Е,[а, Ь1. Описать надпространство М '. 4.19, Доказать, что в пространстве Е,[0, 11 множество 1 г/- (*(/) г) (о, (г 1*(/)г/-о(.
является подпросьгранствоьт. Описать надпространство М-'. 3 33 4.20, Доказать, что тождественное отобран'ение Ух = х осуществляет вложение пространства С[а, 61 в простран- ство Ет[а, Ы при любом р > 1. 4.21. Доказать, что тождественное отобра кение 7х = х осуществляет вложение пространства Л„[а, Ы в простран- ство Е.[а, Ь], если 1 "- э ( р. 4.22. Доказать, что множество многочлеиов вск2ду плот- но в пространстве Н'[а, 61. 4.23. Пусть х(С) ~ Н'[а, Ы, у(С] ~ С'[а, Ь]. Доказать, что хИ)уОП ы Н'[», 6]. 4,24. Найти угол 2[ ме кду злементамп х'С) = з1п С и уОП = С в пространстве !!'[О, и). 4.25, Провести ортогопалпзацию системы элементов х,(С) = 1, х,(С) = С, хг(С) = С', х,(С) = С' в пространстве Н'[ — 1, 11. 4.26.
Доказать, что система функций йлу ( — а) алз (С вЂ” а) 1, алп, соз ', Ь вЂ” а Ь вЂ” а ортогональна в пространстве Н'[а, 61. 4,27. Доказать, что множество Й'[а, Ь] (х(С) ы Н'[а, 6]; х(а) = х(Ы = 0) и! 1 является подпространством в пространстве Н [а, Ы. о Описать подпространство (П'[а, 61), 4,28. Доказать, что множество Ь! = (х(С) ы Н'[а, Ы: х(а) = х(Ы1 пп является подпространством в пространстве Н [а, Ы, Описать надпространство 3! . 4.29. Доказать, что множество ь 31-(*(ч г'ь.ч:[*р>а-о( а является подпространством в простраислве П'[а, 61.
Описать подпространство тт!". 4.30. Доказать, что для того чтобы функция хОП из пространства Ел[0, л1 принадлежала подпространству Й'[О, л1 = (х(С)2п Н'[О, л1: х(0) = х(л) 01, пеобход1гмо .2 и достаточно, чтобы сходился ряд т Ь Ьы где Ьл Л 1 2 — ( х(С) э1п ЬС 2]С (Ь 'и чч). Прп атом а 1 ~*„=0 ---~[.2(С]+'-(С)]дС='"-,,'~ (Ь + ЦЬ',.
а " 1=-1 4.31. Некие пз функций х(С) аап С, у(С) — [С~ принадлежат пространству Н'[ — и, л]? 4.32. Доказать, что вложение пространства Н'[О, п] в пространство С[0, и) является строгим, т. е. существует непрерывная на [О, л] функция х(С) Ф Н'[О, л1. $ 5. Построение элемента наилучшего приближения в гильбертовых и банаховых пространствах Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, !в подпространство Х, х ы Х. Если существует такои элемепт иа с Еч что Р(х, И = ~х — паС, то иа называетсЯ элене»тон наи.гучшего прибжгэкения х злементамп !..
Теорема 5.1, Если Е коне 2номерно, то для люоого х 2п Х существует эле.чент >тилучшего приоплижения х элегзентажи Е. Теорема 5.". В строго нормированнога пространстве Х для каждого х ы Х зчозает сущегтвов»ть не болев одного эле.чента наилучи1его 21риолиэкения х элезченто ни Е, В гпльбертовом пространстве Н построение элемента наилучшего приолп;кения для ковечномерпого подпространства Е ~ Н основано на теореме 3.3. Пусть Ь,, 62..,, ,... ܄— базис Е; тогда каждый элемент па 2и Е имеет вид и и* — 2, "ЬЬЛ,О.,2п В плп 61 и С для Ь- 1, 2, ..., и) и сок=! гласно теореме 3.3. отыскание элемента наилучшего приближения сводится к решешпо (относительно 6„62..., .... )..) системы линейных алгебраических уравнений с а х — з,', Ьлйл, 11, =О, !'=1,2...п, (1) л=ч л.'петена (1) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель есть Г(Ьп Ьп ..., Ь„) »а О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
