Главная » Просмотр файлов » В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу

В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 8

Файл №1128568 В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу) 8 страницаВ.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568) страница 82019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

рассмотреть варианты; а) х(Г) = з(п4л>; е) х(Г) =з(>злг; б) х(Г) )1+Г', ж) х'Г) =е', в) х(Г) = згп (Г+ Г'); з) х00 = ) Г; ') х(Г) = 1и (! + Г); ) х(Г) = и; д) хОП = соз 4лг; к) х(Г) = (и (! — 0,5), й 6. Метрические пространства Множество Х называется шетричегкигз пространством, если каждой паре элементов х, р >н Х поставлено в соот- ветствие вещественное число р(х, у), называемое Гпетри- кой или расстоянием, так что выполняются следующке три аксиомы: .1) р(х, р) ~ О; р(х, у) = О тогда и только тогда, когда х ГГ' 2) 'р(х, у) р(у, х); 3) р(х, у)<р(х, з)+р(д, з) («аксиома треугольппказ). Всякое линейное нормированное пространство являет- ся метрическим, метрика в нем вводится равенством р(х, у) 1х — р!.

Аналопгчно зз 1, 2 в метрическом про- странстве вводятся понятия открытого шара Я,(х„) = = Ох>иХ; р(х, х,) < г), замкнутого шара, открытого и за- мкнутого множества, фундаментальной и стодящейси по- следовательности, полного метрического пространс~ва. Большую часть задач из 1~ 1, 2 можно ставить я решать в метрическом пространстве. Задачи, приведенные ниже, иллюстрируют особенности метрических пространств по сравнению с линейными нормированными. 6.1.

Пусть Х вЂ” произвольное множество. Доказать, что (О при х= у, определяет метрику на Х. Доказать, что люоое подмно- жество Х является одновременно к открытым и замкну- тым множеством. 6.2. Пусть р(х, у) — метрика на множестве Х. Дока- зать, что функции о,(х,р)= Р™, р,(х.,у)= !п(1+ р(х,р)), р„(х, у) =. ит!п(1, р(х, р)) также являются метриками. Пто можно утверждать о полноте получающихся пространств, если в метрике р(х, у) множестбо Х было полныи ме)рическии пространством? 6.3. Каким условяяи должна удовлетворять определенная на Й непрерывная функция и = 1(и), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства р(х, у) ()(х) — 1(у))? 6.4.

Каким условиям должна удовлетворять непрерывная функция и =1(п), чтобы в метрике р(х, у) = )1(х)— — )"(у)( вещественная прямая была полным метрическим пространством? 6.5. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикои: а) р(х, у) !агой х — агс!я у); б) р(х, у) = ,'е* — е',; в) р(х, у) )х' — у'(? Если нет, то описать пополнение по соответствующей метрике. 6;6. В множестве з всевозможных последовательностей х = (х„хм ...) (х„и В, (х, >и С)) положим х = 2" Р(х у)=~а 2 а) Доказать, что р(х, у) — метрика. б) Доказать, что з — полное метрическое пространство.

в) Можно ли в пространстве з ввести норму так, чтобы выполнялось равенство р(х, у) ))х — у)'? >») >' о ) г) Привести пример последовательности х х>и) ъ > >») т, ° ..) гхх еи В), которая сходится в пространстве з, принадлежит пространству ?„но не сходится в пространстве 1,. 6.7. Доказать, что в люоои метрическом пространстве аамь)канве открытого шара Я,(х,) лежит в замкнутом шаре Я,(х,), т.

е. Я,(.г„) ~Я,(х„). Воаможно ли здесь строгое включение? Сравнить с задачей 1.3. 6.8. Доказать, что в любом метрическом пространстве Х для любого х ю Х и любого г) О выполняется неравенство О ~ гПаш Я,(х) < 2г, Привести пример метрического пространства Х и такого элемента х ш Х, что ?Ваш Я,(х) = 0,5. Сравнить с задачей 1.4. 6.9. Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса лежать строго внутри шара меньшего радиуса? Пря каких значениях радиуса а возможно строгое включение Я,(х) = Я,(у)? Сравнить с задачей 1.5. 44 6,10. В множестве 5) натуральных чисел положим О при т=п, р(п,т) = ) 1+ — при п>~п, »+и а) Доказать, что р(п. т) — метрика.

б) Доказать, что ?з с метрикой р(п, т) — полное мет- рическое пространство, в) Построить в )з( с метрикой р(п, т) последователь- ность пепустых замкнутых вложенных, шаров, радиусы которых пе стремятся и пулю, и которая ие Умеет точки, прпнадле,ьащей всем шарам одновременно. Сравнить с задачей 2.26. 6,11, В иножесгве Х всевозможных последовательно- стей натуральных чисел для элементов х (п„п„ ..., п,, ...), у (т„тп ..., >пь ...) ооозначпи через ?>,(х, у) наименьший индекс, прл котором п,за т,. Дока- зать, что: а) О при х=у, р(х у) = — прн х~ у ь (» у) е»ть метрика на Х б) аксиома треугольника выполняется в Х в усиленной форме: р(х, г) ~ шах(р(х, у), р(у, з)),' в) еслл р(х, у) т= р(у, з), то р(х, з) = шах (р(х, у), р(у, г)); г) любой открытый шар Я,(х) является одновременно замкнутым миожесгвои и Я,(у) = Я,(х) для любого у >и >и Я,(х) д) любой замкнутый шар Я,(х) нвляется одновременно открытыи множеством и Ю„(у) = Я„(х) для любого уж ы Я,(х); е) если два шара в Х имеют оощую точку, то одни пз плх содер)ьнтся в другом; ж) расстояние между двумя разлнчнымн открытыми шарами радиуса г, содержащимися в замкнутом шаре радиуса г, равно г; з) для того чтобы последовательность х.

ш Х была фундаментальна, необходимо и достаточно, чтобы р(х., х.е,) — О при ил) пространство Х полно; к) пространство Х сепарабельно. Глава 2 Л11НЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ й 7. Непрерывность, ограниченность и норма линейного оператора Пусть Х, У вЂ” линейные пормировапные пространства, Г: Х - У вЂ” отооран;еппе илп оператор, определенный в окрестности точки х, ез Х, Ои называется непрврывныьи в точке х„ если Г(х) — Г(т„) прп х — х,. Пусть à — оператор с об.сасгью определения Р(Е) ~ Х и с областью гна сенпй ВсГ) ~ У.

Ои называется ограниченным, если переводит любое ограяиченное множество из Р(г) в множество, ограниченное в пространстве У. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, ооа вещественные 'плп ооа комплексные. Оператор Л: Х - У с областью определения Р(А) ~ Х называется «санейныю, если Р(А) — линейное многообразие в Х и для любых х, у си Р(А) п лсобых ).„).с си В (?.с, ?., си С) выполняется равенство АО,т, + )..тг) — ?чАтс +?,Ахс. Ынотс;ество )т(А) = (х ~ Р(А): А(г) 0) называется .

гснохггсгвозс нулей плп ядром оператора А. Теорема 7.1, 7сснейссый оператор А; Х вЂ” У, заданный на вегас Х и непрерывпьсй в точке 0 е Х, непрерывен в любой точке х, си Х Линейный оператор Л: Х вЂ” У с Р(Л) = Х называется непрерывныш, если он непрерывен в точке О си Х. Линейный оператор А: Х- У с Р(Л) =Х называется ограничгнньыс, если существует с я В, с ) О такое, что для лтобого х ~ д,(0) справедливо неравенство 1Ах~! ( с.

Теорема 7.2. Лссссейный оператор А: Х -У с Р(Л) Х ограничен тогда и толька тогда, когда для лсобого х я,Х вьиголняется неравенство 1Лх(~ ( с!)х'!. Те о р е м а 7.3. Лсснейньсй оператор А: Х вЂ” У с Р(А) Х непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. ))орзсой ограииченпого линейного оператора Л; Х - У с Р(Л) = Х называется число )(А~) == гпр с, Л.г',. клхг,<с ' 40 7.1.

Пусть Х, à — линейные пространства, Л: Х- У— лппеппьш операсор п система з;юмсспое х„х,, х„~ с= РС.!) сшпепио зависима. Доказать, что система Л.с,. Л гь ..., .!х„лппейио зависима. 7.2. Пусть Х, У вЂ” линейные пространства, Л: Х У— лппсппьш оператор и система элементов х'„х„..., х. си ы Р(Л) линейно независима. Верно ли, что системз элементов Лх„А.г„..., Ах„линейно независима? 7.3. Пусть Х, У вЂ” линейные пространства, А: Х вЂ” У— лшсейиый оператор.

Доказать, что оператор А переводит выпуклое множество из Р(А) в выпуклое множество в пространстве У. 7.4. Пусть Х, У вЂ” линейные пространства, А: Х вЂ” У— линейный оператор, В = )с(А) — выпуклое мно;кество, дт (х си Р(А): Ах св 8), Ьудет ли множество й( выпуклыы? 7.5. Пусть на линейном пространстве Х заданы две эквивалентные нормы, А: Х - Х вЂ” линейный оператор. Доказать, что в обеих нормах он будет одновременно и:ш ограниченным или неограниченным. 7.6. Доказать, что оператор, осуществляющий: а) изоморфизм линейных нормированных пространств Х и У; б) вложение линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У, является ограниченным, 7.7.

Доказать, что оператор я, отображающий линейное норзшрованное пространство Х в факторпрострапство Х)Р (см. задачу 2.28) и ставящий в соответствие элементу х си Х содержащий его класс смежности $, является линейным ограниченным. 7.8. Пусть Х, У вЂ” линейные норьшрованные пространства, Л: Х У вЂ” ограниченный линейный оператор с Р(4) ХВ Доказать, что '(А) = епр ( лг1 хсчх,кмч 1 ! 7.9. Доказать, что линейный оператор А: Х У с Р(А) = Х ограничен тогда и только тогда, насда существует с ы В, с ) 0 такое, что для любого х ез Я,(О) с Х выполняется неравенство 1Ах'! - с, Если зто условие выполняется, то епр ) ~х)! 7,10.

Доказать, что для ограниченного линеййого опе- ратора А: Х - У с Р(А) = Х справедливо равенство с? ЕА[ = 1п1 с, где с — такое число, что ~[Ах!' с~'гг для любого х ~ Х. 7.11. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, А; Н— Н вЂ” ограниченный линейный оператор с ])(А) = Н. Доказать, что [[А[,'— — звр и,,~ге,и,о~, 1 [(!Р] ' 7.12.

Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы (в пунктах и), л), и) — оценить нормы). г а) А: С [О, Ц -« С [О, Ц, Ах (Е) =- ] х (т) г[т; о б) А: С[ — 1, Ц вЂ” «С[О, Ц, .4х(Ц = х(Е); в) А: С [О, 11 С [О, Ц, Ах(Е) = Е'х(0); г) А: С[0, Ц-«С[0, Ц, Ах(Е) = х(Е'); д) А; С'[а, Ь] -« С [а, Ь], Ах (Е) = х (Е); е) А: С'[а, Ь]- С [а, Ь], Ах(Е) = —; г гк) А: 7.г [О, Ц -«Гг [О, Ц, Ах (Е) = Е [ х(т) г?т) о х(Е), Е<?.,? ен а) А;,: Ее[0, Ц- 7о[О,Ц, Агх(Е) = ен(0, Ц, О, Е>л, Ы(0,1); г и) А: ?.о[О, Ц-«Ее[0, Ц, Ах(Е) = ~ х(т)г]т; о к) А: Н'[О, Ц-«? о[0, Ц, Ах(Е) х(Е); л) А: Н'[О, Ц- Н'[О, Ц, Ах(Е) = Ех(Е); м) А: Н'[О, Ц вЂ” «?о[0, Ц, А.г(Ц = Ех(Е). 7ЛЗ. Будет лп ограниченным оператор А: С[0, 11-« С[0, 11, АхП) =г]х/г]Е, с областью определения?.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее