В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 8
Текст из файла (страница 8)
рассмотреть варианты; а) х(Г) = з(п4л>; е) х(Г) =з(>злг; б) х(Г) )1+Г', ж) х'Г) =е', в) х(Г) = згп (Г+ Г'); з) х00 = ) Г; ') х(Г) = 1и (! + Г); ) х(Г) = и; д) хОП = соз 4лг; к) х(Г) = (и (! — 0,5), й 6. Метрические пространства Множество Х называется шетричегкигз пространством, если каждой паре элементов х, р >н Х поставлено в соот- ветствие вещественное число р(х, у), называемое Гпетри- кой или расстоянием, так что выполняются следующке три аксиомы: .1) р(х, р) ~ О; р(х, у) = О тогда и только тогда, когда х ГГ' 2) 'р(х, у) р(у, х); 3) р(х, у)<р(х, з)+р(д, з) («аксиома треугольппказ). Всякое линейное нормированное пространство являет- ся метрическим, метрика в нем вводится равенством р(х, у) 1х — р!.
Аналопгчно зз 1, 2 в метрическом про- странстве вводятся понятия открытого шара Я,(х„) = = Ох>иХ; р(х, х,) < г), замкнутого шара, открытого и за- мкнутого множества, фундаментальной и стодящейси по- следовательности, полного метрического пространс~ва. Большую часть задач из 1~ 1, 2 можно ставить я решать в метрическом пространстве. Задачи, приведенные ниже, иллюстрируют особенности метрических пространств по сравнению с линейными нормированными. 6.1.
Пусть Х вЂ” произвольное множество. Доказать, что (О при х= у, определяет метрику на Х. Доказать, что люоое подмно- жество Х является одновременно к открытым и замкну- тым множеством. 6.2. Пусть р(х, у) — метрика на множестве Х. Дока- зать, что функции о,(х,р)= Р™, р,(х.,у)= !п(1+ р(х,р)), р„(х, у) =. ит!п(1, р(х, р)) также являются метриками. Пто можно утверждать о полноте получающихся пространств, если в метрике р(х, у) множестбо Х было полныи ме)рическии пространством? 6.3. Каким условяяи должна удовлетворять определенная на Й непрерывная функция и = 1(и), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства р(х, у) ()(х) — 1(у))? 6.4.
Каким условиям должна удовлетворять непрерывная функция и =1(п), чтобы в метрике р(х, у) = )1(х)— — )"(у)( вещественная прямая была полным метрическим пространством? 6.5. Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикои: а) р(х, у) !агой х — агс!я у); б) р(х, у) = ,'е* — е',; в) р(х, у) )х' — у'(? Если нет, то описать пополнение по соответствующей метрике. 6;6. В множестве з всевозможных последовательностей х = (х„хм ...) (х„и В, (х, >и С)) положим х = 2" Р(х у)=~а 2 а) Доказать, что р(х, у) — метрика. б) Доказать, что з — полное метрическое пространство.
в) Можно ли в пространстве з ввести норму так, чтобы выполнялось равенство р(х, у) ))х — у)'? >») >' о ) г) Привести пример последовательности х х>и) ъ > >») т, ° ..) гхх еи В), которая сходится в пространстве з, принадлежит пространству ?„но не сходится в пространстве 1,. 6.7. Доказать, что в люоои метрическом пространстве аамь)канве открытого шара Я,(х,) лежит в замкнутом шаре Я,(х,), т.
е. Я,(.г„) ~Я,(х„). Воаможно ли здесь строгое включение? Сравнить с задачей 1.3. 6.8. Доказать, что в любом метрическом пространстве Х для любого х ю Х и любого г) О выполняется неравенство О ~ гПаш Я,(х) < 2г, Привести пример метрического пространства Х и такого элемента х ш Х, что ?Ваш Я,(х) = 0,5. Сравнить с задачей 1.4. 6.9. Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса лежать строго внутри шара меньшего радиуса? Пря каких значениях радиуса а возможно строгое включение Я,(х) = Я,(у)? Сравнить с задачей 1.5. 44 6,10. В множестве 5) натуральных чисел положим О при т=п, р(п,т) = ) 1+ — при п>~п, »+и а) Доказать, что р(п. т) — метрика.
б) Доказать, что ?з с метрикой р(п, т) — полное мет- рическое пространство, в) Построить в )з( с метрикой р(п, т) последователь- ность пепустых замкнутых вложенных, шаров, радиусы которых пе стремятся и пулю, и которая ие Умеет точки, прпнадле,ьащей всем шарам одновременно. Сравнить с задачей 2.26. 6,11, В иножесгве Х всевозможных последовательно- стей натуральных чисел для элементов х (п„п„ ..., п,, ...), у (т„тп ..., >пь ...) ооозначпи через ?>,(х, у) наименьший индекс, прл котором п,за т,. Дока- зать, что: а) О при х=у, р(х у) = — прн х~ у ь (» у) е»ть метрика на Х б) аксиома треугольника выполняется в Х в усиленной форме: р(х, г) ~ шах(р(х, у), р(у, з)),' в) еслл р(х, у) т= р(у, з), то р(х, з) = шах (р(х, у), р(у, г)); г) любой открытый шар Я,(х) является одновременно замкнутым миожесгвои и Я,(у) = Я,(х) для любого у >и >и Я,(х) д) любой замкнутый шар Я,(х) нвляется одновременно открытыи множеством и Ю„(у) = Я„(х) для любого уж ы Я,(х); е) если два шара в Х имеют оощую точку, то одни пз плх содер)ьнтся в другом; ж) расстояние между двумя разлнчнымн открытыми шарами радиуса г, содержащимися в замкнутом шаре радиуса г, равно г; з) для того чтобы последовательность х.
ш Х была фундаментальна, необходимо и достаточно, чтобы р(х., х.е,) — О при ил) пространство Х полно; к) пространство Х сепарабельно. Глава 2 Л11НЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ й 7. Непрерывность, ограниченность и норма линейного оператора Пусть Х, У вЂ” линейные пормировапные пространства, Г: Х - У вЂ” отооран;еппе илп оператор, определенный в окрестности точки х, ез Х, Ои называется непрврывныьи в точке х„ если Г(х) — Г(т„) прп х — х,. Пусть à — оператор с об.сасгью определения Р(Е) ~ Х и с областью гна сенпй ВсГ) ~ У.
Ои называется ограниченным, если переводит любое ограяиченное множество из Р(г) в множество, ограниченное в пространстве У. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, ооа вещественные 'плп ооа комплексные. Оператор Л: Х - У с областью определения Р(А) ~ Х называется «санейныю, если Р(А) — линейное многообразие в Х и для любых х, у си Р(А) п лсобых ).„).с си В (?.с, ?., си С) выполняется равенство АО,т, + )..тг) — ?чАтс +?,Ахс. Ынотс;ество )т(А) = (х ~ Р(А): А(г) 0) называется .
гснохггсгвозс нулей плп ядром оператора А. Теорема 7.1, 7сснейссый оператор А; Х вЂ” У, заданный на вегас Х и непрерывпьсй в точке 0 е Х, непрерывен в любой точке х, си Х Линейный оператор Л: Х вЂ” У с Р(Л) = Х называется непрерывныш, если он непрерывен в точке О си Х. Линейный оператор А: Х- У с Р(Л) =Х называется ограничгнньыс, если существует с я В, с ) О такое, что для лтобого х ~ д,(0) справедливо неравенство 1Ах~! ( с.
Теорема 7.2. Лссссейный оператор А: Х -У с Р(Л) Х ограничен тогда и толька тогда, когда для лсобого х я,Х вьиголняется неравенство 1Лх(~ ( с!)х'!. Те о р е м а 7.3. Лсснейньсй оператор А: Х вЂ” У с Р(А) Х непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен. ))орзсой ограииченпого линейного оператора Л; Х - У с Р(Л) = Х называется число )(А~) == гпр с, Л.г',. клхг,<с ' 40 7.1.
Пусть Х, à — линейные пространства, Л: Х- У— лппеппьш операсор п система з;юмсспое х„х,, х„~ с= РС.!) сшпепио зависима. Доказать, что система Л.с,. Л гь ..., .!х„лппейио зависима. 7.2. Пусть Х, У вЂ” линейные пространства, Л: Х У— лппсппьш оператор и система элементов х'„х„..., х. си ы Р(Л) линейно независима. Верно ли, что системз элементов Лх„А.г„..., Ах„линейно независима? 7.3. Пусть Х, У вЂ” линейные пространства, А: Х вЂ” У— лшсейиый оператор.
Доказать, что оператор А переводит выпуклое множество из Р(А) в выпуклое множество в пространстве У. 7.4. Пусть Х, У вЂ” линейные пространства, А: Х вЂ” У— линейный оператор, В = )с(А) — выпуклое мно;кество, дт (х си Р(А): Ах св 8), Ьудет ли множество й( выпуклыы? 7.5. Пусть на линейном пространстве Х заданы две эквивалентные нормы, А: Х - Х вЂ” линейный оператор. Доказать, что в обеих нормах он будет одновременно и:ш ограниченным или неограниченным. 7.6. Доказать, что оператор, осуществляющий: а) изоморфизм линейных нормированных пространств Х и У; б) вложение линейного нормированного пространства Х в линейное нормированное пространство У, является ограниченным, 7.7.
Доказать, что оператор я, отображающий линейное норзшрованное пространство Х в факторпрострапство Х)Р (см. задачу 2.28) и ставящий в соответствие элементу х си Х содержащий его класс смежности $, является линейным ограниченным. 7.8. Пусть Х, У вЂ” линейные норьшрованные пространства, Л: Х У вЂ” ограниченный линейный оператор с Р(4) ХВ Доказать, что '(А) = епр ( лг1 хсчх,кмч 1 ! 7.9. Доказать, что линейный оператор А: Х У с Р(А) = Х ограничен тогда и только тогда, насда существует с ы В, с ) 0 такое, что для любого х ез Я,(О) с Х выполняется неравенство 1Ах'! - с, Если зто условие выполняется, то епр ) ~х)! 7,10.
Доказать, что для ограниченного линеййого опе- ратора А: Х - У с Р(А) = Х справедливо равенство с? ЕА[ = 1п1 с, где с — такое число, что ~[Ах!' с~'гг для любого х ~ Х. 7.11. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, А; Н— Н вЂ” ограниченный линейный оператор с ])(А) = Н. Доказать, что [[А[,'— — звр и,,~ге,и,о~, 1 [(!Р] ' 7.12.
Доказать, что следующие операторы являются линейными ограниченными и найти их нормы (в пунктах и), л), и) — оценить нормы). г а) А: С [О, Ц -« С [О, Ц, Ах (Е) =- ] х (т) г[т; о б) А: С[ — 1, Ц вЂ” «С[О, Ц, .4х(Ц = х(Е); в) А: С [О, 11 С [О, Ц, Ах(Е) = Е'х(0); г) А: С[0, Ц-«С[0, Ц, Ах(Е) = х(Е'); д) А; С'[а, Ь] -« С [а, Ь], Ах (Е) = х (Е); е) А: С'[а, Ь]- С [а, Ь], Ах(Е) = —; г гк) А: 7.г [О, Ц -«Гг [О, Ц, Ах (Е) = Е [ х(т) г?т) о х(Е), Е<?.,? ен а) А;,: Ее[0, Ц- 7о[О,Ц, Агх(Е) = ен(0, Ц, О, Е>л, Ы(0,1); г и) А: ?.о[О, Ц-«Ее[0, Ц, Ах(Е) = ~ х(т)г]т; о к) А: Н'[О, Ц-«? о[0, Ц, Ах(Е) х(Е); л) А: Н'[О, Ц- Н'[О, Ц, Ах(Е) = Ех(Е); м) А: Н'[О, Ц вЂ” «?о[0, Ц, А.г(Ц = Ех(Е). 7ЛЗ. Будет лп ограниченным оператор А: С[0, 11-« С[0, 11, АхП) =г]х/г]Е, с областью определения?.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
