Главная » Просмотр файлов » В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу

В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 7

Файл №1128568 В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу) 7 страницаВ.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568) страница 72019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если Ь„Ьп ... ..., ܄— ортогональный базпс Е, то система (1) распадается на отдельные уравнения вида ).,'~6,1"=(х, Ь,), !'=1, 2, ..., и; попому обычно к башсу й,. 1ы...,, 1~„п!зг мсгиггог процесс ортогоиалпзаппп. В баназовои пространстве построение эфйюктпвного (даже численного) алгоритма отыскания элемента паплучшего приближения вызывает большпе трудностп, По- атому вместо задачи лрпблпя.ения в баначовом орогтран, стве обычно регпаюз ту вге задачу в пгльбертовом пространстве, вложенном в это баиахово пространство. В глучае пространства С1а. Ы в силу теоремы 4.! о влов;епип Н'1а, Ы в С[а, Ь] и определения вло;кения существует такое рее К. р >О, что для любого хш Н'[а, Ы выполняется неравепство1х(кз«,ь! -11(х)гггг„гл, ![усть Е.

С! подпростраоство с базисом из непрерывно дпффоренцируемых функций, х ш Н'(а, 6), и" — элемент павлу*ипего прполижеппя х элемеитамп Е, найденный с помощью системы (1). Тогда(;х — ггв(!агах)(~[[х — и*([вц„! п прп достаточно малой норме 1'х — гг"(~ г „ьз элемент и" хорошо ирпблнжает х и в пространстве С1а, Ы. 5.1. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Š— надпространство Х, х ш Х, у гн Е. Доказать, что р(х, Е) = р(х+ у, Е). 5.2. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Š— надпространство Х, хшХ п существует более одного элемента наилучшего прполпжеппя х элементами Е. Доказать, что таких элементов бесконечно много, 5.3.

Пусть Х вЂ” вещественное линейное нормированное пространство, х, у ы Х. Доказать, что при г~в В функция грП) = [[.г — !у[[ достигает своей точной нижней грани. 5.4, Доказать что в пространстве с-' множество злеггз ментов наилучшего прпближеппя элемента х= (о) элементамп подпространства Е = (( ), пел В) пмеет вид [,о ив („), где ссгя [ — 1, !1. О 5,5. В пространстве С10, И рассмотрим надпространство Е= (х(1) ги С[0, 11: х(0) = 01. Пусть хИ) = — 1. Описать множество элементов наилучшего ириблпжепия х элементами Е, 5.6. В пространстве С[0, 11 найти расстояние: а) от элемента х,(1) =1 до подпрестранства мвогочлейов нулевой степени; б) от элемента х,(1) = В до надпространства многочленов степени «1. 38 5,7.

Пусть Š— ' и-згерное надпространство с базисом )го Ь„..., )г„в гизьбертовом прас гранстве Н, .г~ Е!— пропзвольный элемент. Доказать, что величнна р'(.г. Е,] 'может быть представлена в виде отношения двух определителей Грззга; Г(..Л,.Ь,....,Гг„) Г(ггг.А,,...,Л ) 5.8. Пусть Š— одномерное надпространство в гпльбертовом пространстве Н, а гв Е, а чь О.

Доказать, что дтя любого х — Н 5.9. В пространстве Е [И. 11 иайгп расстоянпе от элемента х(Г) = Г' до подпросгриштва е = х(г) ев е,, [О. 11: ( .г (г) г)1 = О, О 5.10. В пространстве 1, найти расстояние Гы)х, Е) от злемшпа х = (1, О, О, ..., О, ...) до надпространства Чему равен 1гш Р„(х, Е.)7 5.11. В пространстве Ег[0, 11 найти проекцшо элемен- та хП) = г' на надпространство многочленов степени ги«гг, еслп и=О, 1.

2, 5.12. Используя для непрерывно дпффереицируемой на 10, 11 функции х(г) представление 1 1 х(г) ) х(т)йт+ ) тх'(т)г(т — ((! — т),г'(т)г(т, о о доказать, что постоянную р прп вложении пространства Н'[О, 1) в пространство С10, 1) можно принять равной 21 3/3. о.13. Прнменпть в задаче 5.6 теорему вложения. 5.14, Пусть Н„[0, 1) — гильбертово пространство функций, суммпруеиых с квадратом на [О, 11, скалярное произведение в котором имеет впд 1 (х, у) = ( х (Г) у (1) р (1) г)1, о где р(С) непрерывна на [О, 11 н р(е) ) 0 на [О, 11. Для заданной функции х(Е) е 1!р[0, 11 найти элемент наилуч- шего приближения х элементами надпространства 5 мно- гочленов степени л < 3.

Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой задачи, предусматривающий; 1) ортогоналпзацию базиса 1 (вычисление интегралов по формуле Симпсона с шагом 0,05); 2) выдачу на печать коэффициентов многочлена и"(С) по степеням Е и величины р(«, 7) =[Ф вЂ” и*[(нр(ыс]( 3) в случае, когда весовая фуыкцня р(С) зависит от па. раметра се, исследование аавнспмости р(х, Е) от и прп и е [О, 1), изменяющемся с шагом О, 1; 4) построение графиков х(С) н элемента наилучшего приближения изП) (в вариантах с параметром — только при а 0 н и=1); 5) проверку правильности составления алгоритма на варианте х(Е) С', р(Е) 1. Расслютреть варианты: а) х (С) = )' 1 + С', р (С) = 1 + ис', б) хП) - Мп Злс, р(П = 1+ С'1 в) х(Е) 2у1 !)- Е, р(Й )'1+ис', г) х(Е) =!п (1+ С'), р(С) = 1+ С', д) х(С) - 2"', р(П = 1+ С)'С; е) х(С) ут$ + С, р(С) = 1+ ае~; ж) х(Е) - а(п4лС, р(С) = 1+ с«с'; з) х(С) =1п(1+ Ег), Р(Е) =.

1+ сег С; и) «(Е) =с11С, р(С) = 1+ Е; к) х(С) е' — 2, р(Е) = У1+ Е, 5.15, В пространствах С[0, 1) и Ь1[0, 1) рассмотрим подпространстао Н многочлеков степени 11 < 4, Для за- данной непрерывно дыфференцнруемой на [О, 11 функпып х(Е) найти элемент наилучшего приближения х элемента- ми 71 ие(С) в норме ь,[0, 1) н и"(Е) в норме Н'[О, 1). Со- ставить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой вадачи, предусматривающий: 1) вычисление элементов матрицы и правых частей си- стемы (1) по формуле Симпсона с шагом 0,05; 2) решение системы (1) методом Гаусса; 3) выдачу на печать коэффициентов многочленов ие(е), гэ(С) и величин ![х — из[!«,(,1), [[х — и*![нс„,); 4) построение графиков х(С), иэ(С), ие(С); 5) проверку правильности составления алгоритма на варианте «(Е) = Е'.

4с) 1'зссмотреть варианты ,1) «П) =3', е) «(с) =ПС; б) х(Е) = соз лс; ж) х(Е) = зш 4лс', в) х(Е) =е', з) х(С) =1п(1+С); г) х(Е) = зсп лс; и) «(Й = (я (С вЂ” 0,5); д) х(Е) = соз 2лС; к) хП) = (! — 2сг)'. 5 16. Пусть а = Е, < Е, «... Е„-р < Е -1 = Ь вЂ” разбие- ние отрезка [а, Ы. Отнесем две непрерывные на [а, Ы функции к одному классу, если онп совпадают во всех точках раабыения.

а) Доказать, что множество классов ооразует и-мерное линейное пространство Н., Сравнить с задачей 2.28. б) Пусть х, у — представители различных классов Н„. Доказать, что соотношение р-1 ( у) = Х х(С.) у(С ) ь=р задает в П„ скалярное произведение. в) Доказать, что прп Сс < н классы, порождаемые функцпямп х,(С) С' (С =О,' 1, ..., Сс — 1) линейно неза- висимы, так что линейная оболочка этих классов являет- ся подпространством Р„= Н, размерности ЕС~-1, г) Доказать, что для любой непрерывной на [а, Ь) функции х(Е) существует многочлеы 6(С) степени не вы- ше н — 1, который совпадает с х(С) во всех точках раз- биения. д) Убедиться, что в качестве 6(Е) может быть взят интерлоляйионный ззногоч.ген Лагранжа: р-1 Н(Е) = Х х Е1) х 1=О (с — с,) (с — с,) ... (с — с„ ,)(с — с„ ,) ...

(с — е„ ,) х (' 'и' ')" (' '-)(' '-,)" (' '-) ' 5.17. В условиях задачи 5,16 прп а = О, Ь 1, Л!(н — 1), (Ь = О, 1, , „ н — 1) рассмотрим класс, порожденный фуыкцией хОО = Е'. Пусть и„и„ис — элементы наилучшего приближения этого класса соответственно элементам подпространств Г„Г,н 5, в норме Н„; и,(С), ис(С), иг (Е) — многочлены нулевой, первой и 'второй сте- Ф Ф пенн соответственно, порождающие классы и„и„и, Составить и реализовать на ЭВМ при С' =О, 1, 2 алгоритм нахождения и; (Е), предусматривающий при целом н, изменяющемся от 5 до 15 с шагом 1: 1) ортогопалпзаппю системы классов, порождаемых фупкциямп х,>Г) = 1, х,(Г) = Г, х,(Г) = Г', 2) построение >рафиков х>Г) и и, (Г) (> О, 1, 2> при п=5 п 10,п 15; 3) выдачу на печать коэффициентов тгногочленов и, (Г) (! = О, 1, 2) по степеням Г п величин р(х, Е,„), р(х, Е,), р(х, Е,).

Полученные резулшагы сравнить с результатами за- дачи 5.11. 5.18. В условиях задачи 5.16 пусть и» 2 и х — пред- ставитель произвольного класса из Н., иа — элемент наи. лучшего приближения этого класса элементами подпро- страпства Е> в норме П.. а) Доказать, что всякая линейная функция, входящая в класс йо имеет вид и" (Г) аГ+ )), где коэффициенты сс, 6 определяются из сг>стев>ы >пгнейных уравнений т-1 ч-1 а ~р~ Г, + рп =. ~ х (Г,), >==о >=з и-> и — 1 п — 1 и ~ Г,', + () У Г„= ~' Гтх (Г„), э.=о >=о >=О (В теории вероятностей эта система называется норглаль- иой к вытекает из метода наименьших квадратов.) б) Для а О, й и, Г>=йл/(и — 1) (й О, 1, ..., и — 1) и класса, порол.даемого функцией т(Г) = з(п Г, составить программу для ЭВ5!, позволяющую определить и = и„и р = р„пря различныл и.

С ее помощью выяснить, прп каком значении и дальнешпее измельчение разоиения не приводит к изменению козффкцпентов с>„, р„ более чем на 0,01, в) В условиях пункта б) найти И>и сг„ и 1пп(>„, и-~ю и-~ ю 5.19. В условиях задачи 5.16 при а О, 5 1, йПп — 1) (й О, 1, ..., и — 1) рассмотрим класс, порож- денный заданной функцией х(Г). Пусть и„— элемент наи- лучшего прпблпя'ения этого класса элементами подпроз странства й> в норме Н„, и,', (Г) = ~2~ йьг" — многочлен, >.=о порождающий агот класс. Составить и реализовать на с ЭВМ алгоритм нахождения и,(Г), предусматривающий при целом и, изменяющемся от 6 до 15 с шагом 1: !) ортогонализацию системы классов, порождаемыл функциями хдП = Г' (О ~ ) - 5); 2) построение графиков .г(Г), и„(Г) пря и = 6, О, )2, 15; 3) выдачу на печать козбкРпп>тентов много пепа и„(Г) по с~сиенам Г и величины р(х, 5,) при различны: и.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее