В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Если Ь„Ьп ... ..., ܄— ортогональный базпс Е, то система (1) распадается на отдельные уравнения вида ).,'~6,1"=(х, Ь,), !'=1, 2, ..., и; попому обычно к башсу й,. 1ы...,, 1~„п!зг мсгиггог процесс ортогоиалпзаппп. В баназовои пространстве построение эфйюктпвного (даже численного) алгоритма отыскания элемента паплучшего приближения вызывает большпе трудностп, По- атому вместо задачи лрпблпя.ения в баначовом орогтран, стве обычно регпаюз ту вге задачу в пгльбертовом пространстве, вложенном в это баиахово пространство. В глучае пространства С1а. Ы в силу теоремы 4.! о влов;епип Н'1а, Ы в С[а, Ь] и определения вло;кения существует такое рее К. р >О, что для любого хш Н'[а, Ы выполняется неравепство1х(кз«,ь! -11(х)гггг„гл, ![усть Е.

С! подпростраоство с базисом из непрерывно дпффоренцируемых функций, х ш Н'(а, 6), и" — элемент павлу*ипего прполижеппя х элемеитамп Е, найденный с помощью системы (1). Тогда(;х — ггв(!агах)(~[[х — и*([вц„! п прп достаточно малой норме 1'х — гг"(~ г „ьз элемент и" хорошо ирпблнжает х и в пространстве С1а, Ы. 5.1. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Š— надпространство Х, х ш Х, у гн Е. Доказать, что р(х, Е) = р(х+ у, Е). 5.2. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Š— надпространство Х, хшХ п существует более одного элемента наилучшего прполпжеппя х элементами Е. Доказать, что таких элементов бесконечно много, 5.3.

Пусть Х вЂ” вещественное линейное нормированное пространство, х, у ы Х. Доказать, что при г~в В функция грП) = [[.г — !у[[ достигает своей точной нижней грани. 5.4, Доказать что в пространстве с-' множество злеггз ментов наилучшего прпближеппя элемента х= (о) элементамп подпространства Е = (( ), пел В) пмеет вид [,о ив („), где ссгя [ — 1, !1. О 5,5. В пространстве С10, И рассмотрим надпространство Е= (х(1) ги С[0, 11: х(0) = 01. Пусть хИ) = — 1. Описать множество элементов наилучшего ириблпжепия х элементами Е, 5.6. В пространстве С[0, 11 найти расстояние: а) от элемента х,(1) =1 до подпрестранства мвогочлейов нулевой степени; б) от элемента х,(1) = В до надпространства многочленов степени «1. 38 5,7.

Пусть Š— ' и-згерное надпространство с базисом )го Ь„..., )г„в гизьбертовом прас гранстве Н, .г~ Е!— пропзвольный элемент. Доказать, что величнна р'(.г. Е,] 'может быть представлена в виде отношения двух определителей Грззга; Г(..Л,.Ь,....,Гг„) Г(ггг.А,,...,Л ) 5.8. Пусть Š— одномерное надпространство в гпльбертовом пространстве Н, а гв Е, а чь О.

Доказать, что дтя любого х — Н 5.9. В пространстве Е [И. 11 иайгп расстоянпе от элемента х(Г) = Г' до подпросгриштва е = х(г) ев е,, [О. 11: ( .г (г) г)1 = О, О 5.10. В пространстве 1, найти расстояние Гы)х, Е) от злемшпа х = (1, О, О, ..., О, ...) до надпространства Чему равен 1гш Р„(х, Е.)7 5.11. В пространстве Ег[0, 11 найти проекцшо элемен- та хП) = г' на надпространство многочленов степени ги«гг, еслп и=О, 1.

2, 5.12. Используя для непрерывно дпффереицируемой на 10, 11 функции х(г) представление 1 1 х(г) ) х(т)йт+ ) тх'(т)г(т — ((! — т),г'(т)г(т, о о доказать, что постоянную р прп вложении пространства Н'[О, 1) в пространство С10, 1) можно принять равной 21 3/3. о.13. Прнменпть в задаче 5.6 теорему вложения. 5.14, Пусть Н„[0, 1) — гильбертово пространство функций, суммпруеиых с квадратом на [О, 11, скалярное произведение в котором имеет впд 1 (х, у) = ( х (Г) у (1) р (1) г)1, о где р(С) непрерывна на [О, 11 н р(е) ) 0 на [О, 11. Для заданной функции х(Е) е 1!р[0, 11 найти элемент наилуч- шего приближения х элементами надпространства 5 мно- гочленов степени л < 3.

Составить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой задачи, предусматривающий; 1) ортогоналпзацию базиса 1 (вычисление интегралов по формуле Симпсона с шагом 0,05); 2) выдачу на печать коэффициентов многочлена и"(С) по степеням Е и величины р(«, 7) =[Ф вЂ” и*[(нр(ыс]( 3) в случае, когда весовая фуыкцня р(С) зависит от па. раметра се, исследование аавнспмости р(х, Е) от и прп и е [О, 1), изменяющемся с шагом О, 1; 4) построение графиков х(С) н элемента наилучшего приближения изП) (в вариантах с параметром — только при а 0 н и=1); 5) проверку правильности составления алгоритма на варианте х(Е) С', р(Е) 1. Расслютреть варианты: а) х (С) = )' 1 + С', р (С) = 1 + ис', б) хП) - Мп Злс, р(П = 1+ С'1 в) х(Е) 2у1 !)- Е, р(Й )'1+ис', г) х(Е) =!п (1+ С'), р(С) = 1+ С', д) х(С) - 2"', р(П = 1+ С)'С; е) х(С) ут$ + С, р(С) = 1+ ае~; ж) х(Е) - а(п4лС, р(С) = 1+ с«с'; з) х(С) =1п(1+ Ег), Р(Е) =.

1+ сег С; и) «(Е) =с11С, р(С) = 1+ Е; к) х(С) е' — 2, р(Е) = У1+ Е, 5.15, В пространствах С[0, 1) и Ь1[0, 1) рассмотрим подпространстао Н многочлеков степени 11 < 4, Для за- данной непрерывно дыфференцнруемой на [О, 11 функпып х(Е) найти элемент наилучшего приближения х элемента- ми 71 ие(С) в норме ь,[0, 1) н и"(Е) в норме Н'[О, 1). Со- ставить и реализовать на ЭВМ алгоритм решения этой вадачи, предусматривающий: 1) вычисление элементов матрицы и правых частей си- стемы (1) по формуле Симпсона с шагом 0,05; 2) решение системы (1) методом Гаусса; 3) выдачу на печать коэффициентов многочленов ие(е), гэ(С) и величин ![х — из[!«,(,1), [[х — и*![нс„,); 4) построение графиков х(С), иэ(С), ие(С); 5) проверку правильности составления алгоритма на варианте «(Е) = Е'.

4с) 1'зссмотреть варианты ,1) «П) =3', е) «(с) =ПС; б) х(Е) = соз лс; ж) х(Е) = зш 4лс', в) х(Е) =е', з) х(С) =1п(1+С); г) х(Е) = зсп лс; и) «(Й = (я (С вЂ” 0,5); д) х(Е) = соз 2лС; к) хП) = (! — 2сг)'. 5 16. Пусть а = Е, < Е, «... Е„-р < Е -1 = Ь вЂ” разбие- ние отрезка [а, Ы. Отнесем две непрерывные на [а, Ы функции к одному классу, если онп совпадают во всех точках раабыения.

а) Доказать, что множество классов ооразует и-мерное линейное пространство Н., Сравнить с задачей 2.28. б) Пусть х, у — представители различных классов Н„. Доказать, что соотношение р-1 ( у) = Х х(С.) у(С ) ь=р задает в П„ скалярное произведение. в) Доказать, что прп Сс < н классы, порождаемые функцпямп х,(С) С' (С =О,' 1, ..., Сс — 1) линейно неза- висимы, так что линейная оболочка этих классов являет- ся подпространством Р„= Н, размерности ЕС~-1, г) Доказать, что для любой непрерывной на [а, Ь) функции х(Е) существует многочлеы 6(С) степени не вы- ше н — 1, который совпадает с х(С) во всех точках раз- биения. д) Убедиться, что в качестве 6(Е) может быть взят интерлоляйионный ззногоч.ген Лагранжа: р-1 Н(Е) = Х х Е1) х 1=О (с — с,) (с — с,) ... (с — с„ ,)(с — с„ ,) ...

(с — е„ ,) х (' 'и' ')" (' '-)(' '-,)" (' '-) ' 5.17. В условиях задачи 5,16 прп а = О, Ь 1, Л!(н — 1), (Ь = О, 1, , „ н — 1) рассмотрим класс, порожденный фуыкцией хОО = Е'. Пусть и„и„ис — элементы наилучшего приближения этого класса соответственно элементам подпространств Г„Г,н 5, в норме Н„; и,(С), ис(С), иг (Е) — многочлены нулевой, первой и 'второй сте- Ф Ф пенн соответственно, порождающие классы и„и„и, Составить и реализовать на ЭВМ при С' =О, 1, 2 алгоритм нахождения и; (Е), предусматривающий при целом н, изменяющемся от 5 до 15 с шагом 1: 1) ортогопалпзаппю системы классов, порождаемых фупкциямп х,>Г) = 1, х,(Г) = Г, х,(Г) = Г', 2) построение >рафиков х>Г) и и, (Г) (> О, 1, 2> при п=5 п 10,п 15; 3) выдачу на печать коэффициентов тгногочленов и, (Г) (! = О, 1, 2) по степеням Г п величин р(х, Е,„), р(х, Е,), р(х, Е,).

Полученные резулшагы сравнить с результатами за- дачи 5.11. 5.18. В условиях задачи 5.16 пусть и» 2 и х — пред- ставитель произвольного класса из Н., иа — элемент наи. лучшего приближения этого класса элементами подпро- страпства Е> в норме П.. а) Доказать, что всякая линейная функция, входящая в класс йо имеет вид и" (Г) аГ+ )), где коэффициенты сс, 6 определяются из сг>стев>ы >пгнейных уравнений т-1 ч-1 а ~р~ Г, + рп =. ~ х (Г,), >==о >=з и-> и — 1 п — 1 и ~ Г,', + () У Г„= ~' Гтх (Г„), э.=о >=о >=О (В теории вероятностей эта система называется норглаль- иой к вытекает из метода наименьших квадратов.) б) Для а О, й и, Г>=йл/(и — 1) (й О, 1, ..., и — 1) и класса, порол.даемого функцией т(Г) = з(п Г, составить программу для ЭВ5!, позволяющую определить и = и„и р = р„пря различныл и.

С ее помощью выяснить, прп каком значении и дальнешпее измельчение разоиения не приводит к изменению козффкцпентов с>„, р„ более чем на 0,01, в) В условиях пункта б) найти И>и сг„ и 1пп(>„, и-~ю и-~ ю 5.19. В условиях задачи 5.16 при а О, 5 1, йПп — 1) (й О, 1, ..., и — 1) рассмотрим класс, порож- денный заданной функцией х(Г). Пусть и„— элемент наи- лучшего прпблпя'ения этого класса элементами подпроз странства й> в норме Н„, и,', (Г) = ~2~ йьг" — многочлен, >.=о порождающий агот класс. Составить и реализовать на с ЭВМ алгоритм нахождения и,(Г), предусматривающий при целом и, изменяющемся от 6 до 15 с шагом 1: !) ортогонализацию системы классов, порождаемыл функциями хдП = Г' (О ~ ) - 5); 2) построение графиков .г(Г), и„(Г) пря и = 6, О, )2, 15; 3) выдачу на печать козбкРпп>тентов много пепа и„(Г) по с~сиенам Г и величины р(х, 5,) при различны: и.

Характеристики

Список файлов книги