В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 4
Текст из файла (страница 4)
1.85. Доказать, что каждое пз следующпт условий необлодпмо н достаточно для то~о, чтооы отображение /. Х- У было непрерывно: 2О а) для любого мно;кества Л «Х имеет место включение /(А) «](Л); б) прообраз любого открыто~о множества В = У есть отьрьпое множество в Х. 1.86. Пусть /: Х- У вЂ” непрерывное отображение пространства Х на зсе пространство У, А — всюду плотное в Х множество. Доказать, что )(А) — множество, всюду плотное в пространстве У.
1.87. Пусть множество А « Х фиксировано. Доказать, что /(х) = р(х, Л) — непрерывное отображение Х в Н. 1.88. Доказать, что для любого множества А = Х и любого е > 0 множество (х ю Х: р(х, А) < е) открыто, а множество (хюХ: р(х, А) < е) замкнуто. 1.89. Пусть А„А,«Х — замкнутые множества, причем Л, ОА, = !л. Для х~я Х положим Р( Лг) р(х, А )+ р(к, А )' а) Доказать, что гр: Х-  — непрерывное отображение, причем 0 ~ фх) « 1; гр(х) =0 тогда и тольно тогда, когда х ~а А,; гр(х) = 1 тогда и только тогда, когда х ~и А,. б) Полагая В,= р-'([О, 1/2)), В,=<р 'И1/2, И), доказать, что В„В, — открытые множества, причем А, «В,, А, «В,.
Тем самым получаем новое доказательство утверждения задачи 1.20. в) Является ли отображение гр равномерно непрерывным на Х? 1.90. Доказать, что отображение /: С'[а, 5] — С[и, б], /(х) = г(х/Л! непрерывно. 1,91. Является лп непрерывныч отображение Е- С[а, 5], /(х) = Ах/й, где Б — линейное многообразие непрерывно дифференцнруемыл функций в пространстве С[а, Ь]? 1.92. Будет лп непрерывным отображение /(х) =х(1), если оно рассматривается как действующее: а) изС[0,1] вй; б) из Е,[0, 1] в Н (см.
задачу 1.23))? 1.93. Будет лн непрерывным отображение !(х) =хц!), если оно рассматривается как действующее: а) пз С[0, 1] в С[0, 1]; б) пз Е,[0, !] в Е,[0, 1]; в) пз С[0, 1] в Юг[0, 1]? Будет лп зто. отображение равномерно непрерывным? 1.94. Пусть (: Х- У, у: Х- У вЂ” непрерывные отображения. Доказать, что множество (х ю Х: )(х) = у(х)) замкнуто в Х. 1,95. Пусть А, В ~ Х вЂ” произвольные множества, причем рз(А, В) О.
Возможно ли, что рг(г(А), )(В)) та 0, если (: Х-+ У есты а) непрерывное отображение; б) равномерно непрерывное отображение? $ 2. Банаховы пространства Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Последовательность х„ю Х называется грундазгентальной, если для любого е > О существует такое ггг = гг'(е), что для любого и > ггг и для всех натуральных р выполняется неравенство ~)х„з„ вЂ” х„~( ( е. Пространство Х называется полным, если в пем всякая фундаментальная последовательность сходится.
Полное линейное нормированное пространство называется банаховьш. Две нормы 1ха, н 'зх((, в линейном пространстве Х называются эквивалентны.чи, если существуют такие числа и > О, () > О, что для любого х ги Х выполняется неравенство гх((хз, ~ (~х12 ~ р?х11. Линейные нормированные пространства Х н У называются изоморфнылги, если на всем Х определено отображение зг Х - У, являющееся линейным, осуществляющее изоморфизм Х и У как линейных пространств и такое, что существуют такие постоянные и > О, 9 > О, что для любого х ги Х выполняется неравенство а~(х~~ '6 ~ ~(г(х)() ~ ф(х)1, Еслп (~((х)~(= ~~х~(, то пространства Х и У называются иго ггетрггчны.гги.
Линейное нормированное пространство Х называется вложенным в линейное нормированное пространство У, если на всем Х определено отображение г'1 Х- У, являющееся линейным и взаимно однозначным на области значений причем существует такая постоянная 5 > О, что для лгобого хги Х выполняется неравенство Ц(х)1~ р(х~. Банахозо пространство Х называется пополнением линейного нормированного пространства Х, если Х— линейное многообразие, всюду плотное в пространстве Х. Теорема 2.1. Каждое линейное нормированное ггространство Х имеет пополнение, и зто пополнение едимсг венно с точностью до изометрического отображения, переводящего Х в себя. 22 Теорема 2.2.
Пусть в банаховом пространстве Х дача последовательность шаров Я,, (ха), вложенных дру в друга (Ьааег(хаг 1) с: Ваа(х„)), причем г„- О при и— Тогда в Х существует, и притом единственна, точка, принадлежащая всем шарам. 2А. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в линейном нормированном пространстве ограничена. 2.2. Пусть х„ги Х вЂ” фундаментальная последовательность и подпоследовательность х„ сходится. Доказать, что вся последовательность х„ сходится. Ю 2.3.
Пуетъ Х„~Х И ряд Х |)Хажг — Х„)! СХОдИтея. ДО- а=1 казать, что х. — фундаментальная последовательность. Верно ли обратное утвергкдение? 2.4. Пусть х„, у.ги Х вЂ” фундаментальные последовательности, Доказать, что последовательность?.а = ~(х„— у„1 сходится. 2.5. В линейном пространстве многочленов, рзссматриваемых на (а, 6), положим Гь ') 1,'2 )х~, = птах ) х(г)(, )(х)12 = ~~(х(()(гдг~ а ги(а,зг а а) Проверить аксиомы нормы.
б) Будет лн какое-либо из получающихся пространств банаховым? в) Описать пополнение рассматриваемого пространства по каждой из норм. 2.6. В линейном пространстве вещественных непрерывно дифференцпруемых на (а, 6) функций Я'(а, 61 положим (ь 11(2 )(х[= $~[х (()+ х" (()1дг~ а а) Проверить аксиомы нормы.
б) Будет лн получающееся нормированное пространство банаховым? 2.7. Какие из пространств задач 1.22, 1.23 являются банаховыми'г 2.8. На линейном пространстве Х заданы две зквива. лентные нормы, и в одной из них Х вЂ” банахово пространство. Доказать, что Х является банаховым пространством и в другой норме, 23 2.9. Доказать, что две нормы, введенные на одном ляпейном пространстве, эквивалентны тогда п только тогда, когда нз сходпмостп последовательности по одной пз этих норм вытекает ее сходпмость по другов норме. 2.10. Доказать, что в лняейном пространстве непрерывных на !а, Ы функцпй норма ((4; зквнвалент- ' ~.,(а,ь) па норме (ь ]х(( = ) ] г (() ха(() г)() ы где ь(() непрерывна на ]а, Ы и г(() ~ а > 0 на (а, Ь].
2.$1. Будут лк зквпвалептны па линейном пространстве непрерывных па (а, Ь] фупкцяй нормы (х,'/с(,ь) п (~ ф (а,ь]7 '2 2.12. 1йакпе пз норм, определенных в задаче 1.38 на линейном пространстве непрерывно дпфференцируемых па (и, Ь] функций, будут эквнвалентны норме пространства С'(а, Ь]? 2ЛЗ. Доказать, что всякое конечномерное лппейное нормированное пространство является банаховым.
2Л4. Доказать, что подпространство балахона пространства является оанаховым пространством. 2Л5. Пусть в линейном нормированном пространстве Х имеется линейное мпогообразне Е, которое в норме Х является полным пространством. Докааать, что Е замкнуто в Х, т. е. является подпространством. 2Л6.
Пусть Х вЂ” произвольное множество, Š— линейное нормированное пространство, ): Х- Š— ограниченное отображение, т. е. такое, что множество )"(Х) огранпчено в Е. а) Доказать, что множество 1а(Х) всех огранпченных отображений будет лннейньгм нормированным пространством, еслп полежать Ч~ = апр Ц(Х)~). б) Пусть Х вЂ” лoнейное нормпрованлое пространство. Доказать, что ограниченные непрерывные отображенпя тр: Х- Е образуют подпространство в пространстве (а(Х).
в) Пусть Š— бапахово пространство. Доказать, что )ь(Х) — банахово пространство. 2.17. Пусть Х вЂ” банахово пространство, Е = Х вЂ” линейное многообразие. Доказать, что пополнение Е по норме Х совпадает с замыканием Е. 2.18. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, У: Х- У вЂ” отображение, устанавливающее изоморфнзм. Доказать, что: а) У вЂ” непрерывное отображение: б) отображение У имеет обратное, которое также непрерывно. 2.19. Доказать что всякое и-мерное лпнейное нормировапное пространство пзоморфгю пространству Е .
2.20. Банахово пространство Х нзоморфно л~ненному нормированному пространству У. Доказать, что У вЂ” банахово пространство. 2.21. Доказать, что то*кдественное отображение Ух =х осуществляет вложенпе пространства С(а, Ы в пространство Еь(а, Ы. 2.22. Доказать, что тождественное отоораженпе Ух = х огуществлнет вложение пространства С" (и, Ы в пространство С(а, Ь] прк любом натуральном Ь.
2.23. Доказать, что утверждение теоремы 2.2 о вложенных шарах, вообще говоря, несправедливо, если, ос1авляя в сале остальные предположенпя теоремы, считать, что: а) шары не являются замкнутымп; б) пространство не является полным. 2.24. Доказать, что в банаховом пространстве последовательность непустых замкнутых вложенных множеств, диаметры которых стремятся к нулю, имеет, н притом единственную, общую точку. 2.25. Пусть в линейном нормированном пространстве Х кобая последовательность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стремятся к пулю, имеет ~епустое пересечение. Доказать, что Х вЂ” бапахово пространство.
2.26. Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых замкнутых вложенных ша ров пмеет общую точку. 2.27. Может лп в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых нлоькенных множеств? 2.28. Пусть Х вЂ” лннейное нормированное пространство, 1. — подпространство Х. Отнесем элементы х, уж Х к одному классу смежности $, если х — у ~ Ь. Множество классов смежностн образует линейное пространство, называемое (блкгорпрострлпствоьз и обозначаемое Х/Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
