Главная » Просмотр файлов » В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу

В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 4

Файл №1128568 В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу) 4 страницаВ.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568) страница 42019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

1.85. Доказать, что каждое пз следующпт условий необлодпмо н достаточно для то~о, чтооы отображение /. Х- У было непрерывно: 2О а) для любого мно;кества Л «Х имеет место включение /(А) «](Л); б) прообраз любого открыто~о множества В = У есть отьрьпое множество в Х. 1.86. Пусть /: Х- У вЂ” непрерывное отображение пространства Х на зсе пространство У, А — всюду плотное в Х множество. Доказать, что )(А) — множество, всюду плотное в пространстве У.

1.87. Пусть множество А « Х фиксировано. Доказать, что /(х) = р(х, Л) — непрерывное отображение Х в Н. 1.88. Доказать, что для любого множества А = Х и любого е > 0 множество (х ю Х: р(х, А) < е) открыто, а множество (хюХ: р(х, А) < е) замкнуто. 1.89. Пусть А„А,«Х — замкнутые множества, причем Л, ОА, = !л. Для х~я Х положим Р( Лг) р(х, А )+ р(к, А )' а) Доказать, что гр: Х-  — непрерывное отображение, причем 0 ~ фх) « 1; гр(х) =0 тогда и тольно тогда, когда х ~а А,; гр(х) = 1 тогда и только тогда, когда х ~и А,. б) Полагая В,= р-'([О, 1/2)), В,=<р 'И1/2, И), доказать, что В„В, — открытые множества, причем А, «В,, А, «В,.

Тем самым получаем новое доказательство утверждения задачи 1.20. в) Является ли отображение гр равномерно непрерывным на Х? 1.90. Доказать, что отображение /: С'[а, 5] — С[и, б], /(х) = г(х/Л! непрерывно. 1,91. Является лп непрерывныч отображение Е- С[а, 5], /(х) = Ах/й, где Б — линейное многообразие непрерывно дифференцнруемыл функций в пространстве С[а, Ь]? 1.92. Будет лп непрерывным отображение /(х) =х(1), если оно рассматривается как действующее: а) изС[0,1] вй; б) из Е,[0, 1] в Н (см.

задачу 1.23))? 1.93. Будет лн непрерывным отображение !(х) =хц!), если оно рассматривается как действующее: а) пз С[0, 1] в С[0, 1]; б) пз Е,[0, !] в Е,[0, 1]; в) пз С[0, 1] в Юг[0, 1]? Будет лп зто. отображение равномерно непрерывным? 1.94. Пусть (: Х- У, у: Х- У вЂ” непрерывные отображения. Доказать, что множество (х ю Х: )(х) = у(х)) замкнуто в Х. 1,95. Пусть А, В ~ Х вЂ” произвольные множества, причем рз(А, В) О.

Возможно ли, что рг(г(А), )(В)) та 0, если (: Х-+ У есты а) непрерывное отображение; б) равномерно непрерывное отображение? $ 2. Банаховы пространства Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, Последовательность х„ю Х называется грундазгентальной, если для любого е > О существует такое ггг = гг'(е), что для любого и > ггг и для всех натуральных р выполняется неравенство ~)х„з„ вЂ” х„~( ( е. Пространство Х называется полным, если в пем всякая фундаментальная последовательность сходится.

Полное линейное нормированное пространство называется банаховьш. Две нормы 1ха, н 'зх((, в линейном пространстве Х называются эквивалентны.чи, если существуют такие числа и > О, () > О, что для любого х ги Х выполняется неравенство гх((хз, ~ (~х12 ~ р?х11. Линейные нормированные пространства Х н У называются изоморфнылги, если на всем Х определено отображение зг Х - У, являющееся линейным, осуществляющее изоморфизм Х и У как линейных пространств и такое, что существуют такие постоянные и > О, 9 > О, что для любого х ги Х выполняется неравенство а~(х~~ '6 ~ ~(г(х)() ~ ф(х)1, Еслп (~((х)~(= ~~х~(, то пространства Х и У называются иго ггетрггчны.гги.

Линейное нормированное пространство Х называется вложенным в линейное нормированное пространство У, если на всем Х определено отображение г'1 Х- У, являющееся линейным и взаимно однозначным на области значений причем существует такая постоянная 5 > О, что для лгобого хги Х выполняется неравенство Ц(х)1~ р(х~. Банахозо пространство Х называется пополнением линейного нормированного пространства Х, если Х— линейное многообразие, всюду плотное в пространстве Х. Теорема 2.1. Каждое линейное нормированное ггространство Х имеет пополнение, и зто пополнение едимсг венно с точностью до изометрического отображения, переводящего Х в себя. 22 Теорема 2.2.

Пусть в банаховом пространстве Х дача последовательность шаров Я,, (ха), вложенных дру в друга (Ьааег(хаг 1) с: Ваа(х„)), причем г„- О при и— Тогда в Х существует, и притом единственна, точка, принадлежащая всем шарам. 2А. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в линейном нормированном пространстве ограничена. 2.2. Пусть х„ги Х вЂ” фундаментальная последовательность и подпоследовательность х„ сходится. Доказать, что вся последовательность х„ сходится. Ю 2.3.

Пуетъ Х„~Х И ряд Х |)Хажг — Х„)! СХОдИтея. ДО- а=1 казать, что х. — фундаментальная последовательность. Верно ли обратное утвергкдение? 2.4. Пусть х„, у.ги Х вЂ” фундаментальные последовательности, Доказать, что последовательность?.а = ~(х„— у„1 сходится. 2.5. В линейном пространстве многочленов, рзссматриваемых на (а, 6), положим Гь ') 1,'2 )х~, = птах ) х(г)(, )(х)12 = ~~(х(()(гдг~ а ги(а,зг а а) Проверить аксиомы нормы.

б) Будет лн какое-либо из получающихся пространств банаховым? в) Описать пополнение рассматриваемого пространства по каждой из норм. 2.6. В линейном пространстве вещественных непрерывно дифференцпруемых на (а, 6) функций Я'(а, 61 положим (ь 11(2 )(х[= $~[х (()+ х" (()1дг~ а а) Проверить аксиомы нормы.

б) Будет лн получающееся нормированное пространство банаховым? 2.7. Какие из пространств задач 1.22, 1.23 являются банаховыми'г 2.8. На линейном пространстве Х заданы две зквива. лентные нормы, и в одной из них Х вЂ” банахово пространство. Доказать, что Х является банаховым пространством и в другой норме, 23 2.9. Доказать, что две нормы, введенные на одном ляпейном пространстве, эквивалентны тогда п только тогда, когда нз сходпмостп последовательности по одной пз этих норм вытекает ее сходпмость по другов норме. 2.10. Доказать, что в лняейном пространстве непрерывных на !а, Ы функцпй норма ((4; зквнвалент- ' ~.,(а,ь) па норме (ь ]х(( = ) ] г (() ха(() г)() ы где ь(() непрерывна на ]а, Ы и г(() ~ а > 0 на (а, Ь].

2.$1. Будут лк зквпвалептны па линейном пространстве непрерывных па (а, Ь] фупкцяй нормы (х,'/с(,ь) п (~ ф (а,ь]7 '2 2.12. 1йакпе пз норм, определенных в задаче 1.38 на линейном пространстве непрерывно дпфференцируемых па (и, Ь] функций, будут эквнвалентны норме пространства С'(а, Ь]? 2ЛЗ. Доказать, что всякое конечномерное лппейное нормированное пространство является банаховым.

2Л4. Доказать, что подпространство балахона пространства является оанаховым пространством. 2Л5. Пусть в линейном нормированном пространстве Х имеется линейное мпогообразне Е, которое в норме Х является полным пространством. Докааать, что Е замкнуто в Х, т. е. является подпространством. 2Л6.

Пусть Х вЂ” произвольное множество, Š— линейное нормированное пространство, ): Х- Š— ограниченное отображение, т. е. такое, что множество )"(Х) огранпчено в Е. а) Доказать, что множество 1а(Х) всех огранпченных отображений будет лннейньгм нормированным пространством, еслп полежать Ч~ = апр Ц(Х)~). б) Пусть Х вЂ” лoнейное нормпрованлое пространство. Доказать, что ограниченные непрерывные отображенпя тр: Х- Е образуют подпространство в пространстве (а(Х).

в) Пусть Š— бапахово пространство. Доказать, что )ь(Х) — банахово пространство. 2.17. Пусть Х вЂ” банахово пространство, Е = Х вЂ” линейное многообразие. Доказать, что пополнение Е по норме Х совпадает с замыканием Е. 2.18. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, У: Х- У вЂ” отображение, устанавливающее изоморфнзм. Доказать, что: а) У вЂ” непрерывное отображение: б) отображение У имеет обратное, которое также непрерывно. 2.19. Доказать что всякое и-мерное лпнейное нормировапное пространство пзоморфгю пространству Е .

2.20. Банахово пространство Х нзоморфно л~ненному нормированному пространству У. Доказать, что У вЂ” банахово пространство. 2.21. Доказать, что то*кдественное отображение Ух =х осуществляет вложенпе пространства С(а, Ы в пространство Еь(а, Ы. 2.22. Доказать, что тождественное отоораженпе Ух = х огуществлнет вложение пространства С" (и, Ы в пространство С(а, Ь] прк любом натуральном Ь.

2.23. Доказать, что утверждение теоремы 2.2 о вложенных шарах, вообще говоря, несправедливо, если, ос1авляя в сале остальные предположенпя теоремы, считать, что: а) шары не являются замкнутымп; б) пространство не является полным. 2.24. Доказать, что в банаховом пространстве последовательность непустых замкнутых вложенных множеств, диаметры которых стремятся к нулю, имеет, н притом единственную, общую точку. 2.25. Пусть в линейном нормированном пространстве Х кобая последовательность замкнутых вложенных шаров, радиусы которых стремятся к пулю, имеет ~епустое пересечение. Доказать, что Х вЂ” бапахово пространство.

2.26. Доказать, что в банаховом пространстве любая последовательность непустых замкнутых вложенных ша ров пмеет общую точку. 2.27. Может лп в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых нлоькенных множеств? 2.28. Пусть Х вЂ” лннейное нормированное пространство, 1. — подпространство Х. Отнесем элементы х, уж Х к одному классу смежности $, если х — у ~ Ь. Множество классов смежностн образует линейное пространство, называемое (блкгорпрострлпствоьз и обозначаемое Х/Е.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее