В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Доказать, что в пространстве .столбцов х = = (х„)А, (хА вн В) можно ввести норму следующими способамн: 7И ! а) )х( = ~ л, ~ )хА(' 1=1 А=1 А б) ()х$) - шах Х х, . 1ХАЛт 1.29. Пусть А =!~а.,!! (1, 1=1, 2, ..., т) — симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что в пространстве столбцов х = (хА)А=1 (хА вн В) можно ввести норму йЪ 1!1 1х1= ~ ~ а1,х',х;~ !а=1 1.30. Привести пример последовательности х <ю = (х',"', х'.,"', ...) (х„~ В), которая принадлежала бы каж.
дому из рассматриваемой пары пространств и; а) сходилась в и, но не сходилась в 1,; б) сходилась в т, но не сходилась в 1„ в) сходилась в 11, но нв сходилась в 1„ г) сходилась в с„ но не сходилась в 1,; д) сходилась в с„ но не сходилась в 11. 1.31. Доказать, что прн любом р ~ 1 каждый элемент пространства 1„является н элементом пространства с„ ко элемент х = (1, 1/)п2, 1/)пЗ, ..., 1/1пп, ...) гис, нв принадлежит 1А нп при каном р ~ 1. 1.32.
Доказать, что если рассматривать пространство 1, как множество в прастранстве !и, то его замыкание есть с,. 1.33. Сходится ли в пространстве С(0, 1) последовательностгя а) 'х (1) = 1" — 1"+ь б) р.(1) =1" — 1""? 1.34, Сходится лп последовательность Сиэб Си~а х (1) аа — —— п-1-1 и 2 в пространстве: а) С[0, 1); б) С"[О, 1]? 1.35. Пусть ха(1), хП), у(П би С'(а, Ь], ха(П вЂ” х[1) при и - аа. Доказать, что ха(С)у(1) — х(1)у(1) прп и -б 1.36. Доказать, что всякая последовательносттн сходящаяся в пространстве С[а, Ь], будет сходящейся и в пространстве Ее[а, Ь].
Построить пример последовательности, сходящейся в пространстве Ее[а, Ы, но не сходящейся в пространстве С[а, Ь]. 1.37.-Можно лп в линейном пространстве дважды непрерывно дпфференцпруемых на (а, Ь] функций принять за норму элемента х(П: а) [х(а) [+ [х'(а) [+ [(х" [[с[,,ь][ б) ]х )(с[,ы+ [х([ь,[а,ь]' в) [х(а) [+ (х(Ь)[+ )!ха()с[а,ь]] ) ! ( ) ! + )! ' ([с[а,ы+ [)~" ([;,„,,ь]? 1.38. Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на (а, Ы функций принять за норму элемента х(1): а) шах (х(с)[; се[а,Ы б) шах (х'([)[; си[а,ь] в) [х(Ь) — х(а) [+ шах [х'(1) (; си[а,ь] г) ! х(а) ! + шах ! х' (1) [; 1Е[а,е] ь д) ! ! х (1) ! 1(1 + шах [ х' (1) ( Р ба[а,Ь] 1.39.
Будет лп множество всех многочленов в пространстве С(а, Ы; а) открытым; б) замкнутым? 1АО. Будет ли замкнутым в пространстве С[а, Ь] множество многочленов степени: а) ()с; б) -)сР 1.41. Доказать, что в пространстве С[а, Ы множество функций х(1) таких, что для любого [би [а, Ы выполняется неравенство [х(1)! < 1, является открытым. 16 1.42.
Пусть мноп;ество М ~ [] фиксировано. Положим Л =(хП) бн С[а, Ы: х([) биМ для любого [би [а, Ы). Будет лп.множество А „: а) открыто, если М открыто; б) замкнуто, если М замкнуто? 1.43. Фуя[сцпя х =1(1) определена и непрерывна на всей вещественной оси, Доказать, что множество Пж й: Д[) (!) является открытым в К. 1.44.
Доказать, что множество непрерывных кусочно линейных функций всюду плотно в пространстве С[а, Ы. 1.45. Доказать, что множество мпогочленов всюду плотно в пространстве С'(а, Ы. 1.46. При каком условии на последовательность а„и й (а„> 0) будет ограниченным множеством: а) параллелепипед (хы 1„ х = (х„ х„ ...): [х.! ( а.); а 11 б (* 1,*=б,, б Х 1 <1)1 и=1 1А7. Доказать, что параллелепипед (х ж 1„х = = (х„ха....): [х„! ~ 1) — открытое множество. 1.48.
При каком условии на последовательность а„ и В (аа ) 0) будет - открытым множеством параллелепипед (х~(„х = (х„х„...): [х.! (а„)? 1.49. Доказать, - что параллелепипед (х ж 1,, х = - (х„х„...): [х.! ~ а.) — замкнутое множество. 1.50. Доказать, что линейное нормированное простран-' ство Х является строго нормированным тогда п только тогда, когда сфера о,(0) не содержит никакого отрезка, т е. иа х, у ж о,(0) (х чь у) следует, что ах+ (1 — а)у Ф Ф о,(0) для любого а бн (О, 1). 1.51. Какие пэ следующих пространств являются строго нормированными: а) с'] б) 1,; в) 1;[ г) и; д) С[0, 1]; е) Ее[0, 1]? 1.52. Пусть А, В~ Х вЂ” выпуклые множества.
Какие пз следующих множеств А 0 В, А 0 В, А + В также являются выпуклымп? 1.53. 11усть А ='Х вЂ” выпуклое мноясество и Р— число. Доказать, что множество РбА =(хенХ: х=?.у, ушА)— выпуклое. Будет лп множество всех выпуклых подмножеств пространства Х линейным пространством? 1.54, Будет лп замыкание выпуклого множества в линейном нормированном пространстве выпуклым множеством? 1.55. Доказать, что шары Я,(х,) и Я,(х,) — выпуклые ьсножества.
Будет лп выпуклым множеством сфера о,(х,)? 2 В л тренаенн и зр 17 1.56. Доказать', что аксиома треугольника в определении нормы зквнвалентна требованию выпуклости шара Х1(0). 1.57. Доказать, что всякое аффпнпое многообразие в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством. 1.58. Будет лп выпуклым в пространстве С(0, 1) мнон ество: а) многочленов степени =й; б) многочленов степени ()г; в) непрерывных функций, удовлетворяющих условию 1 ) (х([) (й (1; о г) непрерывных функций, удовлетворяющих условию ) ( х ([) [Ю < 1; к д) непрерывно днфференцируемых функций, удовлетворяющих условию шах '[х([) [+ шак ) х'([)1(1? 1Е[0, 1! [А[О,1) 1.59. Доказать, что в пространстве (, вьшуклымн множествамн являются: а) параллелепипед (х 1и [„х = (х„х,, ...): !х.! < ( 2-Р и).
! Ю б) ЗЛЛИПСОнд ХЕИ [„Х= (Х1 Хз ° ° ): ХЗ[ Хк <1 к=1 1.60. Доказать, что всякое линейное многообразие в конечномерном линейном нормированном пространстве есть подпространство. 1.61. Доказать, что всякое ьонечноь[ерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство. 1.62, Доказать, что шар в линейном нормированном пространстве не может содержать ненулевого линейного многообразия. 1.63, Пусть Ь ~ Х вЂ” линейное многообразие, Е чь Х Доказать, что Е не содержит никакого шара. 1.64. Доказать, что множество решений линейного неоднородного обыкновенного дифференциального урав- [8 пения п го порядка [Р РК 1к — „+ а1([) — „, + ... + ак([) Х = У([), где коэффициенты а,([) Й = 1, 2, ..., п) и правая часть р([) непрерывны на (а, Ь), образует и-мерное аффинное многообразие в пространстве С(а, Ь!. 1.65. Доказать, что в линейном нормированном пространстве замыкание линейного многообразия есть подпространство.
1.66. Пусть 7 о 11 ~ Х вЂ” подпространства. Доказать, что если котя бы одно из ннх конечномерно, то Ь, + 7,— подпространство. 1.67. Образуют ли в пространстве С( — 1, 1) подпространство следующие множества функции: а) монотонные функции; б) четные функции; в) многочлены; г) многочлены степени ~й; д) непрерывно дифференцируемые функции; е) непрерывные кусочно линейные функции; ж) непрерывные функции с ограниченной вариацией; з) функции х([), удовлетворяющие условию х(0) = 0; и), функции х([), удовлетворяющие условию ~ х([) [([ = О; -1 к) функции, удовлетворяющие условию Лнпшица с какой-нибудь постоянной, зависящей от функции? 1,68.
Пусть Е = хек)1, х=(х1, хз,...): ~2'„х„=О, к=1 а) Доказать, что Ь вЂ” линейное многообразие. б) Является лн 1 подпространством? 1,69. Образуют ли последовательности х= (х„х„...) (х,ш К) такие, что Х хя = О, подпространство в про- 1 1 странстве. а) 11; б) [и? 1.70. Доказать, что пространство с, является подпространством в пространстве с. 1.71. Доказать, что пространство с является подпространством в пространстве т. 2к [9 1.72.
Пусть А, В = Х вЂ” всюду плотные множества. Розмо'кно ли, что Л ПВ = О? 1.73. Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение? 1.74. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно. 1.75. Доказать, что замыкание нигде пе плотного мно-, и;ества нигде не плотно. 1.76. Пусть  — подпространство сепарабельного пространства Х.
Доказать, что 1 сепарабельно. 1.77. Пусть в пространстве Х существует такое несчетное множество А, что для некоторого с ~0 и любых х, уж А выполняется неравенство [!х — у)! ~ е. Доказать, что Х вЂ” не сепарабельное пространство. 1.78. Какие из пространств задач 1.22, 1.23 сепарабельны? 1.79. В пространстве С[0, 1) рассмотрим множестло В таких функций х(!), что х(1) = О. Доказать, что: а) Л вЂ” подпространство в С[0, 1]; б) существует такое одномерное подпространство М, что С[0, И=г,ЮМ.
1.80. Представить пространство С[0, 1] в виде прямой суммы двух бесконечномерных подпространств, 1.81. Пусть А «Х — аамкнутое множестяо', х ю Х, х Ф А. Всегда ли найдется у ~и А такое, что р(х, А) = = 1х — у!]? 1;82. Доказать, что для того чтобы отображение /: Х- У было непрерывно в точке х, юХ, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности х. ю Х, сходящейся к х„последовательность /(х.) сходилась бы к /(х,). 1.83. Обязательно ли при непрерывном отображении !:Х- У. а) образ /(А)- открытого множества А «Х — открытое множество; б) образ 1(В) замкнутого множества В«Х вЂ” замкнутое множество? 1.84. Доказать, что непрерывное отобрая'ение /: В- В, обладающее тем свойством, что образ каждого открытого множества есть открытое множество,— монотонная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
