Главная » Просмотр файлов » В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу

В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 3

Файл №1128568 В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу) 3 страницаВ.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568) страница 32019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Доказать, что в пространстве .столбцов х = = (х„)А, (хА вн В) можно ввести норму следующими способамн: 7И ! а) )х( = ~ л, ~ )хА(' 1=1 А=1 А б) ()х$) - шах Х х, . 1ХАЛт 1.29. Пусть А =!~а.,!! (1, 1=1, 2, ..., т) — симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что в пространстве столбцов х = (хА)А=1 (хА вн В) можно ввести норму йЪ 1!1 1х1= ~ ~ а1,х',х;~ !а=1 1.30. Привести пример последовательности х <ю = (х',"', х'.,"', ...) (х„~ В), которая принадлежала бы каж.

дому из рассматриваемой пары пространств и; а) сходилась в и, но не сходилась в 1,; б) сходилась в т, но не сходилась в 1„ в) сходилась в 11, но нв сходилась в 1„ г) сходилась в с„ но не сходилась в 1,; д) сходилась в с„ но не сходилась в 11. 1.31. Доказать, что прн любом р ~ 1 каждый элемент пространства 1„является н элементом пространства с„ ко элемент х = (1, 1/)п2, 1/)пЗ, ..., 1/1пп, ...) гис, нв принадлежит 1А нп при каном р ~ 1. 1.32.

Доказать, что если рассматривать пространство 1, как множество в прастранстве !и, то его замыкание есть с,. 1.33. Сходится ли в пространстве С(0, 1) последовательностгя а) 'х (1) = 1" — 1"+ь б) р.(1) =1" — 1""? 1.34, Сходится лп последовательность Сиэб Си~а х (1) аа — —— п-1-1 и 2 в пространстве: а) С[0, 1); б) С"[О, 1]? 1.35. Пусть ха(1), хП), у(П би С'(а, Ь], ха(П вЂ” х[1) при и - аа. Доказать, что ха(С)у(1) — х(1)у(1) прп и -б 1.36. Доказать, что всякая последовательносттн сходящаяся в пространстве С[а, Ь], будет сходящейся и в пространстве Ее[а, Ь].

Построить пример последовательности, сходящейся в пространстве Ее[а, Ы, но не сходящейся в пространстве С[а, Ь]. 1.37.-Можно лп в линейном пространстве дважды непрерывно дпфференцпруемых на (а, Ь] функций принять за норму элемента х(П: а) [х(а) [+ [х'(а) [+ [(х" [[с[,,ь][ б) ]х )(с[,ы+ [х([ь,[а,ь]' в) [х(а) [+ (х(Ь)[+ )!ха()с[а,ь]] ) ! ( ) ! + )! ' ([с[а,ы+ [)~" ([;,„,,ь]? 1.38. Можно ли в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых на (а, Ы функций принять за норму элемента х(1): а) шах (х(с)[; се[а,Ы б) шах (х'([)[; си[а,ь] в) [х(Ь) — х(а) [+ шах [х'(1) (; си[а,ь] г) ! х(а) ! + шах ! х' (1) [; 1Е[а,е] ь д) ! ! х (1) ! 1(1 + шах [ х' (1) ( Р ба[а,Ь] 1.39.

Будет лп множество всех многочленов в пространстве С(а, Ы; а) открытым; б) замкнутым? 1АО. Будет ли замкнутым в пространстве С[а, Ь] множество многочленов степени: а) ()с; б) -)сР 1.41. Доказать, что в пространстве С[а, Ы множество функций х(1) таких, что для любого [би [а, Ы выполняется неравенство [х(1)! < 1, является открытым. 16 1.42.

Пусть мноп;ество М ~ [] фиксировано. Положим Л =(хП) бн С[а, Ы: х([) биМ для любого [би [а, Ы). Будет лп.множество А „: а) открыто, если М открыто; б) замкнуто, если М замкнуто? 1.43. Фуя[сцпя х =1(1) определена и непрерывна на всей вещественной оси, Доказать, что множество Пж й: Д[) (!) является открытым в К. 1.44.

Доказать, что множество непрерывных кусочно линейных функций всюду плотно в пространстве С[а, Ы. 1.45. Доказать, что множество мпогочленов всюду плотно в пространстве С'(а, Ы. 1.46. При каком условии на последовательность а„и й (а„> 0) будет ограниченным множеством: а) параллелепипед (хы 1„ х = (х„ х„ ...): [х.! ( а.); а 11 б (* 1,*=б,, б Х 1 <1)1 и=1 1А7. Доказать, что параллелепипед (х ж 1„х = = (х„ха....): [х„! ~ 1) — открытое множество. 1.48.

При каком условии на последовательность а„ и В (аа ) 0) будет - открытым множеством параллелепипед (х~(„х = (х„х„...): [х.! (а„)? 1.49. Доказать, - что параллелепипед (х ж 1,, х = - (х„х„...): [х.! ~ а.) — замкнутое множество. 1.50. Доказать, что линейное нормированное простран-' ство Х является строго нормированным тогда п только тогда, когда сфера о,(0) не содержит никакого отрезка, т е. иа х, у ж о,(0) (х чь у) следует, что ах+ (1 — а)у Ф Ф о,(0) для любого а бн (О, 1). 1.51. Какие пэ следующих пространств являются строго нормированными: а) с'] б) 1,; в) 1;[ г) и; д) С[0, 1]; е) Ее[0, 1]? 1.52. Пусть А, В~ Х вЂ” выпуклые множества.

Какие пз следующих множеств А 0 В, А 0 В, А + В также являются выпуклымп? 1.53. 11усть А ='Х вЂ” выпуклое мноясество и Р— число. Доказать, что множество РбА =(хенХ: х=?.у, ушА)— выпуклое. Будет лп множество всех выпуклых подмножеств пространства Х линейным пространством? 1.54, Будет лп замыкание выпуклого множества в линейном нормированном пространстве выпуклым множеством? 1.55. Доказать, что шары Я,(х,) и Я,(х,) — выпуклые ьсножества.

Будет лп выпуклым множеством сфера о,(х,)? 2 В л тренаенн и зр 17 1.56. Доказать', что аксиома треугольника в определении нормы зквнвалентна требованию выпуклости шара Х1(0). 1.57. Доказать, что всякое аффпнпое многообразие в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством. 1.58. Будет лп выпуклым в пространстве С(0, 1) мнон ество: а) многочленов степени =й; б) многочленов степени ()г; в) непрерывных функций, удовлетворяющих условию 1 ) (х([) (й (1; о г) непрерывных функций, удовлетворяющих условию ) ( х ([) [Ю < 1; к д) непрерывно днфференцируемых функций, удовлетворяющих условию шах '[х([) [+ шак ) х'([)1(1? 1Е[0, 1! [А[О,1) 1.59. Доказать, что в пространстве (, вьшуклымн множествамн являются: а) параллелепипед (х 1и [„х = (х„х,, ...): !х.! < ( 2-Р и).

! Ю б) ЗЛЛИПСОнд ХЕИ [„Х= (Х1 Хз ° ° ): ХЗ[ Хк <1 к=1 1.60. Доказать, что всякое линейное многообразие в конечномерном линейном нормированном пространстве есть подпространство. 1.61. Доказать, что всякое ьонечноь[ерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство. 1.62, Доказать, что шар в линейном нормированном пространстве не может содержать ненулевого линейного многообразия. 1.63, Пусть Ь ~ Х вЂ” линейное многообразие, Е чь Х Доказать, что Е не содержит никакого шара. 1.64. Доказать, что множество решений линейного неоднородного обыкновенного дифференциального урав- [8 пения п го порядка [Р РК 1к — „+ а1([) — „, + ... + ак([) Х = У([), где коэффициенты а,([) Й = 1, 2, ..., п) и правая часть р([) непрерывны на (а, Ь), образует и-мерное аффинное многообразие в пространстве С(а, Ь!. 1.65. Доказать, что в линейном нормированном пространстве замыкание линейного многообразия есть подпространство.

1.66. Пусть 7 о 11 ~ Х вЂ” подпространства. Доказать, что если котя бы одно из ннх конечномерно, то Ь, + 7,— подпространство. 1.67. Образуют ли в пространстве С( — 1, 1) подпространство следующие множества функции: а) монотонные функции; б) четные функции; в) многочлены; г) многочлены степени ~й; д) непрерывно дифференцируемые функции; е) непрерывные кусочно линейные функции; ж) непрерывные функции с ограниченной вариацией; з) функции х([), удовлетворяющие условию х(0) = 0; и), функции х([), удовлетворяющие условию ~ х([) [([ = О; -1 к) функции, удовлетворяющие условию Лнпшица с какой-нибудь постоянной, зависящей от функции? 1,68.

Пусть Е = хек)1, х=(х1, хз,...): ~2'„х„=О, к=1 а) Доказать, что Ь вЂ” линейное многообразие. б) Является лн 1 подпространством? 1,69. Образуют ли последовательности х= (х„х„...) (х,ш К) такие, что Х хя = О, подпространство в про- 1 1 странстве. а) 11; б) [и? 1.70. Доказать, что пространство с, является подпространством в пространстве с. 1.71. Доказать, что пространство с является подпространством в пространстве т. 2к [9 1.72.

Пусть А, В = Х вЂ” всюду плотные множества. Розмо'кно ли, что Л ПВ = О? 1.73. Доказать, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение? 1.74. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно. 1.75. Доказать, что замыкание нигде пе плотного мно-, и;ества нигде не плотно. 1.76. Пусть  — подпространство сепарабельного пространства Х.

Доказать, что 1 сепарабельно. 1.77. Пусть в пространстве Х существует такое несчетное множество А, что для некоторого с ~0 и любых х, уж А выполняется неравенство [!х — у)! ~ е. Доказать, что Х вЂ” не сепарабельное пространство. 1.78. Какие из пространств задач 1.22, 1.23 сепарабельны? 1.79. В пространстве С[0, 1) рассмотрим множестло В таких функций х(!), что х(1) = О. Доказать, что: а) Л вЂ” подпространство в С[0, 1]; б) существует такое одномерное подпространство М, что С[0, И=г,ЮМ.

1.80. Представить пространство С[0, 1] в виде прямой суммы двух бесконечномерных подпространств, 1.81. Пусть А «Х — аамкнутое множестяо', х ю Х, х Ф А. Всегда ли найдется у ~и А такое, что р(х, А) = = 1х — у!]? 1;82. Доказать, что для того чтобы отображение /: Х- У было непрерывно в точке х, юХ, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности х. ю Х, сходящейся к х„последовательность /(х.) сходилась бы к /(х,). 1.83. Обязательно ли при непрерывном отображении !:Х- У. а) образ /(А)- открытого множества А «Х — открытое множество; б) образ 1(В) замкнутого множества В«Х вЂ” замкнутое множество? 1.84. Доказать, что непрерывное отобрая'ение /: В- В, обладающее тем свойством, что образ каждого открытого множества есть открытое множество,— монотонная функция.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее