В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 12
Текст из файла (страница 12)
)~11; 1=1 и) (х,[) = „~ [1 — — [хь, х =(х„х„...) ен 1,; 1=1' к) (х, 1) = х, + х.„х = (х„хо, ...) ен а; л) (х,?) =- ~ 2 +'хь, х = (х„х.„...) а=со; 1=1 и) (х, 1) = 1пи хо, х = (х, х,...) еБ с. 11.6. Прп каком аначенин р функционалы а), б) аадачи 11.4 являются непрерывными в пространстве Е„[0, 1[? 11.7. Будет ли непрерывен функционал <х,?> =х'(0), если он рассматривается; а) на пространстве С'1 — 1, И; б) на всюду плотном в пространстве С1 — 1, 1) линейном многообразии непрерывно длфференцируемых функций? 11.8. В простраястве С'1а, Ь! рассмотрим надпространство й = (х(1) ~ С' [а, Ь[: х (а) — — - х (Ь) = О).
а) Пусть и(1), и(Г>, и1(1) ~С[а, Ъ). Доказать, что <*,1>=,~' (1) '(1)йс, а ь (х, а) = ~ [и (1) х (1) + и (Г) х' (1)[ Ю о есть непрерывные жшейпые функционалы на пространстве СЧа, Ь1. б) Пусть <Х,1> = О для любой х[1) 1нЕ. Доказать, что и(1) = соней в) Пусть <х, д> =О для любой х(1) ~ Е. Доказать, что и1(1) ~н С'[а, Ь) и ю И) = и(1>.
11.9. Рассматривая непрерывные линейные функционалы, определе1шые па пространстве С[ — 1,1[ в задаче 11Л, убедиться, что не для любого ?~С*[ — 1, 1[ найдется такое х(1) ыС[ — 1, 1), х(1) чь О, что [<х, 1>[ = ~[х~[ ?)~~, бо е? 1110.
В пространствах („с, привести примеры непрерывных линейных функционалов, которые достигают и которые ие достигают своей нормы на единичном аамкпутом шаре. 11 11. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, /шХ» и для некоторого шара Я,(х;) зир )(х,/) — (у,/>(=1. »,вмвг(о») Найти 11~( 11.12. Пусть Х вЂ” вещественное линейное нормированное пространство, 1 — линейный функционал, определенный на Х.
/[оказать, что / непрерывен тогда и только тогда, когда для любого с и В множества (х ы Х: <х, 1> ( с) и (х ы Х: <х, 1> ) с) являются открытыми в пространстве Х. 11.13. Пусть / — линейный функционал, определенный на линейном норзпгрованном пространстве Х, причем для любой последовательности х„ ~ Х (и ы )ч) такой, что х. - 0 при и , множество <х., 1> ограничено. Доказать, что /ы Х*. 11.14. Пусть линейный функционал / определен на вещественном линейном нормированном пространстве Х и неограничен, Докааать, что в любой окрестности нуля он принимает все вещественные значения.
11.15. Доказать, что линейный функционал / в линейном нормированном пространстве Х непрерывен тогда и только тогда, когда его множество нулей (ядро) Ю~/) = =(х~иХ: <х,/> =О) замкнуто в Х. 11.16. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, /ы Х», /Ф О.
Доказать, что Х =)>(/) ~ М, где М— одномерное подпространство. 11.17. Доказать, что два непрерывных линейных функционала, определенные на одном и том же линейном нормированном пространстве и имеющие общее множество нулей (ядро), пропорциональны. 11.16. Пусть Š— такое надпространство Х, что Е Ф Х п Е ие содержится нп в каком другом подиространстзе, отличном от Ь н Х. Доказать, что существует такое /~и ю Х», что Е, = Ю(/). 11.19. Доказать, что всякая гиперплоскость в линейном нормированном пространстве является выпуклым множеством.
11.20. Пусть / — фиксированный линейный функционал ка линейном нормированном пространстве Х. Дока- 68 зать, что если одна из гиперплосьостей замкнута, то и все они аамкнуты. 1 1.21. Доказать, что всякая тпперплоскость в линейном нормированном пространстве Х или замкнута в Х, или . всюду плотна в нем. 11.22. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, /~иХ*, /т-=О. Рассаготрим в Х пгперплоскость Е =(хы Х; <,г, 1> =-1). Доказать, что т ю< 1»1 »иь 11.23.
Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, / и Х», Е =%1). Доказать, что для любого хшХ р(х, Е) = 11.24. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, / ю Х*, Л = М(/), х ~ Х, х Ф Ь и существует такое у ш Е, что р(х, Л) = (х — у6. Доказать, что 1 достигает своей нормы на единичном замкнутом шаре пространства Х. 11.25. В пространстве С( — 1, И рассмотрим множество о 1 ь=(*г) г~-~,ч: (*в>»=)*в)»). -1 в а) Доказать, что Ь вЂ” подпрострапство С[-1, 1], и найти такое /ы С"( — 1, 1), что Б=Ж(/).
б) Доказать, что для хИ) ы С( — 1, 1), х Ф Е не существует такого у ш Л, что р(х, Е) =)~х — у~). 11.26. Для х = (х„хм ) ~ с, положим (х, /> = ~ 2 'е'х>а »=1 а) Доказать, что / — непрерывный лпнейпьш функци. опал на пространстве с„. б) Пусть й %1), хы с„хФ Е. Доказать, что не существует такого у ы Ь, что р(х, Л) = ",х — уг. 4 12. Теорема Хана — Банаха.
Структура сопряженного пространства Теорема 12.1. Пусть в ввществвнногз линейнога нор- мированном пространстве Х задан ограниченный линей- ный функционал / с Е)(/) ~Х. Тогда существует опредв- 69 ленный всюду а Х ограниченный линейный функционал /, такой что !!/!! = !!/!! и <х, /> = <х, /> для любого хм/>(/). Следствие 1. Пусть хж Х, хФ О. Тогда существует такое / ж Хь, что !)/!! = 1, <х, /> = !!х!!. С л е д с т в и е 2.
Пусть Е = Х вЂ” линейное многообразие, х,ьиХ, х,ФС и д=р(х„,/))0. Тогда существует такое /~и Х*, что <х, /> =0 для любого х ы Ь, <х„ /> = 1, !!/!! = 1/й, Теорема 12.2. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство. //ля любого ограниченного линейного функционала /, заданного всюду на Н, существует единственный элемент ужН, такой что <х,/>=(х,у) для лнюого хыН. При этом (!ф! = !!у!!, Т е о р е м а 12.3. Любой ограниченный линейный функционал /, заданный на егем пространстве С(а, Ь), можст быть представлен е виде интеграла Стилтьеса ь <х, /> = ) х(!) ду(!), ь где у(!) — функция с ограниченной на (а, Ь) вариацией.
При этом для некоторой уИ) выполняется равенство (!/((= ь = Чу(!). ч (Определение интеграла Стилтьеса и доказательство теоремы 12.3 приведены, например, в (15).) 12А. Пусть Х вЂ” бапахово пространство, /„жХь (пгв ,ьи М) н для любого х~Х существует !пп <х,/„> = <т,/>. ч Доказать, что /~Х*, 12.2.
Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, /„ьв Х* (и я С). Доказать, что /„ сходится в Хь тогда и только тогда, когда <х,/„> сходится равномерно в шаре (хжХ: !!х!! ( 1). 12.3. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, х, у ~ Х, х Ф у.
Доказать, что существует такое /~ ьи Хь, что <х, /> ~ < у, />. 12.4. Доказать, ч.ьо в лвзбом линейном нормированном пространстве Х для любого >.~к В и любого ненулевого /я Хь гпперплоскость (х ~ Х: <х, /> = О есть непустое множество. 12,5. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, х ж Х, Доказать, что )!х(!' = пр (<' />! яахь,!!ь(=ь 12,6. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, х, ~ Х и для льобого / ~ Х* такого, что !!/!! = 1, выполняется неравенство )<х„ />! ~ 1. Доказать, что 1х,1~ < 1. 12Л. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, /~ Х*, А ья Ы(Х). Доказать, что !!А1 = епр )<Ах, />), где верхняя грань берется по множеству (хе Х: !'х')= 1, / ~ Х*, )!/)! = 1).
12.8. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, х„ьк Х (и ж ьз ) — фиксированная система элементов, Т вЂ” ее линейная оболочка, х ~ Х вЂ” произвольный элемент. Доказаттч что х ~ л, тогда и только тогда, когда из /ы Х*, <х„/> = 0 для /г ы )Ч) следует <х, /> = О, 12.9. Доказать, что если линейное нормированное пространство Х бесконечномерно, то и пространство Х* бесконечномерпо. 12АО. Пусть Х вЂ” линейное нормированное пространство, М ~ Х вЂ” произвольное множество. Положим )г = (/ьк Х": <х, /> = 0 для любого х и Л/). а) Доказать, что Мх — надпространство в пространстве Хь.
б) Что представляет собой М", если Х вЂ” гильбертово пространство? в) Пусть М ~ Х вЂ” подпространство. Доказать, что М = (х ~ Х: <х, /> = 0 для любого / ~м Мз). 12.11. Пусть Х вЂ” баиахово пространство. Для произвольного множества М~ Х определим его поляру ЛХ*= (/яХь: !<х, />! < 1 для любого хе М). Доказать, что Лт* — выпуклое замкнутое множество.
12.12. Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, Я=Х)- У вЂ” их ирямая сумма. Доказать, что всякий ограниченный линейный функционал, заданный всюду на пространстве 7, однозначно представим в виде <(х, у), Ь> = <х, /> + <у, д>, где / ~ Х*, д ~в У*. 12.13. Пусть Х вЂ” банахово пространство. Доказать, что если пространство Х* сепарабельно, то п Х сепарабельно. Верно лп обратное утверждение? 12.14. Доказать, что непрерывный линейный функционал <х, /> = х(0) в пространстве С[ — 1, И пе представим в виде <х, /> = ~ х(!) у(!) д(, -ь 7! где у(г) ~и С[ — 1, 1).
Пабтп такую функцшо 6(г) с ограни- ченной на [- 1, П вариацией, что 1 (х,/) =- ~ х(() г(я(г). -1 12.15. Для хП) ыС[ — 1, 1) положим 1 (х, /) =, + ) гх(г) й, -1 а) Доказать, что / — ограниченный линейный функционал. б) Найти такую функцию д(г) с огранпченвои на [ — 1, 1) вариацией, что т (х,/) = ~ х(()г(6(г). -г 12Л6. Пусть х„(П ~ С[0, 1] фиксировано. Рассмотрим в пространстве С[0,1) одномерное подпростраиство Е (Хх(П), где ).
ы Й. Определим на Е линейный функционал / равенством (х,/) =?., если х = Ех,. а) Доказать, что Ц)( = 1. б) По теореме .12.1 / может быть продолжен на все пространство С[0, П с сохранением нормы. Однозначно ли такое продолженле, если; 1) х„(П = (; 2) х,(П = 1 — 2(? /хт') 12.17. В пространстве Е" с злементамп х =- ~ ) на подпространстве Ь = (х ~ Е'. 2х, — х, = 0) задан чипейный функционал (х, /> =хо Доказать, что существует единственное продолжение / на все Е' с сохранением нормы, и найти это продолжение. 12.18. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, Е ~ Н— надпространство, / — ограниченный линейный функционал, задаяяыи на Е. Доказать, что существует единственное продолжение / на все Н с сохранением нормы.
12.19. Доказать, что всякий ненулевой ограниченный линейный функционал, задапый всюду в гильбертовом пространстве Л/, достигает своей нормы на единичном замкнутом шаре /! п притом только н одной точке этого шара. 12.20. Пусть / — ограпичепньш линейный функционал, заданный на подпространстве с,~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
