В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Доказать, что (В(А))" = й>(А*) (ортогональность понимается в смысле задачи 12.10).. 14,9. Найтп сопряженный к оператору А: Ег(0, 11- Хг(0, 11, если: а) Ах(() = ~х(т) г(т; о б) Ах(т) = (х(>); 1 в) Лх(() = ~ (х (з) >Хз„ о 1 г) Ах(()= ~ (х(т) Ж. о 14.10. Найп> оператор, сопряженный к оператору Л; (> — („еслп а) Ах== (х„х....., х„, О, О, ...); б) Ах=().>х>, ).,хо, ...), где ).„юй, 1).„( -1, >г>нХ; в) Ах= (О, х„х,, ...); г) Лх=(х, х„...).
14Л1. Найтп сопряженные к операторам задачи 14.10, еслп онп рассматрпва>отея как действующпе: а)пзс,вс,,; б) пз >г В Хг', в) нз(,всо, 14>Л2. В пространстве (, для х = (х„хо ...) ж(. поа) Доказать, что Л „ю 2'(( ) и А „- 0 (и - ' ) сильно, Э б) Найти А„п выяснить, верно лп, что Л„-~О (н — ) сильно": 14.13. Найти опер>>тор, сопряженный н оператору вложенпя Х: )о с„, Хх=х. 14Л4. Пусть П вЂ” >пльбертово пространство, у, еж П, у чь О, з ~ 0 — пропзвольпые фиксированные злемепты. Для х>нХ( положим Лх=(х, у)в.
Доказать, что Агн 'и У(ХХ) п пайтп оператор А". 14.15. Пусть  — гпльбертово пространство, А, В; Н П вЂ” линейные операторы, определенные на всем Н и такие, по для любых х, у >и П выполняется равенство (Ах, у) = (х, Ву), Доказать, что А — огранпченный оператор и В = А*. 14.16. Пусть Х, У вЂ” лпнейные нормированные пространства, А: Х вЂ” У вЂ” такой линейный оператор, что Х)(А) = Х, оператор А ' существует п принадлежит Ы'(У, Х). Доказать, что (Ло) ' существует, прпнадлежпт 2'(Х"', Уо) и прп зтом (Л") ' = (А ')"'. 14Л7. В пространстве (г расслютрпм для х = (х„ хо ...) се (о оператор >1: (, — (н Лх= (х„2хн Зхг, ...) с область>о определенна Р(Л)= хе= (г х= (хы "г ° ).
2. и=> а) Доказать, что Р(А) = (г. б) Доказать, жо А — пеограппченпый на Р(А) лппей- пый оператор. в) Найтя Р(Ло) и Ло, 14.18. Рассмотрим оператор А: (г- („Ах =х с об- ластью определеш>я Р(Л), состоящей пз злемептов х = = (х„хо, ...) гн („для которых ~г )х, (( со. о=г а) Доказать, что Р(А) = )г. б) Доказать, что А — лппейпый оператор, неогранн- ченпый па Р(А). в) Найтп Х)(Ао) и А*.
14.19. Рассмотрим оператор Л: Ег(0, 11- Хг(0, 11, ЛхН) = хИ ) с областью определения 1 о>г> (.г,>....о.п (;>Р>г>< о а) Доказать, что 1~~л) = Х,г(0, 11, б) Доказать, что А — линейный оператор, пеогранп- чеппый на Р(А). в) Найти Р(Аз) и Ао, 14.20. Рассмотрпм оператор А: Хг(0, 11 Хг(0, 11, Ах(Е) = г(х/с>( с областью определения Х)(.4) — линенным многообразием непрерывно днфференцируемых на 10, 11 функций хИ), удовлетворяющпх условиям х(0) = х(1) = О. а) Доказать, что Р(4) = Хг(0, 11. 79 б) Доказать, что А — неограниченный на П(А) ли" исйиый оператор.
в) Найти ъс(Л*) и Лв. 14.21. Рассгиггрим оператор Л: Се(0, 11 -' 1.с(О, 1), АхсП =Сх(0) с областью определения П(А) — линейным многоооразием непрерывных иа [О, 1) функций. Найти П(Лв) и А*. 14.22. Найти оператор, сопряженный к оператору вложения 1: П'10, 11 — 1,(0, 11, 1х = х. 14.23.
На!сти оператор, сопряженный к оператору А: 1Р(0, 1) - Се(0, 1), е!х(!) =Лх1дй Глава 4 КО51ПАКТНЫЕ й!НОтКЕОТВА П ВПОЛНЕ ПЕШ'ЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ $15. Компактные множества в нормированных пространствах Множество ч) в баиаховом пространстве Х называется бикомпактным, если из каждой последовательности х„ы 1) (п~ Х) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, предел которой прииадлежсп с,с. ' Теорем а 15.1, Пусть 1: ч) - Н вЂ” непрерывная функция, определенная на бикомпактном .чножестве ч) ~ Х. л'огда 1 огратсчена на (), достигает на ч) своей тогисой верхней и нижней граней и равно. черно непрерывна на (1. Сасстеъса откРытых множеств Ре линейного иоРмпРованного пространства Х называется покрытием множества-А ~ Х, если ка;кдая точка хы Л принадлежит хотя бы одному из Р,.
Множество М линейного нормированного пространства Х называется кочпактным, если из каясдой последовательности х„сн М (п ы гч) можно выделить фундаментальную подпоследовательиость. 5!ножество М, ~ Х называется е-сетью множества М ~ Х, если для любого х си М найдется такое х с М„ что !х — х! < е. Теорема 15.2. Множество М в линейном нормированном пространстве Х компактно тогда и только тогда, когда для любого е ) 0 в Х суи(ествует конечная е-сеть для М.
Пусть 6 — замкнутая ограниченная область в пространстве Е", С(6) — пространство непрерывных иа 6 функций с нормой (!х1 = гогх )х(с)(, М ~ С(Ю) — некотосао рое множество функций. Это множество называется равномерно ограниченным, если существует такое сый, что для любого х сиМ выполняется неравенство 1х1 < с; равностепенно непрерывным, если для любого е )0 существует б = б(е) > О, такое, что для любых 1„!есин, удовлетворяющих неравенству 11, — П! ( б, сразу ' для всех хыМ выполняется неравенство )хПс) — хП,)! (е. Теорема 15.3, Для того чтобы множество М~ С(П) было компактно, необходимо и достаточно, чтобъс оно 8 В.
ь треногие г гр. 81 было равногзергго ограни геипыгк и равностепенно непре- рывным, Ыпожество М элементов линейного нормированного пространства Х называется,гокально компактньгл, если пересечение Лг с лгооым замкнутым шаром в Х ком- пактно. Теорема 15.4. Для того чтооьг линейное гзногообра- вие г' линейного нормированного пространства Х было локально компактно, необходимо и достаточно, чтобы было конечногаерно.
Множество М балахона пространства Х называется слабо когзпинтныч, осли пз любой бесконечной послсдо- вателыгостп его элементов можно выбрать слабо фунда- ментальную подпоследовательпость. Те о р е м а 15.5. Всякое с.габо колггактное гзноэсество в банаховолг пространстве ограничено, Теорема 15.6. Всякое ограниченное мноэеество ре(б- лексивиого банахова пространства с.габо компактно. 15.1. Пусть Х вЂ” бапахово прострапетно, М ~ Х вЂ” та- кое замкнутое множество, что для лгобого е ) О в Х су- ществует дчя М конечная е-сстгь Доказать, что М бп- компактпо.
15.2. Доказать, что замьпгаппе компактного множе- ства бпкомпактпо. 15,3. Доказать, что вснкое подмножество бпкомпакт- пого миогкества компактно. 15.4. Пусть множество М в линейном нормированном пространстве Х таково, что для лгобого е) О в Х су- ществует длн Лг компактная е-сеть. Доказать,. что М ггоггпектно. 15.5. Докааатгь что в коне шомерпом линейном нор- мированном пространстве всякое ограниченное множе- ство компактно. 15.6. Пусть М вЂ” бнкомпактное множество в банаховом ' пространстве Х, х„нМ (пж гчг), х, — единственная пре- дельная точка последовательности х„.
Доказать, что х„— х„(п - ь), 15.7. ДОКаЗатЬ, Чтп МНОжЕСтВО Х„=ЫП гг(ги Ьг[ — и, П) (и ж гч() замкнуто п ограничено, но пе компактно. 15.6. Пусть М вЂ” бикомпактпое множество в банахо- вом пространстве Х, Доказать, что для любого е ) О множество М мо;кет быть представлено в виде М=() Г„ где г"г — замкнутые множества и для 1=1, 2, ..., и Йаш г г ( е.
15.9. Доказать, что для того чтобы множество М нз банахова пространства Х было бпкомпактно, необходимо и достаточно, чтобы нз любого покрытия М можно было выделить конечное подпокрытне. 15ЛО. 11усть А — бикомпактное множество в банаховом пространстве Х. Доказать, что для любого х ы Х найдется такое у гн А, что р(х, А ) = 1х — у1, 15Л1. Пусть А — бикомпактиое,  — замкнутое множество в бапаховом пространстве Х и А О В = гл. Доказать, что р(А, В) ) О 15.12. Пусть А,  — бикомпактные множества в банаховом пространстве Х.
Доказать, что существуют такие х,гнА, у,жВ, что р(А, В) =1х,— у,'). Обязательно лп найдутся такие точки, если А бпкомпактно, а В замкнуто? 15.13. Пусть А — бикомпактное множество в банаховом пространстве Х. Доказать, что найдутся такие .т,, у гкА что ЙагпА =1х — у 1 15.14. Доказать, что бикомпактиое множество нельзя пзометричпо отобразить на свою часть.
15Л5. В пространстве Ег построить компактное множество, пзометрпчпое своей части. 15Л6. Пусть Х вЂ” банахово пространство, М~ Х вЂ” бпкомпактное множество, Ф: М- М вЂ” такое отобра кение, что для лгобых х, у ы М выполняетсн неравенство (~Ф(х) — Ф(у)1~ (гх — у1, Доказать, что Ф есть изометрическое отображение М на себя. 15.17. Доказать, что в банаховом пространстве всякая система пепустых вложенных бикомнактных множеств имеет непустое пересечение.
15.18. Пусть М„ — такая последовательность бпкомпактных множеств в банаховом пространстве Х, что пересечение любого конечного числа этих множеств непусто. Доказать, что () Мь непусто. и=-г 15ЛО. 11усть К (г = 1, 2, ..., и) — конечное покрытие бпкомпактного множества М в банаховом пространстве Х. Положим / и Д -1 гр (х) =- р(х, М~ Г;), е;(х) = гр,(х) ~~ г(,(х)) г .-: 1 1=-1,2, ...,и. Доказать, что система функций (е,(х)), называемая раебиеииезз едина!)ьл, соотвстствующпл! покрытию К, обладает следующими свойствамп: а) 0 =е,(х) -1; б) е,(х) =0 прп хФ К; лл в) .2л ел(х) =1 для ялового хыМ; л'=1 г) е,(х) — непрерывные функции на М. 15.20.
Пусть Х вЂ” баиахово пространство, А, В = Х и: а) А, В бикомпактпы; доказать, что множество А+В бикомпактпо; 6) А бпкомпактпо, В замкнуто; доказать, что множество А + В замкнуто; в) А, В компактны; доказать, что множество А + В компактно; г) А, В замкнуты; верно лп, что А +  — замкнутое множество? 15.21. Пусть М вЂ” бикомпактное множество в банаховом пространстве Х, С(М) — пространство вещественных непрерывных на М функций с нормой (!х!! = шах! х(г)(, пим Доказать, что С(М) — сепарабельное банахово пространство.
15.22. Пусть Х, У вЂ” банаховы пространства, М~ Х— бикомпактное множество, С(М, У) — множество непрерывных отображений, определенных на М с областью аначений в У, Доказать, что: а) С(М, У) — линейное пространство; 6) в С(М, У) можно задать норму равенством зпр ~) (х)',/; хны в) в этой норме С(М, У) являетсн банаховым пространством.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
