В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 15
Текст из файла (страница 15)
15.23. Пусть М вЂ” такое множество в банаховои пространстве Х, что для любой вещественной непрерывной на М функции ) выполняется хотя бы одно пз следугощпх условий: 1) !' ограничена на М; 2) если )' ограничена на М, то ! достигает на М точ ной верхней п точной нижней граней. Доказать, что М бпколщактно. 15.24. Пусть М вЂ” такое множество в баяаховом пространстве Х, что ллобая вещественная непрерывная па М функция равномерно непрерывна.
Следует ли отсюда, что М бпкомпактпо? 84 15,25. Доказать, что йепрерывное отобраяленпе переводит бпкомпактпое множество в бикомпактпое множество. 15.26. Пусть ?; Х- У вЂ” непрерывное отображение банахова пространства Х в бапахово пространство У, М !=, ~ Х вЂ” компактное множество. Доказать, что множество )(М) ~ У компактно. 15.27. Верно лп утверждение предыдущеи задачи, если непрерывное отображение определено не на всем пространстве Х, а только на множестве М? 15,28.
Доказать, что если функция равномерно непрерывна на компактном множестве М линейного нормированного пространства Х, то она ограничена на М. 15.29. Пусть М~ С(а, Ь) — множество функций и известно, что для любого е >0 и любого !ля (а, Ь) существует такое 6 = 6(е, 1,), что если )г — 1,! < 6, то для любого хИ) ы М выполняется неравенство !х(л) — х(г,) ! < е. Будет ли множество М равностепенио непрерывным? 15.30.
Пусть х.(!) лн С(а, Ь) (и лн лч() — равностепенно непрерывное множество функций и х.(() при и- сходится к хл(г) поточечно на (а, Ы. Доказать, что х,(г) ли ы С(а, Ь). 15.31, Пусть М вЂ” равномерно ограниченное множество функций в пространстве С(а, Ь). Доказать, что множество )!' функций вида ! р (1) = ) х (т) л(т, о где хИ) лн М, компактно. 15.32. Доказать, что равномерно ограниченное множество функций М ~ С(а, Ь), удовлетворяющих условию Лппшица с общей постояннои, оикомпактно в пространстве С(а, Ь). 15.33. Доказать, что множество функций М~С(а, Ы огранпченныт прп' некотором фиксированном гллн(а', Ь1 и удовлетворяющих условшо Лппщица с общей постоянной, бпномпактно в пространство С(а, Ы. 15.34.
Доказать, что множество непрерывно дпфференцпруемых на (а, Ь) функций хП) таких, что ь ! х (0) ! ( Ь„) ! х' (() ! ! Й ( ?г! а (постоянная ь, > О, постоянная й! > 0) компактно в пространстве С(а, Ь). Доказать, что множество непрерывно дгсффе- ренцируемых на (а, Ы функций хП) таких, что ь ~((х(() Р+( х'Я1'1?г < й а с постоянной Й~ О, компактно в пространстве С(а, Ы. 15.36. Пусть М вЂ” множество непрерывно дпфферен- цируемых на (а, Ы функцсгй хИ), удовлетворяющих сле- дующим условиям: 1) для любого (си(а, 61 п любой хИ) иМ выполня- ется неравенство ]х И)(.с Ь, где постоянная Ь) 0; 2) для любой хОО ыМ уравнение х(Г) =0 имеет на (а, Ь1 хотя бы один корень.
Доказать, что М вЂ” компакт- ное множество в пространстве С(а, Ь1. 4 О Т 1о,37. Будет лн равномерно ограниченное множество миогочленов степени и биьомпактным в пространстве С(а, Ы? 15.38. Доказать, что равномерно ограниченное мно- жество многочленов степени, не выше чг, бикомпактно и пространстве С(а, Ь1. 15.39. Доказать, что для лсобой непрерывной на 1а, 61 функции х(() существует многочлен Р(]) степени, не выи]е и, который является многочленом наилучшего приближения, т.
е. шах (х(г) — Р(г) !( свах (х(]) — с)(])( сиГа,л] се]п,ь] дчя любого мпогочлева л)(г) степени, ие выше и. 15.40. Пусть х(]) — непрерывная иа (а, Ы функция п существует последовательность многочленов ограни- ченной степени, которая сход]стоя к хП) равномерно на (а, Ы.
Доказать, что хП) — многочлеи. 15.41. Доказать, что шар о,(0) пространства С'(а, 61 является компактным множеством в пространстве С(а, Ы, Является ли оп бпкомпактпым множеством в простран- стве С(а, Ы? 15.42. Доказать, что всякое множество компактное в пространстве С (а, Ы, является компактным и в прост- ранстве С(а, Ы, 15.43. Привести пример множества непрерывно диф- ферепцяруемых па (О, 11 функций, компактного в прост- ранстве С(0, 11, но ие компактного в пространстве С'(О, 11.
15.44. Компактны лп следующие множества функций в пространстве С(0, 11; зо а) х„(]) =]", иы ч]; б) х„(]) ~ аш и(, и ~=— Х; в) х,(() = е]в И+ и), и ы Х] г) х ОП = з]исс(, я'= В; д) х„(]) = Йв ад ас— = (1, 21; е) х„(г) = агс]я а(, а ы В; ж] х„[г) =е' ", иснй, аэО? 15.45. Будет ли конпактньмс в пространстве С(0, 1] амюжество функций хОП си С(0, 11, удовлетворяющих при любом ] ы (О, !1 неравенству (х(])1 - ср(]), где срИ) си си С(0, 11, с(,< Е) см 0 — фиксированная фуш;ция? 15.46.
Доказа]ь, чсо всяш>о компактное множество в пространстве а) С(а, 6(; б) (, шпде пе плосм]о, 15.47. Доказать, что для того чтобы множество функций М~ С'(а, 61 оыло компактно, необходимо п достаточно, чтооы оио было равномерно ограничено, а множество производных порядка й входящих в М функций было равиосто]сеши непрерывно. 15.48. Доказать, что лшожество М эдеме]стев х = = (т„х.....) пз пространства с плп с, компактно тогда и только тогда, когда оио ограничено п 1пих„существу- 11 ет равно»ерпо относительно хееМ, т, е, для любого е О найдется такое М = Х(е), что прп всех и ) М для любого х = (х„хо ...) сн М выполняется неравенство , 'х„— 1пв х„( < е.
15.49. Доказать, что множество М элементов х (х„х,, ...) ез(„(р= 1) компактно тогда и только тогда когда ово ограничено и Ппт ~~ (хл 1' а л=л существует равномерно относительно х ~ М, т. е. для любого е ) 0 найдется такое % = ]У(е), что при всех и ) ) ДГ для любого х = (х„х,, ...) ы М выполняется неравенство ~, (х„(' - е. ] =11 15.50. Доказать, что параллелепипед (х ы (м х (х„х,, ): (х„( < 1/и) является биколшактным множеством в пространстве (,.
87 15.51. Прп каком условии иа последовательность )„,~в!1, ).„)!) (и= — Х), является бикомиактным множеством в пространство 1,: а) параллелепипед (а~1, э ~п (х„эь ...): !г..! 2„); б) эллипсоид хсн 1„х = (х„х„...): ~~ — '„' <1 '? -ч гй 15.52.' Доказать, что если надпространство в пространстве С(а, б) состоит пз непрерывно дифферепцирусмых фуш'цпй, то оио коиечпомерио. 15.53.
Пусть Х, У вЂ” баиаховы пространства, М'= Х— компактное множество, А„, А ~им"(Х, У) (н~пй() и А,-+ А (и- ') сильно. Доказать, что А.х раапочерво сходится к Ах при и — для всех хы М, 15.54. Пусть Х вЂ” бапахово пространство, х„ Х (пп э(), х„ кочпактна и х„ -~ х (н - ) слабо. Доказать, что х„-+-х (и ).
15.55. Пусть Х вЂ” рефлексивное бапахово пространство, х, ж Х, х„я о',(х,), и ев Х. Доказать, что найдется такая подпоследовательиость хэ„ (у ~в ~'), что х г -+ х (и — < ) слабо и х ж Ь',(х,). 15.56. Доказать„что всякое компактное множество в банаховом пространстве слабо компактно, п привести пример слабо компактного множества, не являющегося компактным. 15.57. Доказать, что единичный замкнутый шар пространства С(О, 1! не является слабо компактныч множеством.- $16. Линейные вполне непрерывные операторы Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства.
Оператор А ж 2'(Х, У) называется вполне непрерывным, если он переводит замкнутый единичный шар пространства Х в компактное множество пространства У. ?т(вашество всех вполне непрерывных операторов нз :х'(Х, У) обозначается о(Х, У). Теорем а 16.1. Если А ~по(Х, У), то л>обое ограниченное в Х мнохсество он переводит в л~ноэсество, компактное в У. Теорема 16.2, о(Х, У) является подпространством в пространстве .х (Х, У)? Теорема 16.3, Пусть Аж.Р(Х, У), ВжЯ(У, Я), Если хотя бы один иэ этих операторов вполне непрвры- 88 вен, то вполне нелрерывныэг оператором будет и их произведение ВА. Теорема 16.4. Пусть А ыо(Х, У).
Если х„ыХ (пгн ы Х), х„х„(п - ) слабо, то Ах„-~-Ахь Теорем а !6 5. Пусть А ~ м'."(Х, У), гдв У вЂ” бвнахо. во пространство. Оператор А вполне непрерывен тогда и только тогда, когда Ав вполне непрерывен. Пусть Х вЂ” банахово пространство, А ы о(Х, Х) = о(Х), х, у ы Х. Уравнение Ах=у называется уравнением 1-го рода, уравнение х — Ах=у (1] называется уравнением 2-го рода. Паряду с (!), рассмотрим соответствующее однородное уравнение г — Ах=О, (2) а также сопряженное уравнение 1 — Аэ?= ы (3) и сопряженное однородное уравнение ф — А*ф = О. (4) Т е о р е м а !6.6, Следующие утверждения эквивалентны; а) уравнение (1) имеет решение при любой правой части у; б) уравнение (2) имеет только тривиальное решение; в) уравнение (3) имеет решение при лгобой правой части ам г) уравнение (4) имеет только тривиальное решение.
Если выполнено одно иэ условий а), б), в), г), то операторы 1 — А и 1 — Аь непрерывно обратимы. Теорема 16,7, Уравнения (2) и (4) ил~вют одинаковое конечное число линейно нвэависилгых решений.. Теорема 16.8. Для того чтобы уравнение (1) имело хотя бы одно решение, нвооходимо и достаточно, чтобы для любого решения т) уравнения (4) выполнялось усло- Т е о р е и а 16.9, Пусть Х, У вЂ” бвсконе пюмврные линейныв нормированныв пространства, причем У вЂ” банахово, А ~ а(Х, У) и В(А) бвсконечномерна.
Тогда Л(А) не является замкнутой в У. Теорема 16.!О, Пусть Х, У вЂ” линейные нормированные пространства, причем Х бесконвчномврно, А ы 89 ~о(Х, У) и на Л(А) существует обратный оператор А Тогда А ' неограничен на Н(А). 16,1. Какие из тлсдузццих операторов А; С[0, 11 С[0, П являются вполне иепрерывнымп: а) Ах(<) = — )х()); б) Ах (т) == ~ х (т) <(т; а в) Ах(г) = х(0)+ )х(!); 1 г) Ах (г) = ~ е"х (г) сЬ; о д) Ах (т) =- х (тз)? 16.2. Будет ли вполне непрерывным оператор А: С[ — 1,1]-+С[ — 1,Ц, Ах(г) = —,[х(г) + х( — г)<? 16.3. Прн каком условии на фуикп<<ю <р(<) <и С[0, 11 оператор А: С[0, 1] С[0, 11, Ах(<? =<у(т) (<? будет вполне непрерывным? 16.4. Оператор А: С[0, 11 — С[0, 11 определяется равенством 1 И Ах(т) = ~ Н(С з)х(в) <)в+ ~, (г) „.
(т ) о <-.1 где К(<, г) непрерывна при 0<в, (<1, <р,(т?~С[0, 11, <,ы [О, 11 для )<=1, 2, ..., и, Доказать, что А — вполне непрсрр<вный оператор. 16.5. Будет лп вполне непрерывным оператор Ах(т) = = <]хI<]т, если он рассматривается как действующии: а) иа С'[О, 1] в С[0, 11; о) из С'[О, 11 в С'[О, 11; в) из С'[О, 11 в С[0, 1]? 16.6. Доказать, что оператор А: Х:[а, 61 -~ 1.,[а, Ъ], < Ах(<) = 1 х(т) <]т вполне непрерывен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
