В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 18
Текст из файла (страница 18)
17.3!. Доказать, что сслп оператор А фредгольмов, то оы представим в виде А С + Т, где С непрерывно обратим, а Т вполне непрерывен. 17.32. Пусть оператор С непрерывпо обратим, а оыерттор Т пполые непр:рыпен. Доказать, что оператор А С + Т фредгольмоп. (СО 1733. Пуггп (и!и, ч!о и!а !(,! г ~ ил озшыг оысрзгора А = '~(Л, 1) псойагдит о ы .госгаточно выпошеыыя ьа кдого па слсдугощыс )с !оспы; а) оператор про,гстанпч в вп,ге Л В+Р, где В— ш 'Г(Х, У) ы пспрерсгпыо обраглм, а Р се 2'(Х, У) п ЛгР) коысчыочер! а; й) оси р, тс,! ы)ед швыч в виде Л =С+ Т, где Сгв я х'(Х, 1) ы ыспрпрыпго обратим, а Тгнх'(Х, У) вполне ыеггрерывеп. !7.31, Пусть Л ~ Ы(Х, У), Л(А) вамкнута и существует тз! ая спсгсча оггчгытоп (у,), ! с: 1, что лкгооы уев гп У с,гы' гт !!с „!ы ! образоч представим п виде у = ~, ).,у, + з, где ).,гв11, ггпЛ(Л).
Доказать, что дек=! феьтпое число оператора А равно п. 17.33!. П)сгь  — комплексное гильбертово пространство, Л его (!1) — негерое операгор и у сп Н. Пус гь существует такое число г> О, что оператор В: 11- 11, Вх г'Л;! х — (х, у) у является пес грпцатеггьнытг. Доказать, что: а) уравнение Лх = ? р.гарешпчо, т. е. у гн Л(А)) б) уравнение г! !"'? =- у разрешимо; в) злсмепт х =.!" /, где 1 — решение ураппе гпя АЛ*/ у, пе завысит от 1и является паимеыьшыч ыо норме решением уравыегшя Лх = у; г) если число ну.гоп оператора Л ые р,гвпо пу.ыо, то спстеча Лх =- у, 'х" =- г рагрзшыча. Глава 5 СА51ОСОПРЯЖЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ й 18, Самосопряженпые операторы Пусть П вЂ” комплексное гпльоертово пространство. Оператор Л ж2'(П) называется ссг.ггосопряженны.гг, если Л* = А, т. е. для любых т, у ~ П выполняется равенство (Лх, у) = (х, Лу), Мггоггсество всех самосопряжепкых опе- раторов иа 2У!) обозначается 6(П). Теорема 18.(. Веги Л, В си 6(11), а, 5 ю Н, то аА+ +()В ю 6(Н). Теорема 18.2. Пусть Л, Вю 6(Н).
Оггератор ЛВ са- лгосопряжен тогда и только тогда, когда АВ ВЛ. Т е о р е и а 18 3. Если А ю 6(Н), то ((А ~( = зир ) (Ах, х)!. ге(г л г Оператор А гн 6(П) называют неотрицательныв и за- писывают А « О, если (Ах, х) ~ 0 для любого хси П. Для операторов Л, В гм 6(Н) ааппсь А ~В нли В «А оанача- ет, что А — В ~ О. Теорема 18.4. Пусть Р— оператор проектирования в еильбертово.ч пространстве Н на подпространство 51.
Тогда: а) Ргнф(Н), причем "Р') 1, если й)ььО; б) Р' Р; в) Рси 6(Н); г) Р ~ 0; д) х гн М тогда и только тогда, когда ПрхП ПхП; е) (Рх, х) «Пх' ' для лгобого х гн Н, Теорема 18.5. Пусть А снб(Н), А' А. Тогда А есть проектор на некоторое поднростраоство М ~Н. Теорема 18.6, Каждый пеотргм(отельный оператор А ю 6(Н) имеет единственный так называемый квадрат- ный корень УЛ ~6(Н) такой,что ()А)' А и )1А >О.При етом УА перестановочен с оператором СюХ(Н) тогда и только тогда, когда С нерестановочен с Л.
Для А ю 6(П) введем следующие обозначения: )А) — ~4г„А =-()А)+ А); А = ~ ((А! — А), (О2 где )'А — неотрицательный квадратный корень из оператора А'. 18Л. Доказать, что А: 1, — 1:, Ат (Хгх„).гхг, ) для х = (хг, хм ° ) ю 1г, Где )г сн 11 ()с я г~ )~ зггр )Хг ~ есть самосопряженный оператор. При каком условии на последовательность ),, он будет неотрицательным) 18.2. Доказать, что оператор А: 5,(0, 1) - 1„(0, 1), ,4хП) 1х(1) есть неотрицательный самосопряженкый оператор.
18.3. Дояазать, что оператор А: Т,г(0, 1) - ЫО, 1), 1 Ах(1) = ~ е'л'х(в) г(в в есть самосопряженный неотрицательный. 18.4. Пусть Аж Н, )г ть 0 фиксировано. Доказать, что разностный оператор .4: 1,,( — », .) — 1,( —, ), является самосопряженным.
18.5. Пусть А, В ю 2г(Н), А ж 6(Н). Доказать, что ВьЛВ си 6(Н). 18.6. Пусть Л ю 6(Н). Докааать, что: а) ПА ~г г= ецр ((Ах, х) (; гет=г б) ~Л~~= зпр ~(Ах,у)). ггкгг.=г, гцг=-г 18,7. Пусть Н вЂ” комплексное гильбертово пространство, А ю Ж(Н) и для любого х ю Н число (Ах, х) вещественно. Доказать, что А си 6(Н). 18.8. Пусть А ги 6(Н). Будет ли замкнутым на вещественной прямой множество (Ах, х), если хю Н, ПтП = 11 18.9.
Пусть Аж2г(Н) в (Лх, х) 0 для любого хснН. Доказать, что А = О. Верно ли это утвернсдение для ограниченного линейного оператора, рассматриваемого в вещественном гильбертовом пространстве3 18.10. Пусть А ю 6(Н), х„сн Н (и ги Х), х, - х (п -~ ). Доказать, что (Лх., х.) — (Ах, х) (п- ° ). Существенно ли, что А ж 6(Н)3 18.11. Является лп подпространством в гильбертовотг пространстве П множссгво Х = (х ~ Н: (Лх, х) = О), естп: а) А сн 6(П); б) А си 6(Н), Л ~ ОП 105 18.12.
Пуль Л е Н'(П). Доказа)ь. что: а) 2(Л+ А') ~ б(Н) лля любого й ~ В; б) Л представнм в виде А — Л, + 01ь где .1, Л. ~ б(П). 18.13. Может лп область значений самосопряжсипого оператора быть незамкнутой1 18.14. Пусзь Л ю б(П), Т(.1) = О. Доказать, что Н((А) — Н. 18Л5. Пусть Л сн б',П). Доказать, что 1.!'!) = ГАЬ). 18.16.
Пусть ';(„нб)'П) (п)нМ) н при и — о сильно сходится и оператору Л. Доказать, что А )и ЫН). 18.17. П)сгь Л. сз ЬИ) (пж М), А„«0 п прп всплыло схо;)п)ся к оператору А.,Г[оказитгь что Л «О. 18.18. Пусть Л ~ ЫН). Доказап, что если лля некоторого х =. Н .4хФО, то А'х ~ 0 лля любого натурального и. 18.19. Пусть Л ~ ЫП).
а) Доказать, что для ла оого х я П п любого натурального и > 1 выполю)ется неравенство 1А "х'!' ( Г.4" )х1 Х Х!!А ьюх1. б) Пусть х ез П, х Ф Х(Л ). Доказать, что последовательность !и ))„1 сс,, = ',',, и е=."з', ), А"х~ сходится. 18,20. Пусть Л с-- б(П), Л - О. Дока:ать, ч)о следую щпе утверигденпя эквивалентны: а) В(Л) всюду плотна в Н; б) й(А) 0; в) (Ах, х) > 0 лля любого х се Н, х Ф О. 18.21. 1(усть Р~Н'(Н), Р' Р. Доказать, ч)о слс,)ую п(ие утверждения зквивалептны) а) Р)н Ь(Н); б) РРв Р "Р; в) Н(Р) (й)(Р))х; г) (Рх, х) =(!Рх!!' для гпобого х)нВ.
18.22. Пусть Л )и Х(!!). Доказать, что Л:1* п Л*А— неотрипательные самосоиряжеииые операторы. 18.23. Пусть Л, В ~ б(П) п Л «О. Доказать, )то ВЛВ:=.- ~ О. 18.24. Пусть Л, Вса ЬИ), Л > В, Сж2'(Н), Доказать, по СвАС, С"ВС ~ Ь(!П и С".1С«СеЬС. 18.25. 11усзь .1, Ь'~ Ь(П) и выполняются неравенства Л «В и В «Л.
Доказать, что А = В. !з.26. М;!,и и! иро .и из ° ди,) ежра)ора т(, В ЫП) уи; и), )~ь, )~о „«).) В, либо 1т>г!) 1827. 1!ьс)ь .1 — 6)П), .1- О.;1ока))ть, чго для любо- го хс- П выио)иксии гери)си))зи Лх'' -'=!.!",(4х, х . 18.2~. П)) )и .!-;)И), 0 - .-! 61, ),)с 2~11. Дока- зать, ыо .! 18.2',). !))с)ь Л с= ()(!П и исирсрывио ооратим. Доьа- зать, ч) о Л ' "- Ь(П!. 18.3й. Пусть .(ж6(П), Л =-0 и А непрерывно обра- тим. Дока: ).)г)ч ))о .1 ' «О. 1831, П) с и .1ь 6(П), Ь ю С, 1гп).'~ О, Доказать, что опера! Ор (Л вЂ” /.!) ' с)и)сс~вге Г 18.32.
Пус)ь 1~ 'Г(П). Доказать, что оператор (7+ + ЛЛь) суи[остзует. 18.33. 1(усгь '1 ю ЬИ), Л «О. Доказать, что оператор (!+А) ' сущесп)уст, 18.34. Пусть Л ~ ЬИ), А -..-- О. Доказать, что для л)о- бого ). > 0 оператор Л+ х! непрерывно обратим. 18.35. Доказа))ь что оператор Л )к.У(Н) непрерывно обратим тогда п только тогда, когда существуют такие а, 6 )и 11, с) > О, (1 > О, ч го Л А"' =. п1, .4 "А «р1. 18.36.
1!усть Л, В)- =Ь(,П), 0( ! '-= Л -- В. Доказать, что Л, В непрерывно ооратпмы п В ' ~Л '. 18.37, Пусть Л, В 6(!П, Л.---О, В«0 п АВ=ВА. До- казать, что А В -=- 'О. 1838. Пусгь Л, В, Сев)З(П), Л «В, С«0, АС=СЛ, ВС= СВ. Доказать, что ЛС «ВС. 18.39. Рассмотрим оператор А: 1,— 1„Лх (О, О, хь 'х) ...) дзя х=(х„х, х„, ...) ~ 1,. Доказать, что А юб(1,), х„... А «О.
Н))')зи ! Л (! '! 18.40. Пусть Л сз о'П), Л > О. Доказать, что ()УА ! ) )!.4 !. 18.41. П пространстве Е' оператор Л переводит х ) в .4х =- ° Доказать, что Л ~ б(Е') и что Л «О. Найти У.1. 18Л2. Пусть 1, Ь', С ееб(Н!, А >О, Р-=С'=-Л. До- казать, что ЬС = СВ. 18.43. Дли оиср))орое з)дач 184, !Я.2 иай)п опера- торы (Л(, А", Л . 18 44. Доьз ь))ь, ч,о .ия .1'=-б(П): а) А+Л =-.1 .1' — — О; б) !Л! - О, (,1! =- О зо да и го)ьь) тот,)), когда Л -0; в) )Л;-' =.!'; 105 г) если А- = О, то А =- А' = (А !; д) если А' = О, то 1 = †.1- = — ! 1!, А .
Д, о для .4 <н6(П) норма операгора 18.45. Доказать чт, .: <н равна норме оиерагора .!. у ( ), А '-О. Доказать, что (А! =А. 18.46. П сть А ~н б(Н . Пусть е. (п ы ч') — ортонормпрованный базис в Н. Определим оиератор А: Н вЂ” Н равенствами Ае, = О, Ае„= е„,lп прп и ) 1. Доказать ч а А~и то: а) <и Ы(Н) и вполне непрерывен; б) не суп(ествует оператора ВыЫ(Н) такого, чтоВ'=А. бого х ез Н выполннется равенство (!Ах(! — ((Вх!!. — такой линейный оператор 18.49.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
