В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Доказать, что собсгвсииыо векторы нормального оператора в гнльбертовом пространстве (см. задачу 18,50), соответству;ои(пе раз.шчиым собственным значениям, ортого .альпы. 20.7. Доказать, что ои!р! ор А: Го[О, 1! — Е,[0, 1), ЛхП! — Сх!П салшсоиря;кеп, и пайтп его спектр. 20.8. Доказать, что спегыр самосоиря:немного оператора ве)г(естчон йлежит иа о!рс!ка [г!г, ЛГ). 20.9. Докааать, что сат!осо!!р!пкениьш оператор являс;гп неотрицательным тогда и только тог;(а, когда для .»обого ).
ге о(Л) выполняется ье ывен<тво й ~ О. '!.!О!. !!) зь Л вЂ” самосоиряжшшый оператор в Н и и; кг !я:тся гго соб тессе!л ! зкачс.!Пем. Дочазап ч!о 25.1!. !!ус!!,! — сжш а !)!я;к!. !ьы!! опера!! ! в Н и Н(.! —.".П =- Н.,'(ок„зз!гч чго ). г — о(Л). 20!2. Пу; и, Л вЂ” сз:.ос, !ц !!.,!и!~!!й оператор в Н п !. г! р(.. ' — еще"! вь:пп о чи."ло. ) [окз !нь, что резольгс.. га НгСЛ) — самосоири;пенный оператор. 1!Л Ах ~ ь„(х,в„)в~. е 1 Доказать, что А — вполне непрерывный самосопряжепный оператор. 20.17, Расс»!мрпм опер!!тор А: Е,[О, 1) -ь 1![О, 1), Лл (С) = [ )б (С, г) х(в) йв, в где [С(! г) при О<С<в~1, [г(! — с) прн 0~ г~~Са~1.
Доказать, что А — вполне пепрсрьгвный сзмосоиряженпый оператор, п пойти собственные зпачеипа и соо твеипые векторы А. 20Л8. Г)усть А — самосопряжеииый оператор в сепарабсльном гильбсртозом прострапстве Н, спектр которого состоит пз собственных значений >, =- О п Л 1. Доказать, что Л вЂ” оператор ортогонального проектирования. 20ЛО. Пусть 1 — вполне непрерывный оператор в сепарабсльном гильбертовом прострам!стве Н, а) Доказать, что ЛвА — впали непрерывный саьшсо.
пря;конный оператор. б) Дш;алеть, что ь и! е;!с!велении А"Лх =. У, и (г, й„) й„, и вьпеиж; цсм из теоремы 20.3, все р > О. а в .а. твеввгив и ав тгз 20.13. Пусть Л вЂ” самогопряжсппьп! оператор в П и )я р(Л), 1»! 2 Ф О. [[о! азате, что 'С(л(л!)) = [1ш)! 20.14. Пусть А — вполне пеирерывньш оператор в комплексно» бапаховом пространство Х. Может лн собственноо по,н !.ютреиство Л, соответстауготцее собственному значешпо ). = О, быль бескоиочноз!ериытг2 20.15. Пусть вполне непрерывный самосопряженный оператор А в бесковечпомерпом гильбертовом пространстве Н имеет коночное мпоягество собственных значений. Доказать, что )! =-Π— собственное значение оператора Л.
20.16. Пусть в„(п ~ [ч) — ортонормированный базис гильбертова пространства Н, ).„ ~ й, т,. -ь О, А: Н - Н— такой линейные оператор, что для любого х гн Н справедливо разложение в ряд Фурье В) ПуСтЬ Л„= )т 11„, Еа = — А)га. ДОКаэатЬ, Чта ń— а ортонормированная спстема п для любого хгв Н справедливо представление Ах- ~ Ля(х, Ь„)еа (прп атом Л„называются сингулярныли числали оператора А). 20.20. Пусть А — вполне непрерывный самосопряжекный оператор в сепарабельном гпльбертовом пространстве Н, ЬА ()гы Х) — ортоиормированный базис, составленный из собственных векторов оператора А с собственными значениями Л„я'ям Н, Л1нС, Доказать, что решенпе уравнения (А — Лу)х а) имеет вид если Л отлично от всех собственных значений Л.; б) при Л Л,=Л,„, ...
Л„„, существует тогда и только тогда, когда (~, Ь„А) — О для Ус =О, 1, ..., к — 1, н в этом случае решение имеет впд а-1 = —, ~,'~, Л (1, Ь„) ܄— 1~ +,')'„СА,„, А А=а причем в Х пропущены слагаемые с номерами ), 1+ 1, ..., ) + п — 1, а фф..., С„, — произвольные постоянные. 5 21. Линейные интегральные уравнения Интегральны.в уравнениел Фредгольла 2-го рода на- зывается уравнение вида ь х(г) — Л ) К (я, г) х (г) Аг = ~ (я), (1) а где х(г) — неизвестная функция, К(г, г), 1(г) — известные функции, Л вЂ” числовой параметр.
Относительно функции К(г, т), называемой лдрол уравнения (1), предполагается, что ь ь ) ~ К' (я, г) г(я Аг ( со, а а $!г Еслк К(я, П = О прп г) г, то уравнение (1) принимает впд ()- ~К(, *()«=У() (2) а и называется уравнениел Вольтерра 2-го рода, Если ядро уравнения (1) является выролгденнызц т. е. имеет впд К (г, 1) - Х 1, (г) у, (г), где функции ((я), у,(1) для 1= 1, 2, ..., и непрерывны и линейно независимы, то (1) можно записать в виде х (г) = ~ (я) + Л Х СА (г), и неизвестные С, (1=1, 2, ..., и) определяются нз системы линейных алгебраических уравнений.
Введен интегральный оператор Фредгольла ь Ах = ~ К (г, г) х (г) г(г; если ядро К(г, г) и функция 1(я) непрерывны, то А: С(а, Ь) С(а, Ь), в общем случае, если 1(г) ~вр.,(а, Ь), то А: В,(а, Ъ) — Л,!а, Ь). Тогда уравнение (1) принимает внд х — ЛАх (3) а сопряженное к пену в пространстве Х,(а, Ь] имеет впд у — ЛА*у = ф, (4) и так как оператор А вполне непрерывен, то применимы теоремы Фредгольма 16.6 — 16.8. Если для некоторого Л ФО однородное уравнепле ь х(а) — Л ) К(я, г) х(г) еН =- О а имеет ненулевое решение х,(г) гн ьг(а, Ь), то Л называется характеристическим числом ядра (уравнения), х,(я)— собственной функцией ядра (уравнения), а макспмальное число лппейно независимых собственных функций, отвечающих характеристическому числу Л, называется кратностью этого чпсла. 1тб Гели адро К(я, «) в (1! сгммс.«и нг,н то;: тс рьльиг й оператор Фредгольма не только виолио непрерывен, но и самосопряжеи.
Если ). — характеристическое число, то 1Сн — собственное аиачение оператора Л, если р т- 0— собственное значение оператора Л, то 2 = 1/)я — характеристическое чя ело. Позяому применимы теоремы 20.1— 20.4. Уравнения ~ К (з, «) х («) «Е« = У (з), (5) 1 К (г, «) х («) е!« =- и') (О) а при тех же предположениях, что и в (!), (2', «зс,шаютсч соответственно уравнениями Фредеа ":а и Н.летя«Л, 1-го рода. Согласно теоремам 16.0, 16.10 при заданной «(я) е- юзз(а, Ы уравнение (5) может пе имею решения, а если это решение н существует, то в силу неограниченности оператора А ' иа Н(А) решения уравнения (5) с блпзки- мн по норме Ез(а, Ы иравымп частями могут бьгть далеш.
друг от друга. Таким образом, задача (5) является не- ',корректной, В то нте время задача (1) корректна — если (1 — ЛА) ' существует, то оп ограни «еп. Метод рсгулярн- яац««и (24! позволяет свести некорректную вада яу (5) к корректной (1), Для случая «шН("!) он основан на сле- дующих утверждениях, Теорема 21Л. Пусть А и.'х (Н) — впаяна непрврыа- ный оператор. Тогда для любой «ю П и л«одого значения параювтра резулярнзаапи и )0 суп)егтсуат ед ~потаенное решение х, <н Н, на ноторосз реализуется !п1(!Ах — «: +а!1х«Я), хин При этол х„являетея реп еннеи уравнения 2-го рода ах+Аз4з Аз«.
(7) Теорема 212, Пусть х — ратвн~е уравнения (7), «юН(А). Тогда при сс- 0 вел«««ина 'с!Лх„— «О монотонно цбьнает и стрегаится к ««у«ло. 21А. В пространстве С(а, Ы найти решение интеграль- ного уравнения ь . (г) — ) 1 К (я «) х («) Л« = «( ) з 11В если а) а=-л«4, !.=-л«1, К(г, «) =-!д«, ((я) юи1; б) а =О Ь =-лгй К,з «) =-,;и ясов««(я) =я!из; в) а =-- ! !, 6 = л, Л'(,к, «) =- ь (и г со., «, «(я) = з!и г; г) и = — О, Ь = — (, К(я, «) =-г, « — 2г«, «(г) г+ г'! д) а = — — 1, 6 =- 1, К г. «) =- з.'- г'«-', «(я) = г'+ г'! е) а =-- О, Ь = 2л, К(я, «) =- !и — «! з!и з, 1(г) г; ж)а=О, 6 =л, К(з, В=-яш«+«созг, «(г) 1 — 2я/л! з) а=О, 6 =л, К(я, «) =-:би(г — 2«), «(я) соя 2в, 21.2.
В пространстве С(а, Ь! найти характеристические числа ),, и соосп;сивые фуп иии«с(, дли уравнения х(з) — ). ( К(з, «) х(«) а« = О, п если: а) а=О, Ь=2л, К(г, В=яп(г+«)! б) а=-0, 6=л, ' Л'(г, «) =соя(ят«); в! а=О, 6=1, Л«я, В=2㫠— 4я'! г) а = — 1, 6 = 1, К(г, «) = я«+ я'«', 2!.3. В ироятрзьстзе С(О, л! нзйпг характеристиче- ские и«сла п с бс«:еипыз фриш«~ш чля уравнения : (я) — )„! К (:, «) х («) ~!« =- О, 6 если К(з, «) = ~5 2 " хипяь!ил«, 21А. В пространстве С(а, Ь! найти решение интегрально:о ур..зиешяя х (я) — ) ! К (е.
«) . («) с!« = « (я) а при всех значениях паране~ров пь р, 7, входящих в свободный члои этого уравнения, ес:ш: а) а — — — 1, 6 = 1, К(г, «) =я«, Дг) =агз Р рг+7; б) а=О, 6=-л, К(г, «)=соя(г+«), 1(я) аг!вя+р! в) а = — 1, Ь = 1, К(г, «) = я' — 2г«, /(я) иг' — ~я! г) а=- — 1, 6= 1, Е(я, «) =Зя+㫠— бг'Р, «(г) =иг, 21.5. Дока.ать, ято ураэиоиие 16 х(г) — Х ~ з!п (г — 2«) т(«) е!« = «(я) о разреингпо ири любом ). ш С и любой «(г) ~н Тз(0, 2л! и найти его решение. 117 21.6.
В пространстве С[а, Ы найти хараьтерпстпческие числа Х. и собственные функции сг для уравнения х (г) — ) ) К (г, С) т (С) г)С = О, если: а) а=О,Ь=-1, [г прп 0(г(С « '1, К(.,С) = [С прп О..С(г ..1; б) а = О, Ь = лС2, г г[пгсогС при 0<г(С 'и '>, К (г, С) э[п С сог г при О ( С г «л,'2; в) а О,Ь=л, г[пгсог С прн 0(ь ( С(л, К(г, С) = г[п С сов г прп 0< С(г «(л; г) а=О,Ь=1, С (г + 1) при 0 =' г «С " 1, К (г, С) = г(С + 1) при 0( С(г< 1; д) а=О,Ь=1, К(г,С)=г и л; е) а=О,Ь=1, (г + 1) (С вЂ” 2) прн 0 (г( С( 1, К(г, С) = (С+ 1)(г — 2) при 0(С < о(1, 21.7. Пусть Х не является характеристическим числом для симметрического ядра К(г, П.
Доказать, что решение уравнения х(г) — Х ) К (г, С) х(С) о[С = С(г) о в пространстве Е,[а, Ы можно представить в виде ряда Фурье по собственным функциям ядра * (г) - й ~~~', ~†', орь ( ) + 1(г), (С чь) ь а если ядро К(г, С) непрерывно, то этот рлд сходится равномерно на [и, Ы. 21.8.
Пусть ) Х, = Х,, = ... = )ч„„, является характеристическим числом кратности и для симметрического Ста ядра К(г, С), Доказать, что решение уравнения ь х(г) — Л 1 К(г, С)х(С) с(С У(г) а в пространстве Е,[а, Ь) существует тогда и только тогда, когда С'(г) ортогональна всем собственным функциям Г,г,(г) (С = О, 1, ..., и — 1), соответствующим характеристическому чяслу Х, Вели это условие выполняется, то решение данного уравнения имеет вид (С ть) '(') - )" М, Хь — а рь (г) + ХСьсрС+ ( ) где С„()г 1, 2, ..., и — 1) — произвольные постоянные, а в первой сумме пропущены слагаемые с номерами 1, у+1, „)+и — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
