В.А. Треногин, Б.М. Писаревский, Т.С. Соболева - Задачи и упражнения по функциональному анализу (1128568), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Пусть А: Н- Н— с =, что для любых х, у~и!! выполняется равен- ство (Ах, а) (х А ). Д у). Доказать, что А — ограниченный оператор и, следовательно, А ы б(Н). 1850. Пусть АяЫ(Н), АА«-АвА (оператор, пере- ным). Д становочный со своим сопряженным на зывается нормаль- ным . Доказать, что: а) )!Ах1 !!Авх(! для любого х ~и Н; б) Ж(А) =%А«) = (Н(А))-'; в) !!АД! =(!А!Р; г) если А'= А, то А ~и 6(Н); д) если А' =О, то А =О. 18.51. Т) чем .4 ' ыЫ(Н). Д усть А ~н Ы(Н) — нормальньш оп ератор, при- ратор. Доказать, что А ' — нормальный опе- 18.52. Пусть А ~н Ы(Н), и, !) я С, (а! = ! Ь! = 1.
Дока- зать, что оператор аА+ рА" — нормальный. 18,53. Пусть А„А я2(Н)— (п~Х) и А«- А и 'ж' (Н) — нормальные операторы прп п сильно. Доказать, что А,', — * при и — сильно. 18.54. Пусть А ы 6(Н) А > ), А >О и вполне 'непрерывен.
Доказать, что )А вполне непрерывен. 18.55. Пусть А, В и б(Т!), О ~ А ~ В и В— прерывный опе аго " < ератор. Доказать, что А — вполне непрерь ный оиератор. прерыв- 18.56. Пусть опе ато У ном гильбе товом п о т ра ор У определен всюду в камиле О р ространстве Н и отображает его на все н называется укигарнылд если для любых х ыН выполняется равенство (Ух, Уу) = (х ). Д а) нита у = х, у). Доказать, что! а унитарный оператор линеен и ограничен; б) унита ный оп же упитарен; р ератор имеет ооратный которы" ый так- 10Л в) произведение Лзух унитарных операторов есть унитарнып оператор; г) лпнеппып паометрпчсскп(! оператор, заданный на всем Н и отображэюшпч с~о па эсс )), ес~ь унитарный оператор; д) оператор à — Ы'()!) яз ~яется упит ~рным тогда и только тогла, когда ( * = П-'.
18.57. 1!усть '! ы.У(Н) и непрерывно обратим, В )'А"' 1. а) Доказать, что В ~ 6(П), В ~ О н непрерывно обратим. б) Положим (! = АВ ', так что справедливо представление А ГВ, которое называется палярпылс разложенаем. Доказать, по (! — унитарньш оператор. 4 19. Спектр линейного оператора Пусть Х вЂ” комплексное бапахово пространство, А: Х— Х вЂ” линейный оператор с областью апре,(слепня ВЬ1), плотной в Х, Х вЂ” комплексное число. Точка Х гшзывается реаулярпой га шой оператора Л, если оператор А — ).! нопрсрывчо обратим.
Совокупность регуляряых точек оисратора А называется резольвекгны.ч множества.ч оператора А п обозначается рЬ!). Если ) вз ~н р(А), то ограипчеяпьп! липейпыи оператор В«(А) (А — ХП ' пазьтастся реэольвепгоп оператора А. Дополненне к эишжеству р(Л) в комплексной плоскости нааывается спектрам оператора А и обозначается а(Л). Теорема 19.!. Спектр оператора А ~ 2'(Х) есть замкнутое множество, лежащее в крусе (к! ~~ !(4)!, Число В~ С называется собегвепкым акаменнеч оператора А, если сушествует такой элемент х<в В(А), х ~О, что а!х ),х.
Прп этом х называется собетвенны.ч вектором оператора А, соответствуюпи|м собственному значению ).. Всякое собственное значение оператора А является точкой его спектра, ирп этом оператор е1 — 'Х! не обратим. Теорем а !0.2. Пусть А ~ 2'(Х), где Х вЂ” бакахово пространство. Тоеда с!ществует конечпый предел г,(А) = 1йп!(А" (," ", называемый спектральныч рада уев и оператора А. Нра этом 1п1 )! А«(!' " = ге (А) ( )! А (), «е1 107 Во (Л) = — ~, ),-о-'Л". ь=:о Лх(С) 1 х(т) с[с. о 100 »08 Теорема 19.3. Врс ь-Л и 2»Х), тле Х вЂ” - бюиьтаоо пространство.
Если 1)Л ) г,(Л), то ). со [(.1), Оператор-функ»»пя А().) называется аналитической в точке ).„еслп оно разлагается з пе»:а»арой о»»рсстпос~»» точкн )., а стеленная ряд сходящпйся по парме 2'(Х) в этой окрестяастп. Те о р е м а 19А. В,(Л) — озолоти»еская 6)унк»(ил й в .любой та»ке й»н р(.1). Ес.»и Л ы 2'(Х), то яри ~).! > г.(Л)— Теореча 19.5. Если А~2'(Х), где Х вЂ” балах«со пространства, то о[Л) — неяугтае»»нозкество. 19Л. Пусть А: Х- Х вЂ”:пгпейоый опеаатор к опер- тор Л ' существуег.
Доказать, что Л и Л ' имеют ал и те же сооственпые век»оры. 19.2. Может лп оператор А и:с'(Х), )т»озлетзсрз'ощь.": условгпо Л'= О, иметь ненулевые собственные зчз»е»п. 193. Пусть А ~.У(Х) и о»»ерз»ор Л' пчеет соб.м»«п- ньй» зект«р. Доказать, что А шпет собственный вектор. 19Л. В вещественном л»гпейно.» прост)юнстве С[ — л, ."[ найтп собственные значения и собствсппыс векторы опе- ратора: а) Лх([) = т( — с); 6) Лх(т) =- ~ соз(е + () х(о) с[о. — л 195.
В вещественном лппейнач прас»ракс»ое С[0, л1 пайтп собственные зпаченпя п соаствеппые ве»;торы опе- ратора АхП) = с(ох)с)»", если: а) В(Л) = (х([) ~ С[0, л1; х" аз С[0, л1, х(0) = х(.т) =- 0); б) 7)(А) =(хОО яС[0, л1: х" я С[0, л), х'(0) =х'(л) 0); в! В(А) =(хН)»н С[О, л): х" ~С[0, л), х(0) =-х(л), х (0) = х'(л)). 19.6. Пусть А ~ 2'(Х), где Х вЂ” бапахозо п)юстранство. Доказать, что прп,')Л ~г,[Л) выполняется неравенство 1В»(Л!» --([21 — ПА') ', 197 Д»»и»ззт»,.
что о»тератар и сто рсзольвсита пересталовачны. 19.8. Доказать что еслп )о р ~р(А), то Во(Л) — В„(А) (). — [»)В»(Л)В„[Л) (). — 9)Во[А)В,(А). 19.9. Пусть, оа А, В~вУ(Х) ),ер(А) Ор(В). Доказать, В,[А) — В,(В) =Во(Л)( — А)В,(В). сть опе агоры Л, В определекы на всем Х. рестаповочпы хотя бы для одного 19Л1, Пусть А, В ~ У(Х), )» и р(Л), ~ Доказать, что й»н р(В) н В) В ( 1))о о=-о 19.12.
Пусть Л»н 2'[Х) ). я р[Л) и 1»»н С таково, что не пеп е ыв»»ь»о»? аыйс~ы С [О Н ч и спект а пе яво»»»ется собственным зпаченнем. =-елх[[). '»оказать, что о(Л) =(й»н 19ЛО. В пространстве, рас . Н = я[0) + тх(1), Найтп о(Л), г,(А), Вл(А). 19.17.
Пусть М вЂ” пепулсоое по„ озпстза Л. Найтн спектр оператора Р ортагонально.о орасктироваппя па .. ирзз» ,с ., ; С[0, 11 ассчотрпм операт«г ° Л [Р). 19.18. В прсстрапстге, ра 'Л) В (Л) 19.19. Пусть е. л»н» — орта» пстве )Е Определнм оператор А: гпльбертозом пространстве В - В разепствачп Ае, О, Ле,, = е, а) Доказать, что Л ~ 2'[В). б) Найти оператор Ао. 110 в) Доказать, что о(А) = О.я С: ~).~ ~ 1) — п)тячев! Внутт круга состоит иа собственных значений А.
г) Доказать, что о(А") -О. ж С: О,( ~1), и ичем Ав не имеет собственных значений. причем Ав 19.20. Рассмотрим оператор А: 1, - 1,, Ах = О, х 19.21. Д . Д .. гное множество . Доказать, что любое бпкомпакт н комплексной плоскости является спект А ж'(1 ) 19.22. В п о т Доказать, что: пространстве С[0, 1) рассмотрим Ах(1) Ы. Я . и х х а) о(А) пусто, если Е)(А) - (х(1) ы С[0, 1): х' <н С[0, 1), х(0) 0); б) а(А) состоит нз одних собственных полняющих всю комплексную п ных значений заплоскость, если П(А ) (х(1) ее С[0, 1); х' ез С[0, 1!); ° ОЙ1 ж2 в) а(А) состоит иа собств венных значений 2лбт (и >...,.), если ЙА) (хй) ~и С[0, 1); х'ее С[0, 1!, х(0) х(1)) 19.23.
Пусть А, В ыЫ(Х). Доказать ч злементы (АВ) о(ВА) ~мы аю 19,24. Пусть А ~ Ы(Х), ). ы С и существ ет т 19.25. П сть А ~ ' '..., что у 2'(Х), 2ыо(А). Доказать, м~ )" ев о " при любом натуральном п. 19.26. Пусть А ~и 2'(Х) п неп е ывно 19.. п непрерывно обратим. Дока- , И . И О, ' обратно, если 19.27. Пусть П вЂ” гиль и яв егеря нормальным, т, е. у — гпльбертово пространство А ы м (И) $ удовлетворяет условию 9.28. йусть Н— 9. . й — гильбертово пространство А ы .У Доказать, что операторы АА" и А "А имеют о ненулевые собственн 19.29. ые значения. и А имеют одинаковые .
Р ассмотрпм оператор А; Ег[о, Ь) — Е,[а Ь) ,а, Ь, в Ах(з) =1 К(з,()х[1) дг, з где Х(з, т) непрерывна в треугольнике и = ( ~ з, а < з ( Ь. Доказать, что т,(А) = О. Будет лп 2 = 0 собственным значением оператора А? 19.30. Доказать, что для самосоиряженного оператора в гпльбертозом пространстве т.(Л) = 'А~С 19.31. Пусть .1~ 2'(Х), где Х вЂ” банахъво пространство. Доказать, что на окружности ().( = т,(А) имеетсн хотя бы одна точка нз о(А) 19.32.
Пусть А, В ы 2'(Х), где Х вЂ” банахово пространство, АВ = ВА. Доказать, что т (А + В) ( т (А) + г,(В), т (АВ) ( т,(А)т,(В), 19.33. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство, А ы <и Ы(И). Докааать, что а(А") = о(А) (черта означает комплексное сопряжение). $ 20.
Спектр вполне непрерывного н самосопряженного оператора Теорема 20.1. Пусть Х вЂ” комплексное банахово пространство, А ы о(Х) Тогда спектр А состоит не более чем из счетного множество собственных значений, единственной предельной точкой которых может служить лишь точка ), =О. Если Х бесконечномерна, то О я а(А).
Собственное подпространство А, соответствующее собственному значению Ь Ф О, конечномерно. Теорема 20.2. Пусть А — вполне непрерывный самосопряженный оператор в комплексншн гильбертовом пространстве П, Тогдт 1) если А чь О, то А имеет по крайней мере одно соб ственное значение, отличное от нуля; 2) все собственные значения А вещественны и расположены на отрезке [т, М), где т = (п1 (Ах, х), М = зир (Ах, х); ьч=г ге~ г 3) если Мчь О, то М является наибольшим собственным значением А, если тчь О, то т является наименьшим собственным значением А. Теорема 20.3.
Если А — вполне непрерывный само- сопряженный оператор в кочплексноз гильбертовом пространстве Н, то при любом х ~Н элемент Ах разлагается в сходящийся ряд Фурье по ортонорхированной системе собственных векторое Л. Те о р е и а 20 '.. Гсак Л -- вяк!а яеарг, ыая! !й салосоггрллгв!!пь!й! с!«)лап! ! в сы!~!райс.!ьно.!! кама.гаl;с>!ам гильбертовал! пространства И, то в Н сув)сствгСет ортаггоилтрава!и;ый 5иас ил с! йс!ааяних ве! торов о! гравера Л. 2ОЛ. Доказать, ~г!о опера!»р Л: (, )„ Лх (О, х„ хг!2, х„т3, ...) для х =- (л,, г!ь ..,):л ( ьчолао непрерывен и найти его спектр. 20.2. Доказатгь что оператор Л: Ео[ — 1, 1! — Г,,[-1, '!), Ах( ) ==- ( ьа(л (С) ЛС -! вполне непрерывен, н найти его спектр.
20.3. Доч,!зсп, что оисратор Л: Ел[О, 1) Ег[О, 1), Ах (в) = ! вС (1 — г() х (С) г)С в вполне аспрсрьп:ш!, п найти его спектр. 20А. Пу ть Л !но(Х), где Х вЂ” банахово простраиство и ). Ф О. Доказать, что Н(Л вЂ” )ьП зази!путо в Х. 20.5. Доказать, что сооственпыо векторы самосопряжсиного о!нратора, соо!аотству!ои(ие разли*шым собствеппы» аиачсипя», орта!о»альпы. 20.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
